朱振華

（浙江省義烏市香山小學(xué)）

數(shù)學(xué)這門學(xué)科是比較抽象的，對學(xué)生的思維能力有較高的要求。而現(xiàn)實的教學(xué)中，抽象思維能力不足、理解能力不強的學(xué)生，需要借助直觀的形象，才能更好地理解題意、分析問題、解決問題。所以，畫圖法就成為學(xué)生解決問題的重要方法。作為數(shù)學(xué)老師，尤其是低段的數(shù)學(xué)老師，在學(xué)生剛接觸解決問題的知識時，就應(yīng)有意識地培養(yǎng)他們的畫圖意識和能力，將題目以更為直觀形象的方式表示出來，讓學(xué)生根據(jù)題意，靈活借助畫圖法來解決問題。

一、畫圖法在低段數(shù)學(xué)教學(xué)中的價值和作用

所謂畫圖法，就是通過簡單圖形表達出題中信息。具體而言，就是利用畫圖手段達到“化抽象為直觀，化復(fù)雜為簡單，化隱性為顯性”的目的，讓學(xué)生更為直觀地理解抽象的數(shù)學(xué)問題。教師將數(shù)學(xué)題目中的各種信息直觀地以圖形的形式呈現(xiàn)給學(xué)生，幫助學(xué)生快速理解題意，厘清思路，從而突破難點。

（一）巧用畫圖，提高興趣

一、二年級的學(xué)生邏輯思維能力還沒有形成，在分析某些數(shù)學(xué)問題時，題意看不懂，思路不清晰，加之枯燥的數(shù)學(xué)計算，學(xué)生很容易產(chǎn)生厭煩、恐懼和排斥情緒。興趣是學(xué)習(xí)最好的老師，提高了學(xué)生對解決數(shù)學(xué)問題的興趣，才能更好地調(diào)動他們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的積極性，其思維能力才能得到提升。畫圖法能將枯燥、抽象的文字變得形象直觀，以畫促思，化難為易，讓他們在實踐中體會畫圖法解題的作用和價值。學(xué)生有了解決問題的信心，自然而然對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生了興趣。例如，我們在教學(xué)雞兔同籠問題時，就可以采用畫圖法。例題：“雞兔同籠，頭有5個，腿有12條，請問籠里有幾只雞？”我們可以畫5個“○”表示5個頭；“|”表示腿，先假設(shè)全是雞，從圖1中可以看出，5只雞有10條腿，而信息中說“腿有12條”，也就少了12-10=2（條）腿，什么原因呢？關(guān)鍵在于1只兔子有4條腿，一只兔子少算了2條腿，這樣在之前的示意圖上加兩條腿，如圖2，把一只雞變成一只兔子即可。借助畫圖，學(xué)生可以直觀地理解題意，從而明白其中的道理，這也為后續(xù)用假設(shè)法解決雞兔同籠問題做好鋪墊。

圖1

圖2

（二）巧用畫圖，降低難度

低段小學(xué)生邏輯思維能力和分析問題的能力不強，尤其是對于需多次轉(zhuǎn)彎思考的問題存在較大的困難。針對這個問題，教師可以借助畫圖法，幫助學(xué)生理順思路，從而直觀、輕松地解決數(shù)學(xué)問題。例題：“一排20個座位，其中有些座位已經(jīng)有人，小明無論坐在哪一個座位上，旁邊都有一個人與他相鄰，那么原來至少有多少人已經(jīng)就座？”

根據(jù)題意，要使小明無論坐在哪一個座位上，旁邊都有一人和他相鄰，那么兩個人之間就只能有兩個空位。如果第一個座位為空位的話，那么第二個座位必須有人。依據(jù)以上條件，座位有人的情況我們用“▲”表示，空位的情況用“△”表示，可以畫圖△▲△△▲△△▲△△▲△△▲△△▲△△▲，通過畫圖可以直觀地看出，原來至少有7個人已經(jīng)就座。

（三）巧用畫圖，提升思維

畫圖法不僅可以將問題簡單化、形象化，還可以歸納出同類問題（如排隊問題、間隔問題）類型相同、條件不同時的解決方法，既提高學(xué)生的概括能力、觀察能力和思維能力，也節(jié)省了解決同類問題時的時間。

例題1：“合唱組參加表演。站成一排，從左往右數(shù)，淘氣是第8個，從右往左數(shù)，淘氣是第7個，合唱隊共有多少個同學(xué)參加表演？”我們依然可以引導(dǎo)學(xué)生借助畫圖法來理解。通過圖3，我們可以直觀看到，從左往右數(shù)，包括淘氣共有8人，從右往左數(shù)時，包括淘氣共有7人，如果直接計算8+7，那么淘氣就被重復(fù)算了，應(yīng)該減去1。因此正確計算方法為：8+7-1=14（個）。

