王慎敏

摘 要：本文主要站在雪球式期權(quán)買方的角度對其收益進行分析。首先介紹了如何通過隨機過程和蒙特卡洛模擬對雪球式期權(quán)進行定價，然后通過蒙特卡洛模擬買方的收益分布，對其盈虧概率進行分析，發(fā)現(xiàn)買方盈利的概率是大于虧損的概率的，但是其在虧損情形下虧損的均值要大于盈利情形下盈利的均值。同時回測近5年連續(xù)持有同一雪球標(biāo)的收益曲線，發(fā)現(xiàn)買方在歷史上連續(xù)買入指數(shù)雪球式期權(quán)并不能獲得超過指數(shù)的收益。將買入雪球期權(quán)和香草期權(quán)進行對比，發(fā)現(xiàn)雪球式期權(quán)可以在震蕩行情中獲得更高的收益。

關(guān)鍵詞：雪球期權(quán);蒙特卡洛模擬;隨機過程

中圖分類號：F23 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：Adoi：10.19311/j.cnki.1672-3198.2021.36.074

0 引言

隨著國內(nèi)期權(quán)市場的發(fā)展，普通的香草期權(quán)早已被廣大投資者所熟知。奇異期權(quán)則是由普通期權(quán)衍生出來的復(fù)雜期權(quán)，其有著各種復(fù)雜的收益結(jié)構(gòu)，可以滿足買方的不同投資需求。比較常見的奇異期權(quán)有亞式期權(quán)、障礙期權(quán)、彩虹期權(quán)等。而雪球期權(quán)作為奇異期權(quán)的一種，是一種多條件的障礙期權(quán)，在國內(nèi)出現(xiàn)的時間相對較晚，大家對其認(rèn)識還比較有限，而近幾年來，以雪球式期權(quán)為代表的奇異期權(quán)的交易規(guī)模在逐年上升，因此對奇異期權(quán)進行研究與推廣有著重要意義。

1 雪球期權(quán)介紹

雪球期權(quán)是一種帶有自動贖回機制的雙邊障礙期權(quán)，買方在持有某標(biāo)的看漲觀點同時，提供一定程度下跌保護，其具有以下機制。

（1）向上敲出機制。存續(xù)期間月度觀察，每月固定觀察日標(biāo)的收盤價，若該收盤價≥月觀察收益價，則該月可獲得收益;若該收盤價≥月觀察自動贖回價，產(chǎn)品自動贖回，返還本金，計算累計收益。

（2）向下敲入機制。存續(xù)期間日度觀察，若相應(yīng)標(biāo)的收盤價從未下跌到約定敲入水平，不會面臨投資損失。若相應(yīng)標(biāo)的收盤價曾下跌到約定敲入水平，到期可能承擔(dān)投資損失。

假設(shè)如下的雪球式期權(quán)：固定年化利息為16.18%，周期為6個月，敲入價格為80%，敲出價格為103%，則主要有三個最終收益情景：

情景1：標(biāo)的股票每日收盤價曾低于80%;第五個月度觀察日高于103%;存續(xù)月份=5個月;投資人收益率=5*16.18%/12=6.74%（年化16.18%）。

情景2：標(biāo)的股票每日收盤價未曾低于80%;月度觀察日從未高于103%;存續(xù)月份=6個月;投資人收益率=16.18%（年化）。

情景3：標(biāo)的股票每日收盤價曾低于80%;月度觀察日從未高于103%;到期標(biāo)的跌幅10%;存續(xù)月份=6個月;投資人收益率=-20%（年化）。

2 雪球式期權(quán)定價方法

奇異期權(quán)主要有兩種定價方法，方法一是理論定價，通過數(shù)學(xué)上的嚴(yán)密推導(dǎo)，求解理論封閉解析解;方法二是數(shù)值定價，通過重復(fù)大量的模擬計算，對計算結(jié)果進行收斂，求解數(shù)值解。

隨著各種奇異期權(quán)的復(fù)雜程度不斷提高，通過數(shù)學(xué)推導(dǎo)理論封閉解的方式越來越復(fù)雜，并且在計算數(shù)學(xué)領(lǐng)域還沒有解決高緯正態(tài)分布積分的有效解法，許多奇異期權(quán)并沒有封閉解析解。而數(shù)值定價可以對這些奇異期權(quán)進行定價，在眾多數(shù)值定價方法中，Monte Carlo模擬法是最常用的一種方法。

