賈鵬飛，張?jiān)孪?b,c

(北京信息科技大學(xué) a.信息與通信工程學(xué)院；b.現(xiàn)代測控技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室；c.高動態(tài)導(dǎo)航北京市實(shí)驗(yàn)室，北京 100101)

0 引 言

隨著位置服務(wù)的興起和廣泛應(yīng)用，用戶對室內(nèi)定位的精度提出了更高的要求。而隨著第五代移動通信技術(shù)的發(fā)展,5G將實(shí)現(xiàn)超密集網(wǎng)絡(luò)部署[1]，大幅提高基站密度，使用戶可以同時(shí)與多個(gè)基站進(jìn)行通信，有利于多基站協(xié)作定位，從而使定位精度提高至亞米級，更好地滿足人們對于室內(nèi)高精度定位的需求。

傳統(tǒng)的室內(nèi)定位算法[2-5]都是基于測距的定位方法，在5G超密集網(wǎng)絡(luò)下其定位精度會受到影響，不能達(dá)到較高定位精度要求。而指紋匹配定位算法是預(yù)先構(gòu)建定位所需的指紋庫，再將待定位點(diǎn)的數(shù)據(jù)通過指紋匹配算法與指紋庫中的數(shù)據(jù)進(jìn)行匹對，從而估計(jì)待定位點(diǎn)的位置坐標(biāo)，其定位精度較高。許多學(xué)者對指紋匹配定位算法做了大量研究。Horsmanheimo等人[6]設(shè)計(jì)并實(shí)現(xiàn)了一個(gè)基于5G的室內(nèi)定位平臺，采用了精細(xì)定時(shí)測量技術(shù)，可通過多邊計(jì)算來計(jì)算位置估算值，實(shí)現(xiàn)了基于圖像的定位和基于RSSI的指紋識別。文獻(xiàn)[7]提出了一種基于K-means和支持向量機(jī)(Support Vector Machines，SVM)的藍(lán)牙室內(nèi)定位算法，利用卡爾曼濾波和K-means算法對收集到的數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，最后通過SVM模型完成待測數(shù)據(jù)的分類，算法的定位精度穩(wěn)定在1.5 m以內(nèi)。這些指紋匹配算法雖有不錯的定位精度，但其指紋庫數(shù)據(jù)相對較少，不容易構(gòu)建。在5G超密集網(wǎng)絡(luò)中，參與定位的基站多，所需測量的數(shù)據(jù)量龐大，因此如何降低指紋庫數(shù)據(jù)構(gòu)建的復(fù)雜度并提高定位精度成為了當(dāng)前亟待解決的問題。

本文提出一種5G超密集網(wǎng)絡(luò)下的壓縮重構(gòu)指紋定位算法。該算法首先測量部分指紋庫數(shù)據(jù)，通過非精確增廣拉格朗日算法(Inexact Augmented Lagrangian Multiplier，IALM)進(jìn)行矩陣填充，將該指紋庫矩陣重構(gòu)為完整，然后利用加權(quán)K近鄰(Weighted K-Nearest Neighbor，WKNN)算法實(shí)現(xiàn)待定位點(diǎn)的在線匹配。

1 超密集網(wǎng)絡(luò)室內(nèi)定位模型

假設(shè)5G超密集網(wǎng)絡(luò)室內(nèi)定位模型如圖1所示，基站分布在模型頂部，總個(gè)數(shù)為N,u為待定位點(diǎn)，分布在空間中任意位置。

圖1 5G超密集網(wǎng)絡(luò)室內(nèi)定位模型

為了給用戶提供更好的服務(wù)，提高定位精度，需對基站部署進(jìn)行劃分。設(shè)基站分布滿足齊次泊松點(diǎn)過程[8]，那么基站服務(wù)范圍則可以用泰森多邊形(Voronoi diagram)來表征。

設(shè)每個(gè)基站的通信半徑為r，則基站的密度為

(1)