圖3

例題2：“同學(xué)們排成一排，蘭蘭前面有7人，從后數(shù)蘭蘭是第9人，這一排一共有多少人？”同樣的，我們可以根據(jù)題意畫圖（圖4）。通過畫圖可以知道，蘭蘭的前面不包括蘭蘭在內(nèi)有7人，從后往前數(shù)包括蘭蘭在內(nèi)有9人，把前后數(shù)出的人數(shù)相加就是這一排的人數(shù)，即7+9=16（人）。

圖4

例題3：“一群小猴站成一排，小猴胖胖的左邊排有9只小猴，它的右邊有5只小猴，共有小猴多少只？”根據(jù)數(shù)學(xué)信息，我們可以畫圖（圖5）。從圖中我們可以看出，胖胖的左邊有9只小猴，右邊有5只小猴，如果只是將兩數(shù)相加，這一排就少了小猴胖胖，因此，把兩數(shù)相加后還得加1，即9+5+1=15（只）。

圖5

以上三道例題都屬于排隊問題，都有一個中心人物，不同的是每個中心人物有重復(fù)出現(xiàn)的，有出現(xiàn)一次的，有一次都沒有出現(xiàn)的。我們通過畫圖比較分析可以得出：在同一排（或同一列）中，中心人物重復(fù)出現(xiàn)時，只要兩數(shù)相加后減1；中心人物只出現(xiàn)一次，只要將兩數(shù)直接相加；中心人物一次都沒有出現(xiàn)，兩數(shù)相加后加1。畫圖是為了更好地理解題目，通過畫圖讓學(xué)生學(xué)會解決一些實際問題的手段，對于一些同類問題，教師不僅要教會學(xué)生畫圖的方法，更要讓學(xué)生通過直觀圖總結(jié)出解決的方法，這樣，再遇到此類題目，他們就可以直接運用掌握的方法解決問題，而不是一味地作圖。

（四）巧用畫圖法，培養(yǎng)觀察思辨能力

通過圖形描述和分析問題可以有效地提高學(xué)生的幾何直觀能力，而幾何直觀能力的提高有助于將抽象復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡單形象，從而更好地幫助學(xué)生探索數(shù)學(xué)問題的解決思路，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)。

如在教學(xué)“線的認識”時，當(dāng)學(xué)生初步感知線段、射線和直線的特征后，教師可以讓學(xué)生畫一條3厘米長的線段，再畫一條射線和一條直線。畫線段時，必須定起點，長度為3厘米，最后定終點；畫射線時，定起點，畫直線；畫直線時，不定起點，直接畫。這樣一畫，“線段有兩個端點，有具體長度，可量；射線只有一個端點，可以向一端無限延長，無具體長度，不可量；直線無端點，可以向兩端無限延長，無具體長度，不可量”的特征，教師無須多做解釋，學(xué)生已經(jīng)理解并牢記于心。

二、畫圖法在低段數(shù)學(xué)教學(xué)中的運用研究

畫圖法是眾多解題策略中最基礎(chǔ)的策略，它能幫學(xué)生直觀地理解題意，找到解題突破口。但是題型不同，所采用的畫圖法也不一樣。下面我就談?wù)勗诙昙墧?shù)學(xué)教學(xué)中常用的三種畫圖法。

（一）線段法，尋求解題突破口

線段法是由若干條線段組成，通過畫圖幫助學(xué)生厘清等量關(guān)系，進行深入分析，尋求解題的突破口，從而降低解題難度，它可以有效地提高學(xué)生的抽象思維能力。

例題1：“一筐雞蛋第一次賣了全部的一半，第二次又賣了余下的一半，這時還剩下9個。原來這筐雞蛋有多少個？”

我們可以引導(dǎo)學(xué)生通過畫線段圖來理解題意（圖6）。由圖中可知，第二次賣雞蛋的一半后還剩下9個雞蛋，而這9個雞蛋實際上和第二次賣的雞蛋一樣多，所以第一次賣雞蛋剩下的正好是9+9=18（個），而第一次賣的雞蛋正好是總雞蛋數(shù)的一半，所以原來的雞蛋有18+18=36（個）。

圖6

（二）簡易圖形代替法，提升解題有效性

在平時的學(xué)習(xí)過程中，對于一些復(fù)雜的圖形，在進行畫圖時我們可以采用簡易幾何圖形代替法進行，大大縮短審題、畫圖時間的同時，還能有效厘清關(guān)系，降低難度，加快解題速度，提高解題正確率。

