鄧庭燕

【摘 要】面積是對(duì)二維空間的定量刻畫，其本質(zhì)就是度量，也就是計(jì)算所要度量的圖形包含多少個(gè)面積單位，著力于量感的培養(yǎng)。本文從北師大版數(shù)學(xué)教材“面積”單元的編排和實(shí)際學(xué)情出發(fā)，對(duì)面積的內(nèi)容進(jìn)行整體設(shè)計(jì)與教學(xué)實(shí)踐，通過設(shè)計(jì)探索活動(dòng)讓學(xué)生深度學(xué)習(xí)，理解面積的本質(zhì)。

【關(guān)鍵詞】面積 單元整體設(shè)計(jì) 本質(zhì) 度量

度量是數(shù)學(xué)的本質(zhì)，是人們創(chuàng)造出來認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)、進(jìn)而認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)世界的工具。線段的長(zhǎng)度是一切度量的出發(fā)點(diǎn)，長(zhǎng)度的測(cè)量是小學(xué)階段對(duì)于一維空間的第一次定量刻畫;面積是對(duì)二維空間的定量刻畫，在小學(xué)階段主要是指平面圖形的大小;體積則是標(biāo)志三維圖像大小的數(shù)。無論是一維、二維還是三維空間的刻畫，最終都落在數(shù)值上，如包含標(biāo)準(zhǔn)單位的個(gè)數(shù)多，則度量對(duì)象就會(huì)“長(zhǎng)一些、大一些”。定量刻畫的過程就是從形象到抽象、從直覺到推理的過程，可以幫助學(xué)生逐步感悟度量的本質(zhì)，提升空間觀念，建立量感。

一、單元教材分析

“面積”單元安排在北師大版數(shù)學(xué)三年級(jí)下冊(cè)第五單元，是“圖形與幾何”領(lǐng)域中圖形測(cè)量方面的內(nèi)容，主要包括：面積和面積單位、長(zhǎng)方形和正方形的面積、面積單位間的進(jìn)率、用所學(xué)的知識(shí)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題四部分內(nèi)容。在此之前，學(xué)生已經(jīng)經(jīng)歷了長(zhǎng)度的測(cè)量過程，學(xué)習(xí)了周長(zhǎng)，總結(jié)出了長(zhǎng)方形、正方形的周長(zhǎng)計(jì)算公式，有一定的測(cè)量經(jīng)驗(yàn)。面積的認(rèn)識(shí)以及長(zhǎng)方形、正方形面積測(cè)量的探索方法，都成為今后其他圖形測(cè)量的基礎(chǔ)知識(shí)和基本數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，也為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)體積的概念與測(cè)量提供了可遷移的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)。

“面積”這一單元是學(xué)生第一次定量刻畫二維圖形的大小，本單元強(qiáng)調(diào)學(xué)生對(duì)面積意義的理解，重視量的實(shí)際含義，以培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的空間觀念為目標(biāo)。

教材將本單元的學(xué)習(xí)內(nèi)容按如下順序安排：認(rèn)識(shí)面積—認(rèn)識(shí)面積單位—用面積單位度量長(zhǎng)方形的面積—用公式度量長(zhǎng)方形的面積—估計(jì)面積大小—面積單位的換算。這樣的學(xué)習(xí)順序符合學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平，順應(yīng)學(xué)生學(xué)習(xí)心理，是比較合理、合適的學(xué)習(xí)過程，因此本單元的學(xué)習(xí)我們將遵循這一學(xué)習(xí)順序，不做大的改變。在實(shí)際教學(xué)中，這樣的內(nèi)容安排和課時(shí)劃分也存在著一定的不足：

（一）對(duì)“度量”學(xué)習(xí)內(nèi)容沒有建立聯(lián)結(jié)

學(xué)生對(duì)于“長(zhǎng)度”“面積”“體積”三個(gè)概念的學(xué)習(xí)，實(shí)際上就是從一維到二維再到三維的空間幾何的認(rèn)識(shí)過程，均屬于具體“度量（圖形與幾何部分）”的學(xué)習(xí)，都包含度量的概念，度量的單位，度量的工具，本質(zhì)上有相通之處，蘊(yùn)含著相似的數(shù)學(xué)思想方法。從教材的對(duì)比分析看，三個(gè)概念的認(rèn)識(shí)經(jīng)歷了相同的學(xué)習(xí)過程，是按照定義—單位—計(jì)算—單位換算—應(yīng)用的順序來進(jìn)行的，遵循度量對(duì)象從一般到特殊，再到特定的學(xué)習(xí)模式。但是教材的編排過于孤立，缺乏知識(shí)間的聯(lián)系和對(duì)比，學(xué)生難以將面積的學(xué)習(xí)與長(zhǎng)度的學(xué)習(xí)建立聯(lián)系，難以將現(xiàn)有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)遷移到后續(xù)的學(xué)習(xí)中，形成“類化”的結(jié)構(gòu)性知識(shí)，更難以發(fā)現(xiàn)度量知識(shí)的整體內(nèi)在關(guān)聯(lián)，形成完整的三維空間觀念。