式中：S為模型頂部面積。根據(jù)文獻(xiàn)[9]，基站密度λ>>1 000 cell/km2。

根據(jù)齊次泊松點(diǎn)過程，基站的概率分布為

(2)

圖1中頂部基站服務(wù)區(qū)域分布如圖2所示，橫縱坐標(biāo)表示平面區(qū)域內(nèi)長和寬，其中每一小格代表10 m，即平面范圍為100 m×100 m，綠點(diǎn)代表基站位置且服從泊松分布，綠色區(qū)域表示泰森多邊形覆蓋范圍。

圖2 基站服務(wù)區(qū)域表征圖

2 指紋匹配算法

2.1 離線建庫階段

2.1.1 指紋庫組成

在室內(nèi)空間中任意一點(diǎn)其對應(yīng)的數(shù)據(jù)為指紋數(shù)據(jù)庫中的數(shù)據(jù)點(diǎn)，即指紋。設(shè)指紋點(diǎn)共n個(gè)，由于n趨于無窮大，在實(shí)際采集中獲取所有的指紋數(shù)據(jù)幾乎不可能，因此，設(shè)定指紋點(diǎn)在空間中均勻分布,且每個(gè)指紋間存在較小的間距d，這樣就可以將n限定為一個(gè)有限的值n′，那么指紋點(diǎn)的集合可以用L={l1,l2,l3,…,ln′}表示。以la點(diǎn)為例，該點(diǎn)坐標(biāo)為(xa,ya,za)，其指紋表示為

S=[RSSI1a,RSSI2a,RSSI3a,…,RSSINa]T。

(3)

那么離線建立的指紋庫可以表示為一個(gè)N×n′的矩陣M：

(4)

2.1.2 矩陣填充算法

設(shè)Ω是指紋庫矩陣M的一個(gè)子集，Ω中只含有m個(gè)元素Mij，Mij為M中觀測到的元素，其中Mij∈M,m<

定義：PΩ為Ω上的投影算子，則有

(5)

PΩ(M)在Ω集合上等于Mij，在Ω的補(bǔ)集上等于0，則矩陣M中的已知元素可以用投影PΩ(M)來表示。在一定約束條件下，矩陣填充問題可以用如下秩函數(shù)最小化模型來表示:

min rank(X) s.t.PΩ(X)=PΩ(M)。

(6)

式中：rank(X)表示X的秩，X為填充矩陣。

但式(6)為非凸函數(shù)，因此該問題是一個(gè)NP-hard問題，求解極為困難。為此Recht等人在文獻(xiàn)[10]中提出用矩陣核范數(shù)最小化問題代替式(6)。核范數(shù)定義為

(7)

式中：‖X‖*表示X的核范數(shù),σk(X)表示X的第k大奇異值。由于核范數(shù)是一個(gè)凸函數(shù)，因此矩陣填充問題可以轉(zhuǎn)化為如下最小化問題來求解：

min ‖X‖*s.t.PΩ(X)=PΩ(M) 。

(8)

本文采用ALM[11]算法對該問題進(jìn)行求解。

將式(8)進(jìn)行變形為

min ‖X‖*s.t.X+E=M,PΩ(E)=0 。

(9)

式中：E為矩陣X與原始矩陣M間的差,增加約束條件即PΩ(E)=0時(shí)，等式PΩ(X)=PΩ(M)成立。該算法的增廣拉格朗日函數(shù)為

(10)

式中：μ為增廣拉格朗日函數(shù)的懲罰因子，Y為矩陣變量。

ALM算法交替更新X、E、Y、μ,迭代公式如下：

(11)

由于IALM[11]不需要精確求解,只需一次迭代就可以達(dá)到較高精確度，故本文采用了IALM算法進(jìn)行矩陣填充應(yīng)用，其算法偽代碼如下：

1 給定觀測矩陣之PΩ(M),Y=0,E=0,k=0

2 while不收斂

4Xk+1=USμk-1[S]VT

6Yk+1=Yk+μk(M-Xk+1-Ek+1)

