楊佳佳

摘? ? 要：本文主要研究帶有分?jǐn)?shù)階耗散的二維Camassa-Holm方程在有界光滑區(qū)域上解的長(zhǎng)時(shí)間動(dòng)力學(xué)行為問(wèn)題。通過(guò)利用半群分解技巧來(lái)證明該方程的解所生成的解半群的漸近緊性，從而得到全局吸引子和指數(shù)吸引子在相空間中的存在性。

關(guān)鍵詞：粘性Camassa-Holm方程;全局吸引子;指數(shù)吸引子

中圖分類號(hào)：O19? ? ? ? ? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? ? ? ? ? ? ? ?文章編號(hào)：2095-7394（2021）04-0038-10

近年來(lái)，對(duì)具有非局部效應(yīng)或異常擴(kuò)散的流體動(dòng)力學(xué)方程漸近行為問(wèn)題的研究受到了廣泛的關(guān)注。特別地，Camassa-Holm方程由對(duì)淺水方程的漸近研究而產(chǎn)生，是一類非常重要的新型淺水波方程。GAN等人[1]證明了當(dāng)[s=n/4，1n=2，3]時(shí)，帶粘性的Camassa-Holm方程在有界光滑區(qū)域上是全局適定的，即解關(guān)于時(shí)間的全局存在性、唯一性以及對(duì)初值的連續(xù)依賴性，并進(jìn)一步研究[2]得到該Camassa-Holm方程的解在Sobolev空間更高的正則性估計(jì)。

本文擬對(duì)帶有分?jǐn)?shù)階耗散的二維Camassa-Holm方程解的長(zhǎng)時(shí)間動(dòng)力學(xué)行為問(wèn)題展開(kāi)研究，假定[Ω?R2]是有界光滑區(qū)域，[s∈1，∞]，則有以下方程：

方程（1）描述了在有界光滑區(qū)域內(nèi)帶有分?jǐn)?shù)階耗散的二維粘性流體的運(yùn)動(dòng)，能有效模擬水動(dòng)力問(wèn)題、流體中界面運(yùn)動(dòng)，以及捕捉許多流體動(dòng)力學(xué)的非局部特征，如非局部漂移、擴(kuò)散、熱效應(yīng)及電磁效應(yīng)[1-2]。當(dāng)[s=1]時(shí)，該方程則是經(jīng)典的Camassa-Holm方程，簡(jiǎn)稱為L(zhǎng)ANS-ɑ模型。在過(guò)去二十多年里，學(xué)界對(duì)該方程已有廣泛而深入的研究[3]。

本文主要研究在有界光滑區(qū)域內(nèi)，帶有分?jǐn)?shù)階耗散的二維粘性Camassa-Holm方程解的長(zhǎng)時(shí)間動(dòng)力學(xué)行為;利用半群技巧來(lái)研究該方程的解所生成的解半群的漸近行為，通過(guò)全局吸引子和指數(shù)吸引子的存在性來(lái)對(duì)其刻畫(huà)。

以下，在本文第二部分首先介紹一些預(yù)備知識(shí);第三部分給出了本文要證明的主要結(jié)論;第四部分證明了Camassa-Holm方程的解所生成的解半群的連續(xù)性;第五、六部分，基于半群分解技巧證明了解半群的漸近緊性，從而得到全局吸引子和指數(shù)吸引子的存在性。

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責(zé)任編輯? ? 王繼國(guó)