賀佳圓

（中國(guó)農(nóng)業(yè)大學(xué)，北京 100083）

在所有的體育比賽中，棒球無(wú)疑是最突出智力競(jìng)賽的項(xiàng)目之一。棒球運(yùn)動(dòng)是一項(xiàng)以跑、跳、投、打、接等技術(shù)動(dòng)作構(gòu)成的、在特定技術(shù)和戰(zhàn)術(shù)基礎(chǔ)上進(jìn)行的團(tuán)隊(duì)體育運(yùn)動(dòng)［1］。它在世界上影響較大，被譽(yù)為“競(jìng)技與智慧的結(jié)合”。棒球運(yùn)動(dòng)在美國(guó)、日本尤為盛行，被稱為“國(guó)球”。早期中國(guó)棒球主要受美國(guó)棒球影響較多，之后逐漸轉(zhuǎn)向日本學(xué)習(xí)，中國(guó)棒球與美國(guó)、日本的交流多以技術(shù)動(dòng)作為主，涉及力量訓(xùn)練方面比較少［2］。雖然棒球在中國(guó)并不普及，但卻是一項(xiàng)體力與智力高度結(jié)合的運(yùn)動(dòng)：棒球運(yùn)動(dòng)不僅能夠發(fā)展體能素質(zhì)，還可以促進(jìn)智力發(fā)育，培養(yǎng)集體主義精神，非常適合在當(dāng)代青年中普遍開(kāi)展。

在一場(chǎng)棒球賽中，棒球球員分為進(jìn)攻、防守兩方。場(chǎng)上投球手是防守方，擊球手是進(jìn)攻方。進(jìn)攻方的目的就是通過(guò)揮棒打出投球手投出的球從而得分，防守方的目的就是阻止進(jìn)攻方得分。無(wú)論是哪個(gè)角色，想要在棒球運(yùn)動(dòng)中取得勝利，除了對(duì)項(xiàng)目特征有深刻認(rèn)識(shí)、進(jìn)行力量和技巧訓(xùn)練以外，還要懂得通過(guò)博弈論來(lái)制定最優(yōu)策略。

我們知道，如果一件事情的結(jié)果只依賴于一個(gè)參與者，這叫做決策論。在此基礎(chǔ)上，如果結(jié)果依賴于多于一個(gè)參與者的決策，便為博弈論。在棒球比賽中，比賽的結(jié)果不僅取決于投球手的投球技術(shù)和策略，也取決于擊球手的擊球技術(shù)和策略，因此棒球比賽的過(guò)程也是博弈的過(guò)程。

一、投球手和擊球手的預(yù)判

在棒球比賽中，投球手希望以智取勝擊球手。對(duì)某個(gè)擊球手，投球手的最佳策略可能總是投出快球，但對(duì)于另一個(gè)擊球手，投球手可能總是投出弧線球更好。而對(duì)于第三個(gè)擊球手，投球手的最佳策略可能是以某種隨機(jī)的方式混合地投出快球和弧線球。

擊球手可以猜測(cè)投球手要么投出快球，要么投出弧線球。如果他預(yù)計(jì)投球手投出快球，按照投球手實(shí)際擲出的是快球或是弧線球，他擊球?qū)⒎謩e得到0.400或是0.200分；如果他預(yù)計(jì)是弧線球，按照投球手實(shí)際擲出的是快球或是弧線球，他擊球?qū)⒎謩e得到0.100或是0.300分。在這個(gè)例子中，投球手希望使擊球手的平均得分最小，而擊球手希望自己的平均得分最大，因此投球手和擊球手的沖突是完全的，沒(méi)有參與者在不傷害其他參與者的前提下能夠使自己得到改善，投球手和擊球手之間注定是一個(gè)完全沖突博弈的關(guān)系。

可以看出在這種情況下，如果擊球手預(yù)計(jì)是快球，那么投球手應(yīng)該擲出弧線球。如果擊球手預(yù)計(jì)是弧線球，那么投球手應(yīng)該擲出快球。正如表1中所示，投球手需要采用兩種策略，即快球和弧線球。從擊球手的角度看，如果投球手總是投出快球，擊球手將轉(zhuǎn)換到總是預(yù)計(jì)快球的策略，而如果投球手總是投出弧線球，擊球手將轉(zhuǎn)換到總是預(yù)計(jì)弧線球的策略。擊球手也需要采用兩種策略，這意味著一個(gè)參與者總是可以通過(guò)單方面改變策略使得自己得到改善，投球手和擊球手的較量沒(méi)有純策略解，兩人都沒(méi)有占優(yōu)策略。那么，對(duì)擊球手和投球手而言，最佳混合策略是什么？

