戴妍百，高 麗，李改利，李秀秀

(延安大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，陜西 延安 716000)

不定方程作為數(shù)論學(xué)習(xí)的一個(gè)分支，是指其解的范圍為整數(shù)、正整數(shù)、有理數(shù)或代數(shù)整數(shù)的方程或方程組，特點(diǎn)是未知數(shù)的個(gè)數(shù)多于方程的個(gè)數(shù)。古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖于三世紀(jì)初就研究過若干這類方程，所以不定方程又稱丟番圖方程。

設(shè)A,B,C∈N，A無平方因子，關(guān)于不定方程

Ax2+B=Cyn,(x,y,n∈N,n≥2)

(1)

整數(shù)解的問題是數(shù)論中的一個(gè)重難點(diǎn)問題，將求解該類問題的方法用代數(shù)數(shù)論來研究，會(huì)得到如下的結(jié)果：

當(dāng)A=1，1，C=1，文獻(xiàn)[1]證明了方程(1)無整數(shù)解；當(dāng)A=2，B=1，C=1，n=5時(shí)，文獻(xiàn)[2]證明了方程(1)僅有整數(shù)解(x,y)=(±11,3)；當(dāng)A=1,B=16,C=1,n=7時(shí)，文獻(xiàn)[3]證明了方程(1)無整數(shù)解；當(dāng)A=1,B=64,C=1,n=11時(shí)，文獻(xiàn)[4]證明了方程(1)無整數(shù)解；當(dāng)A=1,B=4n,n=1,2,3,C=1時(shí)，文獻(xiàn)[5]證明了方程(1)無整數(shù)解；當(dāng)A=1,B=4n,n=1,2,3,C=1時(shí)，文獻(xiàn)[6]證明了方程(1)無整數(shù)解；當(dāng)A=1,B=256,C=1,n=17時(shí)，文獻(xiàn)[7]證明了方程(1)無整數(shù)解；

對(duì)于A=1,B=4 096,C=4,n=17的不定方程解的情況，本文應(yīng)用代數(shù)數(shù)論與同余理論進(jìn)行研究，并證明了不定方程x2+4 096=4y17,x,y∈Z無整數(shù)解。

1 預(yù)備知識(shí)

定義1[8]設(shè)m≠0，如果m|b-a，那么就稱b同余于a模m，a是b對(duì)模m的剩余，記做

b≡a(modm)，

否則，稱b不同余于a模m，a不是b對(duì)模m的剩余，上式稱為模m的同余式，或簡(jiǎn)稱為同余式。

引理1[9]設(shè)M是唯一分解整數(shù)環(huán)，正整數(shù)k≥2，以及α，β∈Z,(α,β)=1，αβ=τk，τ∈M，

則有

α=ε1μk，β=ε2?k，μ,?∈M，

其中ε1,ε2是M中的單位元素，并且ε1ε2=εk，ε為單位元素。

2 定理及證明

定理不定方程

x2+4 096=4y17,x,y∈Z

(2)

無整數(shù)解。

證明分x≡1(mod 2)和x≡0(mod 2)兩個(gè)方面進(jìn)行分析：

(1)當(dāng)x≡1(mod 2)時(shí)，在Z[i]中(2)式可以等價(jià)為

(x+64i)(x-64i)=4y17,x,y∈Z,

設(shè)(x+64i)(x-64i)=ε，

由ε|(2x,128i)=2，

可知ε只能取1,1+i,2。

因?yàn)閤≡1(mod 2)，則有

x+64i≡1(mod 2),

所以ε≠2。

假設(shè)ε=1+i，則有

N(1+i)|N(x+64i)，

即2|x2+4 096，

此情形與x≡1(mod 2)產(chǎn)生矛盾，所以ε≠1+i。

設(shè)ε=1，由此和引理1得

x+64i=4(a+bi)17,x,a,b∈Z。

根據(jù)上式可得

x=4(a17-136a15b2+2 380a13b4-12 376a11b6+

24 310a9b8-19 448a7b10+6 188a5b12-680a3b14+

17ab16)，

(3)

64=4b(17a16-680a14b2+6 188a12b4-19 448a10b6+

24 310a8b8-12 376a6b10+2 380a4b12-136a2b14+

b16)，

(4)

要使得(4)式成立，則b=±1,±2,±4,±8,±16。

1)當(dāng)b=1時(shí)，由(4)式可知

15=17a16-680a14+6 188a12-19 448a10+

24 310a8-12 376a6+2 380a4-136a2。

(5)

要使(5)式成立，則必須滿足17|15，顯然不成立，所以b≠1。

2)當(dāng)b=-1時(shí)，由(4)式可知

-17=17a16-680a14+6 188a12-19 448a10+

24 310a8-12 376a6+2 380a4-136a2。

(6)