7μk+1=ρμk+1

8k=k+1

9 end

輸出：Xx+2

2.2 在線匹配階段

本文采用卡方距離計(jì)算待定位點(diǎn)與參考指紋點(diǎn)的相似度，并對其進(jìn)行加權(quán)處理，采用加權(quán)K近鄰(Weighted K-nearest Neighbor,WKNN)算法[12]對待定位點(diǎn)進(jìn)行指紋匹配。

Step1 計(jì)算待定位點(diǎn)與指紋庫中參考點(diǎn)間的卡方距離dj:

(12)

式中：RSSIij是第j個(gè)參考指紋點(diǎn)的第i個(gè)RSSI值，RSSIj是待定位點(diǎn)的第j個(gè)RSSI值。

Step3 對集合D中的K個(gè)距離進(jìn)行加權(quán)處理，得到相應(yīng)的加權(quán)系數(shù)ωi：

(13)

式中：δ是一個(gè)較小的正數(shù)，是為了避免分母為0。

(14)

式中：(xi,yi,zi)是對應(yīng)參考點(diǎn)的指紋位置坐標(biāo)。

3 仿真分析

RSSI=P+gain-loss-noise。

(15)

式中：P表示基站信號發(fā)送功率，gain表示信道增益，loss表示路徑損耗，noise表示高斯白噪聲。

3.1 指紋庫矩陣填充誤差分析

在指紋庫的構(gòu)建中，先通過常規(guī)方法得到原始指紋庫M,然后對M進(jìn)行隨機(jī)采樣60%的數(shù)據(jù)用以恢復(fù)剩余40%的數(shù)據(jù)以得到重構(gòu)后的指紋庫X。

由于指紋庫數(shù)據(jù)過大，僅提供指紋點(diǎn)的1～7號指紋數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)據(jù)對比。原矩陣中的指紋數(shù)據(jù)如表1所示，重構(gòu)指紋庫數(shù)據(jù)如表2所示，重構(gòu)矩陣與原矩陣中數(shù)據(jù)的絕對誤差如表3所示。

表1 原指紋矩陣數(shù)據(jù)表

表2 重構(gòu)指紋矩陣數(shù)據(jù)表

表3 誤差矩陣數(shù)據(jù)表

由表3可知，重構(gòu)矩陣與原始矩陣間存在一定誤差，根據(jù)全部矩陣數(shù)據(jù)間的對比計(jì)算可得其平均誤差為1.13%，說明IALM算法可以很好地恢復(fù)原始矩陣。

3.2 定位誤差分析

設(shè)信噪比為10 dB,使用WKNN算法進(jìn)行指紋匹配定位，得到如圖3所示定位結(jié)果。由圖可看出，本文算法定位結(jié)果與真實(shí)位置高度重合，具有較高的精確度。

圖3 三維定位結(jié)果圖

本文定位算法與傳統(tǒng)KNN算法平均誤差對比如圖4所示，可以看出，本文指紋定位匹配算法隨信噪比的增加，平均誤差呈遞減趨勢，整體定位誤差要小于傳統(tǒng)指紋匹配算法，且在信噪比為10 dB時(shí)達(dá)到誤差最小(0.200 8 m)，證明該算法具有良好的定位精確度。

圖4 平均誤差對比分析圖

4 結(jié) 論

本文提出的5G超密集網(wǎng)絡(luò)室內(nèi)壓縮重構(gòu)定位算法，首先構(gòu)建部分指紋庫數(shù)據(jù)，然后通過矩陣填充IALM算法重構(gòu)出完整指紋數(shù)據(jù)庫，在誤差為1.13%的情況下節(jié)約了40%的工作量。仿真實(shí)驗(yàn)表明，本文提出的指紋定位算法相較于傳統(tǒng)指紋KNN匹配算法減少了指紋庫構(gòu)建采集的工作量，且定位結(jié)果更好，在10 dB信噪比時(shí)誤差達(dá)到最小，為0.200 8 m。