二、擊球手的最佳策略

我們首先考慮擊球手的決策，他希望選擇猜測(cè)快球或者弧線球的組合，使擊球平均分最大。令x表示擊球手猜測(cè)是快球的比例，1-x表示猜測(cè)是弧線球的比例，我們有EV（投球手投快球）=0.400x+0.100（1-x），EV（投球手投弧線球）=0.200x+0.300（1-x），令它們相等并求解，得到0.400x+0.100（1-x）=0.200x+0.300（1-x），解得x=0.5。因此，擊球手應(yīng)該猜測(cè)50%的快球和50%的弧線球。我們可以通過(guò)計(jì)算投球手采用快球策略或者弧線球策略時(shí)對(duì)應(yīng)的擊球手的期望值來(lái)確定擊球平均分：EV（投球手投快球）=0.400x+0.100（1-x）=0.400*0.5+0.100*0.5=0.250。這表明，如果擊球手50%的時(shí)間猜測(cè)快球，無(wú)論投球手采用純快球策略還是純弧線球策略，他都能得到0.250的分?jǐn)?shù)。令y表示投球手?jǐn)S出快球的比例，1-y表示投球手?jǐn)S出弧線球的比例，由于無(wú)論投球手?jǐn)S出快球還是弧線球，結(jié)果分?jǐn)?shù)都是0.250，所以我們有擊球平均分的期望值：A=0.250y+0.250（1-y）=0.250，因此，無(wú)論投球手采用何種策略，只要擊球手采用自己的最優(yōu)策略，他都能得到0.250的分?jǐn)?shù)。

三、投球手的最佳策略

我們?cè)賮?lái)考慮投球手的決策，他希望選擇擲出快球或者弧線球的某種組合，使擊球平均分最小。同理，我們給出擊球手的策略的期望值，EV（擊球手采用快球策略）=0.400y+0.200（1-y），EV（擊球 手 采 用弧線 球策略）=0.100y+0.300（1-y），令它們相等并求解，得到0.400y+0.200（1-y）=0.100y+0.300（1-y），解得 y=0.250。因此，投球手應(yīng)該擲出25%的快球和75%的弧線球，與前面一樣，擊球平均分0.250，這可以通過(guò)計(jì)算期望值驗(yàn)證，EV（擊 球 手 采用 快 球 策 略）=0.400y+0.200（1-y）=0.400*0.25+0.200*0.75=0.250。無(wú)論擊球手采用純快球策略還是純弧線球策略，擊球平均分都是0.250，如果擊球手采用混合策略而投球手堅(jiān)持25%的時(shí)間擲出快球，75%時(shí)間擲出弧線球，擊球平均分的期望值都是A=0.250x+0.250（1-x）=0.250，所以，無(wú)論擊球手采用何種策略，只要投球手采用自己的最優(yōu)策略，他都能使擊球平均分是0.250，投球手的結(jié)果不再依賴于擊球手的策略。

四、投球手和擊球手最優(yōu)策略的模型

我們可以將上述博弈過(guò)程一般化，得到一個(gè)適用于任何簡(jiǎn)單情形的博弈模型。我們假設(shè)擊球手預(yù)計(jì)投球手投出快球，按照投球手實(shí)際擲出的是快球或是弧線球，他擊球?qū)⒎謩e得到a或是b分；如果他預(yù)計(jì)是弧線球，按照投球手實(shí)際擲出的是快球或是弧線球，他擊球?qū)⒎謩e得到c或是d分。我們按照前文的思路，可以得到EV（投球手投快球）=ax+c（1-x），EV（投球手投弧線球）=bx+d（1-x），令它們相等并求解，得到x=（d-c）/（a-b+d-c），因此，擊球手應(yīng)該猜測(cè)（d-c）/（a-b+d-c）的快球和［1-（d-c）/（a-b+d-c）］的弧線球。對(duì)于投球手而言，EV（擊球手采用快球策略）=ay+b（1-y），EV（擊球手采用弧線球策略）=cy+d（1-y），令它們相等并求解，得到y(tǒng)=（d-b）/（a-c+d-b），因此，投球手應(yīng)該擲出（d-b）/（a-c+d-b）的快球和［1-（d-b）/（a-c+d-b）］的弧線球。這個(gè)博弈模型適用于投球手和擊球手在知道擊球手的預(yù)判和投球手實(shí)際投出的球所對(duì)應(yīng)的得分時(shí)，能夠自動(dòng)形成雙方的最優(yōu)策略。