股價的變化在理論上是一個隨機過程，其可以用伊藤定理來描述：

根據(jù)模擬結(jié)果，該雪球式期權(quán)在第一個月大于敲出價觸發(fā)自動贖回的概率最高，概率為30%，接下來的幾個月自動贖回概率逐漸下降，第五個月達(dá)到最低（4%）。但是其第6個月到期結(jié)算的概率為第二高，概率為17%。與此同時，該結(jié)構(gòu)有24%的概率到期虧損，其中平均虧損約為15%，最大虧損高達(dá)46%。作為雪球式期權(quán)的買方，雖然其盈利的概率比虧損的概率高52%，但是其在虧損情形下虧損的均值和極值都高于盈利的情形。

3.1.2 調(diào)低敲入價格至80%，選取掛鉤滬深300指數(shù)的雪球式期權(quán)

固定年化利息為8.1%，周期為6個月，敲入價格為80%，敲出價格為103%，隱含波動率為0.2。

采用蒙特卡洛模擬法模擬300000次持有該雪球期權(quán)的到期收益，刻畫收益分布。

根據(jù)模擬結(jié)果，該雪球式期權(quán)在第一個月大于敲出價觸發(fā)自動贖回的概率第二高，概率為28%，接下來的幾個月自動贖回概率逐漸下降，第五個月達(dá)到最低（12%）。但是其第6個月到期結(jié)算的概率為最高，概率為31%。主要原因是選取的隱含波動率為0.2，并不是很高，標(biāo)的在隱含波動率下6個月內(nèi)跌20%的概率并不高，因此該雪球式期權(quán)持續(xù)到期的概率較大。與此同時，該結(jié)構(gòu)有10%的概率到期虧損，其中平均虧損約為20%，最大虧損高達(dá)48%。作為雪球式期權(quán)的買方，雖然其盈利的概率比虧損的概率高80%，但是其在盈利情形下的利潤較低，且在虧損情形下虧損的均值和極值都高于盈利的情形。

3.1.3 周期延長，并下調(diào)敲入價格，選取掛鉤滬深300指數(shù)的雪球式期權(quán)

固定年化利息為13%，周期為12個月，敲入價格為80%，敲出價格為103%，隱含波動率為0.2。采用蒙特卡洛模擬法模擬300000次持有該雪球期權(quán)的到期收益，刻畫收益分布。

根據(jù)模擬結(jié)果，該雪球式期權(quán)在第一個月大于敲出價觸發(fā)自動贖回的概率最高，概率為21%，第二個月敲出的概率為10%，接下來的幾個月自動贖回概率逐漸下降，第十一個月達(dá)到最低（1%）。但是其第十二個月到期結(jié)算的概率為第三高，概率為9%。與此同時，該結(jié)構(gòu)有17%的概率到期虧損，其中平均虧損約為20%，最大虧損高達(dá)57%。

對比以上3個例子，下調(diào)敲入價格后的到期虧損概率由例一的24%下降了14%至例二的10%，繼續(xù)延長周期后，到期虧損又增加7%至17%。

作為雪球式期權(quán)的買方，雖然其盈利的概率比虧損的概率高50%以上，但是其在虧損情形下虧損的均值和極值都高于盈利的情形。如果為了降低到期虧損的概率，可優(yōu)先選擇購買期限較短或敲入價格較低的結(jié)構(gòu)。

3.2 長期持有雪球式期權(quán)收益回測

假設(shè)買方從2010年1月到2020年7月長期持有掛鉤滬深300指數(shù)的雪球期權(quán)。

以2010年1月最后1日收盤價為建倉價，每月最后1日收盤進行觀察，如果大于敲出價，自動贖回后再以收盤價進行建倉，如果小于敲出價就繼續(xù)持有。一直循環(huán)到2020年7月31日。在回測中，若沒有敲入則按月累加年化收益，若敲入在在到期日計提虧損。

買方的收益曲線如圖5。

從2010年1月到2020年7月，持有以滬深300為標(biāo)的的雪球期權(quán)和持有滬深300指數(shù)的累計收益分別為4.6%和15.2%，持有滬深300指數(shù)的收益比持有雪球期權(quán)的收益高10%左右。雪球在指數(shù)上漲或者小幅震蕩階段可以獲得固定的利息，但是在指數(shù)大幅下跌的階段會產(chǎn)生等同于指數(shù)跌幅的虧損，長期來看并不能跑贏指數(shù)。