（二）對(duì)“度量”課時(shí)編排缺乏結(jié)構(gòu)思考

“面積”單元是促使學(xué)生的思維從一維空間向二維空間轉(zhuǎn)化的核心內(nèi)容，是三維空間學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，起著承上啟下的作用。面積單位的構(gòu)建相對(duì)于長(zhǎng)度單位的構(gòu)建更利于學(xué)生對(duì)度量思想的感悟，也可以為學(xué)生后繼學(xué)習(xí)體積的度量、角的度量打好基礎(chǔ)。但是教材中“面積”單元的課時(shí)編排孤立，對(duì)測(cè)量知識(shí)的思考局限于點(diǎn)狀認(rèn)識(shí)，并未建立針對(duì)測(cè)量知識(shí)的結(jié)構(gòu)性思考，僅僅著眼于面積的概念、面積單位，度量面積的工具中的其一或其二，不利于學(xué)生以整體的眼光學(xué)習(xí)“面積”單元，學(xué)生難以進(jìn)一步對(duì)度量學(xué)習(xí)的模式有整體的感知。

（三）對(duì)“度量”知識(shí)缺乏本質(zhì)性理解

在比較兩個(gè)圖形面積的環(huán)節(jié)中，教材中有讓學(xué)生用小正方形擺一擺的方法提示，但在比較兩個(gè)面的大小時(shí)，擺正方形并非學(xué)生的首選和最優(yōu)方法，此方法在教學(xué)中并沒有得到足夠的重視。后續(xù)在認(rèn)識(shí)長(zhǎng)方形面積的教學(xué)中也有提到擺方格的方法，但在教學(xué)中又快速過渡到面積公式環(huán)節(jié)，整個(gè)面積單元缺乏對(duì)測(cè)量知識(shí)體驗(yàn)式感悟的編寫設(shè)計(jì)，學(xué)生缺乏足夠的測(cè)量知識(shí)的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，導(dǎo)致缺乏對(duì)面積的本質(zhì)性理解。

二、學(xué)生情況分析

從前測(cè)、后測(cè)的數(shù)據(jù)與分析可以得出：學(xué)生在學(xué)習(xí)面積單元之前已經(jīng)對(duì)面積有生活經(jīng)驗(yàn)和直覺的感知，大部分學(xué)生已經(jīng)知道面積指物體的哪部分，能與周長(zhǎng)概念區(qū)分開。有的學(xué)生在解決問題的過程中會(huì)將周長(zhǎng)公式與面積公式混淆錯(cuò)用，我們認(rèn)為學(xué)生對(duì)兩者定義的錯(cuò)誤理解不是主要原因，其根本原因在于學(xué)生雖然在二年級(jí)時(shí)學(xué)習(xí)了長(zhǎng)度的測(cè)量，在三年級(jí)上冊(cè)認(rèn)識(shí)了周長(zhǎng)，但不清楚測(cè)量學(xué)習(xí)的要點(diǎn)，缺乏度量的意識(shí)，缺乏對(duì)概念的本質(zhì)理解。通過對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)認(rèn)知水平的整體評(píng)估，有助于將單元的內(nèi)容進(jìn)行科學(xué)的單元整體設(shè)計(jì)，助力學(xué)生對(duì)面積本質(zhì)的深度理解，實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)能力的提升，根據(jù)學(xué)情，我們需要思考以下兩個(gè)問題：

（一）如何才能幫助學(xué)生深入理解面積的本質(zhì)

在平時(shí)的教學(xué)中，我們可以看出，學(xué)生將面積的定義背得滾瓜爛熟，但對(duì)概念的理解僅停留在記憶階段，對(duì)面積定義的本質(zhì)理解不夠準(zhǔn)確和全面;對(duì)圖形公式的計(jì)算記憶最深刻，對(duì)規(guī)則圖形的面積度量依賴于公式，但不知公式背后的道理。在教學(xué)中，有的教師往往抓住教材給的面積定義死摳字眼，但面積的定義并非最重要的，對(duì)于面積定義的理解是可以基于直覺的感知，不必追求嚴(yán)格的定義;還有的教師在教學(xué)中不夠重視用面積單位度量圖形的過程，過早地引入了公式計(jì)算，導(dǎo)致學(xué)生對(duì)面積度量過程印象不深，說不清楚為什么長(zhǎng)方形的面積是長(zhǎng)乘寬，這種過于強(qiáng)化公式而弱化對(duì)概念理解的現(xiàn)象，忽略了對(duì)面積本質(zhì)的追尋，這也是學(xué)生常會(huì)將長(zhǎng)度與面積計(jì)算混淆的原因之一。那么，我們要如何調(diào)整教材例題和教學(xué)素材讓學(xué)生真正理解面積的本質(zhì)，為后續(xù)的遷移學(xué)習(xí)做好鋪墊呢？

