繆吳偉

倒數(shù)法是解答初中數(shù)學代數(shù)問題的一種重要方法.在遇到代數(shù)式求值或方程求解的問題，直接求解比較困難時，可仔細觀察式子的結構特征，根據(jù)題設中的已知條件，把相關的式子取其倒數(shù)或倒式，再來分析求解，將會很快找到解題的思路.本文結合實例，就倒數(shù)法在解題中的應用進行分析說明.

一、運用倒數(shù)法比較大小

利用倒數(shù)法比較大小，是指先將題設或結論的式子“倒過來”，取其倒數(shù)比較它們的大小，再由倒數(shù)大小判斷原數(shù)的大小關系.一般地，如果a =b≠0，則;如果a>b>0或，則：

例1

分析：仔細觀察M，N，P三個分數(shù)式，不難看出每個分數(shù)式的數(shù)值較大，且分母均比分子大1，若利用倒數(shù)法，將M、N、P三個分數(shù)式分別取倒數(shù)，則可以快速解題.

解：

例2

解：

評注：用倒數(shù)法比較大小是將分數(shù)取倒數(shù)、分式取倒式，然后比較出它們倒數(shù)的大小，根據(jù)倒數(shù)越大，原分數(shù)越小;倒數(shù)越小，原分數(shù)越大來判斷原分數(shù)的大小.

二、運用倒數(shù)法巧妙求值

倒數(shù)法就是通過對數(shù)或式取倒數(shù)或倒式來解題的方法.它主要應用于分式型的求值問題中.當問題中分式的分子是單項式，而分母是多項式時，可以借助倒數(shù)法將已知式或目標式取倒數(shù)，然后逆用分式加減法的運算法則，快速找到解題的突破口.

例3已知

分析：直接利用三個已知條件求解計算繁瑣，且難度較大，若能以退為進，分別取以及所求目標式的倒數(shù)，則可以避繁就簡.

解

例4

解

評注：上述兩道題若直接求出未知數(shù)的值，顯然比較困難，且計算量較大.通過觀察， 把已知式和所求式子都“倒過來”，找到已知條件與所求問題間的關聯(lián)，這樣問題自然而然就得到了解答.

三、運用倒數(shù)法解方程組

對于有些方程組，尤其是方式分程組，若正面直接求解，難以入手，我們可以先逐項取倒數(shù)，然后拆成某兩項和的形式，將分式方程組轉化為熟悉的整式方程組（二元一次方程組或三元一次方程組），順利求解.

例5

分析：觀察每個方程的左邊，發(fā)現(xiàn)三個未知數(shù)x、y、z在對應的位置上依次輪換，因此，對每個方程分別取倒數(shù)，便可以簡捷地求出方程組的解。

解

例6

解：

點評：在解答某些分式問題時，倒數(shù)法是常用的變形技巧之一.通常把式子變成其倒數(shù)形式，運用約分化簡，以達到求解的目的.

總之，運用倒數(shù)法解題十分巧妙簡便，是破解代數(shù)題的有效方法之一.同學們要熟練掌握倒數(shù)法，并注意加強解題訓練，做到能夠學以致用、觸類旁通，從而拓寬數(shù)學思維，提升數(shù)學解題能力.