要使(6)式成立，則a2=1，則有(6)式右邊等于15，所以b≠-1。

3)當(dāng)b=2時(shí)，由(4)式可知

1.2.2 專家訪談法 根據(jù)本課題研究?jī)?nèi)容，于2018年3月至6月訪談北京大學(xué)校選修課的授課教師與北京體育大學(xué)體育舞蹈教研室2位副教授（表1），獲得上課的內(nèi)容、學(xué)時(shí)分配、負(fù)荷量等相關(guān)信息。

8=17a16-680a14×22+6 188a12×24-19 448a10×

26+24 310a8×28-12 376a6×210+2 380a4×212-

136a2×214+216。

(7)

因?yàn)?-216=-65 528，要使(7)式成立，則必須滿足17|-65 528，顯然不成立，所以b≠2。

4)當(dāng)b=-2時(shí)，由(4)式可知

-8-(-2)16=17a16-680a14×22+6 188a12×24-

19 448a10×26+24 310a8×28-12 376a6×210+

(8)

因?yàn)?8-(-2)16=-65 544，要使(8)式成立，則17|-65 544，顯然不成立，所以b≠-2。

5)當(dāng)b=4時(shí)，由(4)式可知

4-416=17a16-680a14×42+6 188a12×44-

19 448a10×46+24 310a8×48-12 376a6×410+

2 380a4×412-136a2×414。

(9)

因?yàn)?-416=-4 294 967 292，要使(9)式成立，則17|-4 294 967 292，顯然不成立，所以b≠4。

6)當(dāng)b=-4時(shí)，由(4)式可知

-4-(-4)16=17a16-680a14×42+6 188a12×44-

19 448a10×46+24 310a8×48-12 376a6×410+

2 380a4×412-136a2×414。

(10)

因?yàn)?4-(-4)16=-4 294 967 300，要使(10)式成立，則17|-4 294 967 300，顯然不成立，所以b≠-4。

7)當(dāng)b=8時(shí)，由(4)式可知

2-816=17a16-680a14×82+6 188a12×84-

19 448a10×86+24 310a8×88-12 376a6×810+

2 380a4×812-136a2×814。

(11)

因?yàn)?-816=-281 474 976 710 654，要使(11)式成立，則17|-281 474 976 710 654，顯然不成立，所以b≠8。

8)當(dāng)b=-8時(shí)，由(4)式可知

-2-(-8)16=17a16-680a14×82+6 188a12×84-

19 448a10×86+24 310a8×88-12 376a6×810+

2 380a4×812-136a2×814。

(12)

因?yàn)?2-(-8)16=-281 474 976 710 658，要使(12)式成立，則17|-281 474 976 710 658，顯然不成立，所以b≠-8。

9)當(dāng)b=16時(shí)，由(4)式可知

1-1616=17a16-680a14×162+6 188a12×164-

19 448a10×166+24 310a8×168-12 376a6×1610+

2 380a4×1612-136a2×1614。

(13)

因?yàn)?-1616=-18 446 744 073 709 551 615，要使(13)式成立，

則17|-18 446 744 073 709 551 615，顯然不成立，則b≠16。

10)當(dāng)b=-16時(shí)，由(4)式可知

-1-(-16)16=17a16-680a14×162+6 188a12×164-

19 448a10×166+24 310a8×168-12 376a6×1610+

2 380a4×1612-136a2×1614。

(14)

因?yàn)?1-(-16)16=-18 446 744 073 709 551 617，要使(14)式成立，

則17|-18 446 744 073 709 551 617，顯然不成立，則b≠-16。

因此，當(dāng)x≡1(mod 2)時(shí)，不定方程x2+4 096=4y17無整數(shù)解。

(2)當(dāng)x≡0(mod 2)時(shí)，可知x為偶數(shù)，則y也為偶數(shù)。

令x=2x1,y=2y1,x1,y1∈Z,代入(2)式可得(2x1)2+4 096=4(2y1)17，即

x12+1 024=217y117。

(15)

由(15)式可知x1為偶數(shù)，令x1=2x2,x2∈Z,代入(15)式可得

x22+256=215y117。

(16)

由(16)式可知x2為偶數(shù)，令x2=2x3,x3∈Z,代入(16)式可得

x32+64=213y117。

(17)

由(17)式可知x3為偶數(shù)，令x3=2x4,x4∈Z,代入(17)式可得

x42+16=211y117。

(18)

由(18)式可知x4為偶數(shù)，令x4=2x5,x5∈Z,代入(18)式可得

x52+4=29y117。

(19)

由(19)式可知x5為偶數(shù)，令x5=2x6,x6∈Z,代入(19)式可得

x62+1=27y117。

(20)

由(20)式可知x6為奇數(shù)，令x6=2x7+1,x7∈Z,代入(20)式可得

2x72+2x7+1=26y117。

(21)

由(21)式可知等式左邊為奇數(shù)，等式右邊為偶數(shù)，產(chǎn)生矛盾。

因此，當(dāng)x≡0(mod 2)時(shí)，不定方程x2+4 096=4y17無整數(shù)解。

綜上所述，不定方程x2+4 096=4y17，x,y∈Z無整數(shù)解。