例題2：“廣場上有一些阿姨在跳廣場舞，她們排成了一個方陣，無論從前往后數(shù)，從后往前數(shù)，還是從左往右數(shù)，從右往左數(shù)，李阿姨都排在第3，算一算一共有多少個阿姨在跳舞。”根據(jù)題意畫圖如下（圖7），△代表其他阿姨，●代表李阿姨。從圖中可以看到，李阿姨站的這一橫排人數(shù)是3+3-1=5（人），站的這一豎排人數(shù)是3+3-1=5（人），那么跳廣場舞的總?cè)藬?shù)就是5個5人，即5×5=25（人）。

圖7

（三）樹形圖，彰顯有序思考

樹形圖是畫圖方法中結(jié)構(gòu)最簡單卻又十分重要的方法，在生活中、工作中都有廣泛的應(yīng)用。如搭配早餐、搭配衣服、挑選線路等排列組合問題，要想做到結(jié)果不重復(fù)也不遺漏，選用樹形圖最合適，它既能直觀地呈現(xiàn)各種結(jié)果，又能不重復(fù)、不遺漏，有序地呈現(xiàn)結(jié)果。例題3：“蘭蘭有4件上衣，3條褲子，有幾種不同的搭配方法？”

我們可以把搭配的情況用連線的方法表示（圖8），從連線圖中，我們發(fā)現(xiàn)1件上衣可以分別與3條褲子搭配，那么4件上衣和3條褲子搭配就相當(dāng)于4個3，有3×4=12（種）不同的搭配方法。

圖8

三、畫圖法在低段數(shù)學(xué)教學(xué)中的一般步驟

蘇霍姆林斯基曾說：“如果哪個學(xué)生學(xué)會了畫應(yīng)用題，我就可以有把握地說，他一定能學(xué)會解應(yīng)用題?！笨梢姡媹D法在小學(xué)數(shù)學(xué)解決問題中起到橋梁的作用。但是在實際教學(xué)中，很多學(xué)生只有在教師的提示下才會知道選用何種畫圖法來解決數(shù)學(xué)問題。“授之以魚不如授之以漁”，方法比結(jié)果更為重要。作為教師，應(yīng)有意識、有方法地進行畫圖法教學(xué)，讓學(xué)生在畫圖過程中體會方法、感悟策略，引導(dǎo)學(xué)生逐步踏上數(shù)學(xué)思維之旅。在教學(xué)中，我一般會按以下幾個步驟實施。

（一）熟讀題目，審清題意

“讀書百遍，而義自見?！弊x題是畫圖解決問題的第一步，只有多讀，才能明確題目中的已知信息和問題，弄清題意，為接下來的解題奠定基礎(chǔ)。在讀題時，我會讓學(xué)生畫出關(guān)鍵詞，如誰比誰多（或少），誰是“1”倍量，等等。

（二）理解題意，確定畫法

讀懂題意之后，就是解題最重要的一步——正確畫圖。我會啟發(fā)學(xué)生思考，以往教師在解決此類題時選用何種畫圖方法，方法選定后根據(jù)題目的已知信息和問題，畫出相應(yīng)的圖形。

（三）找準關(guān)系，分析作答

每道解決問題其實都存在著一定的數(shù)量關(guān)系，畫圖能讓這些數(shù)量關(guān)系一目了然。我會引導(dǎo)學(xué)生借助直觀圖進行分析，思考解決問題的關(guān)鍵點，找出解決問題的方法。

四、畫圖法在低段數(shù)學(xué)教學(xué)中的評價策略

對于低段學(xué)生的畫圖要求不宜過高，不能強求學(xué)生畫的圖與教師或教材中的圖一模一樣，只要所畫的圖合理即可。教師應(yīng)及時發(fā)現(xiàn)學(xué)生畫圖的好方法，與全班交流分享，不僅可以優(yōu)化畫圖方法，還可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性。

總之，在學(xué)生數(shù)學(xué)能力培養(yǎng)的重要階段，我們應(yīng)注重學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)、數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)。數(shù)學(xué)思想包括數(shù)形結(jié)合，而在低段數(shù)學(xué)中，數(shù)形結(jié)合的表現(xiàn)形式就是畫圖法。所以，在數(shù)學(xué)的教學(xué)中，教師應(yīng)善于將內(nèi)容化難為易，運用直觀的畫圖法開展教學(xué)活動，提高教學(xué)效率和教學(xué)質(zhì)量。