4 雪球期權(quán)價格曲線

作為雪球期權(quán)的買方，如果其在同時持有某標(biāo)的的現(xiàn)貨以及該標(biāo)的雪球式期權(quán)，其收益曲線如下：

固定年化利息為16.38%，周期為6個月，敲入價格為85%，敲出價格為103%，持有1個月的曲線如圖6所示。持有4個月的曲線如圖7所示。持有1個月時雪球期權(quán)收益減標(biāo)的收益如圖8所示。持有4個月時雪球期權(quán)收益減標(biāo)的收益如圖9所示。

對比持有該雪球期權(quán)在第一個月和第四個月時，在不同標(biāo)的價格情況下的雪球期權(quán)價格曲線可以發(fā)現(xiàn)。持有雪球的收益在敲入線以下時跟標(biāo)的本身收益基本持平，在標(biāo)的漲幅大于雪球本身的固定收益率后，持有雪球期權(quán)相對于持有標(biāo)的本身的額外收益逐漸減小，隨著標(biāo)的漲幅增加，持有標(biāo)的本身的收益會逐漸大于持有雪球期權(quán)的收益。因此，雪球式期權(quán)的收益只有在標(biāo)的漲幅較小且大于敲入價格的時候才能獲得超出標(biāo)的自身漲跌幅的收益。

5 買入雪球期權(quán)和歐式平值看漲期權(quán)對比

對于投資者而言，購買掛鉤相同標(biāo)的雪球式期權(quán)或歐式平值看漲期權(quán)，會有不同的收益結(jié)構(gòu)。分別持有下列雪球式期權(quán)滿3個月時：固定年化利息為16.38%，周期為6個月，敲入價格為85%，敲出價格為103%，歐式平值看漲期權(quán)，周期為6個月，價格為7.24%。

對比可以發(fā)現(xiàn)，在標(biāo)的大幅上漲的時候，購買歐式平值看漲期權(quán)可以獲得更大的收益，在標(biāo)的大幅下跌的時候，承受的虧損也是有限的，最大的虧損就是付出的期權(quán)費。而雪球式期權(quán)在行情大幅上漲時收益是有限的，即約定的年化利息，在標(biāo)的大幅下跌時卻要承擔(dān)跟標(biāo)的跌幅相同的虧損，不過其在標(biāo)的橫盤或者小幅下跌時卻能獲得更多的收益。

6 結(jié)語

隨著期權(quán)市場在國內(nèi)金融市場的份額逐漸增加，奇異期權(quán)也成為了各金融機構(gòu)的一個重點業(yè)務(wù)發(fā)展方向，本文詳細(xì)介紹了一種奇異期權(quán)-雪球式期權(quán)，并介紹了如何用隨機過程模擬股價變動并用蒙特卡洛模擬法來對雪球式期權(quán)進行定價，然后詳細(xì)分析了雪球式期權(quán)的買方的收益特征。

首先，選取了2個不同的雪球式期權(quán)對其的到期收益進行分析，通過蒙特卡洛模擬三十萬次，刻畫雪球式期權(quán)在這三十萬個股價路徑下的收益分布。通過對比發(fā)現(xiàn)，作為雪球式期權(quán)的買方，雖然其盈利的概率比虧損的概率高50%以上，但是其在虧損情形下虧損的均值和極值都高于盈利的情形，而延長周期和下調(diào)敲入價格可以降低到期虧損概率。因此對于風(fēng)險厭惡的投資者，可以優(yōu)先選取敲入價格更低的雪球式期權(quán)。

其次，對比了近10年來長期持有滬深300指數(shù)和掛鉤滬深300指數(shù)的雪球式期權(quán)，發(fā)現(xiàn)持有雪球式期權(quán)在近10年來并不能獲得超出指數(shù)的收益。隨后對比了持有雪球式期權(quán)和持有該標(biāo)的本身或掛鉤該標(biāo)的的歐式看漲期權(quán)的收益，發(fā)現(xiàn)在行情大幅上漲或下跌時持有標(biāo)的或歐式看漲期權(quán)會優(yōu)于持有雪球式期權(quán)，在震蕩行情中持有雪球式期權(quán)可以獲得更高的收益。投資者在購買雪球式期權(quán)前，也需要對掛鉤標(biāo)的進行一定程度的擇時或有一定的標(biāo)的選取能力，盡量避免預(yù)期在未來會大幅下跌的標(biāo)的。

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