在這場(chǎng)投球手和擊球手的較量中，需要注意的一點(diǎn)是，即使對(duì)手并不通過(guò)推理得到其最優(yōu)解，你也需要知道他策略的最優(yōu)混合方式，以便你能從他的草率行為中占到最大的便宜［3］。

我們注意到保密是很重要的，在前文的例子中，擊球手必須猜測(cè)投球手以50%的概率混合擲出快球和弧線球，但投球手沒(méi)有必要弄清楚擊球手的擊球模式。擊球手可能會(huì)利用時(shí)鐘或者隨機(jī)數(shù)發(fā)生器來(lái)決定什么時(shí)候猜測(cè)是快球。例如他利用時(shí)鐘的秒針，每當(dāng)秒針位于0-30秒時(shí)，就猜測(cè)是快球。

五、博弈模型在實(shí)際棒球比賽中的應(yīng)用

從前面的分析中，我們看到擊球手從他的最優(yōu)解中得到了有用的信息，即他可以通過(guò)一個(gè)策略保證他希望得到的結(jié)果，無(wú)論他面對(duì)的投球手采用什么樣的策略，這是一種很重要的“保證能夠得到的結(jié)果”的想法，在日常生活中也有著極為廣泛的應(yīng)用。但是我們也從前面的分析中得出，如果觀察到投球手希望最小化擊球手的擊球平均分，擊球手可能會(huì)從這個(gè)有用的信息中得到啟示從而確定投球手的最優(yōu)策略，如果投球手采用了最優(yōu)策略，擊球手不可能得到比他所能保證的擊球平均分更好的分?jǐn)?shù)，在我們上面的舉例中就是0.250的平均分。但是如果投球手不采用最優(yōu)策略，擊球手就可以通過(guò)改用他的純快球策略或者純弧線球策略來(lái)增加自己的分?jǐn)?shù)，以從投球手的草率行為中占到最大的便宜。從這個(gè)意義上講，投球手的最優(yōu)策略代表了擊球手的一個(gè)臨界點(diǎn)，如果投球手不采用最優(yōu)策略，擊球手也可以不采用他的最優(yōu)混合策略，從而使得自己的擊球平均分超過(guò)0.250，這是他所能保證得到的分?jǐn)?shù)。最重要的一點(diǎn)在于，投球手并不一定是一個(gè)理性的參與者（即自身利益最大、持續(xù)地有意圖的行動(dòng)、不對(duì)動(dòng)機(jī)妄加猜測(cè)、不考慮道德問(wèn)題、只研究合法問(wèn)題、盈利函數(shù)有多重標(biāo)準(zhǔn)的參與者），因此擊球者可以從非理性的投球者身上占到便宜。

在實(shí)際中，每個(gè)參與者的球技肯定會(huì)發(fā)生變化。例如，針對(duì)某個(gè)特定的擊球手，如果所有的投球手的最優(yōu)混合策略是只擲出弧線球，那么這個(gè)擊球手很可能會(huì)改進(jìn)他擊打弧線球的能力，這就會(huì)使投球手對(duì)應(yīng)的擊球手的最優(yōu)混合策略發(fā)生改變，相應(yīng)的擊球平均分也會(huì)發(fā)生變化。

每個(gè)參與者的策略可能會(huì)有拓展，比如與不同的投球手（力量型投球手、技巧型投球手、策略型投球手等）博弈，擊球手采用不同策略的得分是不同的。除此之外，投球手還可能投出快球、叉指快速球、弧線球、變速球等，擊球手知道這些投球方式，且必須為這些投球方式做好適當(dāng)準(zhǔn)備。當(dāng)每個(gè)參與者的策略增多時(shí)，我們可以建立線性規(guī)劃的模型，找出最優(yōu)解來(lái)得到投球手和擊球手的策略。

六、結(jié)束語(yǔ)

投球手和擊球手的較量是一個(gè)有混合策略的完全沖突博弈，棒球賽的魅力就表現(xiàn)在投球手與擊球手在較量時(shí)發(fā)生的智力對(duì)策上，這也是吸引我研究這次博弈的原因。在棒球賽中，巧妙運(yùn)用博弈模型可以使自身的優(yōu)勢(shì)放大，得分的可能性增加，為本隊(duì)獲勝提供有利條件。同時(shí)，這種博弈的思想和最優(yōu)策略的計(jì)算方法對(duì)于其他體育比賽以及經(jīng)濟(jì)、生活等方方面面也具有極大地適用性。