（二）如何從度量角度建立“長(zhǎng)度”“面積”“體積”的聯(lián)系，感悟度量的本質(zhì)

北師大版數(shù)學(xué)教材從二年級(jí)開始就設(shè)置了“測(cè)量”單元，但內(nèi)容只是介紹毫米、厘米、分米等，學(xué)生也只是經(jīng)歷了長(zhǎng)度測(cè)量的過程，教材沒有介紹什么是“測(cè)量”，如何測(cè)量，很多教師在教學(xué)中也并沒有總結(jié)就設(shè)置了測(cè)量的學(xué)習(xí)要素，學(xué)生認(rèn)為長(zhǎng)度、面積的學(xué)習(xí)是獨(dú)立不相干的。如何才能自然喚醒學(xué)生的類比經(jīng)驗(yàn)？如何在“面積”的學(xué)習(xí)中與“長(zhǎng)度”的學(xué)習(xí)建立聯(lián)系，讓“長(zhǎng)度”的測(cè)量經(jīng)驗(yàn)為面積、體積、角度的學(xué)習(xí)提供更大的正遷移，感悟度量的本質(zhì)呢？

三、單元目標(biāo)定位及課時(shí)劃分

數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾曾說過：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，聯(lián)系得越緊密，記得越牢，學(xué)得越快，因此關(guān)聯(lián)是衡量認(rèn)知水平的標(biāo)準(zhǔn)。單元為設(shè)計(jì)過程提供了恰當(dāng)而實(shí)際的切入點(diǎn)，教師要將原本的單元內(nèi)容進(jìn)行統(tǒng)整或者透視衍化，讓這個(gè)單元的每一節(jié)課都能被包含在更大的單元和課型設(shè)計(jì)中，使之更有目的性和連接性。我們結(jié)合教材和學(xué)生的學(xué)情分析發(fā)現(xiàn)，按照原有的教材編排已經(jīng)無法滿足學(xué)生內(nèi)在的學(xué)習(xí)需求，所以，我們從大概念出發(fā)，確定基本問題和單元總目標(biāo)，從而將面積的知識(shí)進(jìn)行單元統(tǒng)整，重新設(shè)計(jì)單元的整體框架。大概念：測(cè)量是對(duì)實(shí)物大小的刻畫，測(cè)量的基本方法是用統(tǒng)一單位不斷累加或細(xì)分?；締栴}：萬(wàn)物可測(cè)嗎？測(cè)量的基本方法和基本工具是什么？基于核心概念與基本問題，從知識(shí)與技能，過程、方法與能力這兩個(gè)維度確定教學(xué)目標(biāo)：（1）“知”：知道面積的含義，認(rèn)識(shí)面積單位，能進(jìn)行面積單位的換算;能估計(jì)圖形的面積;掌握長(zhǎng)方形、正方形的面積公式，并能解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題。（2）“能”：能積極參與探索面積大小的活動(dòng)，積累度量的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn);理解面積的本質(zhì)是圖形包含面積單位的個(gè)數(shù)，理解用邊長(zhǎng)求面積的意義，勾連長(zhǎng)度與面積的學(xué)習(xí)。

（一）單元核心概念

度量可分為抽象度量和具象度量，本單元的學(xué)習(xí)屬于具象度量的內(nèi)容，著力于量感的培養(yǎng)。那么，什么是度量的本質(zhì)？面積單元教學(xué)中應(yīng)延續(xù)的大概念又是什么呢？先看度量的定義：度是公度，指統(tǒng)一的單位;量是測(cè)量;度量就是用統(tǒng)一的單位去測(cè)量。史寧中教授指出：度量是數(shù)學(xué)的本質(zhì)，是人創(chuàng)造出來的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，是人認(rèn)識(shí)、理解和表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界的工具。張奠宙先生認(rèn)為：測(cè)量，不僅僅是拿刻度尺去量一條線段的長(zhǎng)短，數(shù)學(xué)測(cè)量的本質(zhì)是給每一條線段以合適的數(shù)。如在教學(xué)參考資料以及相關(guān)教師培訓(xùn)材料中將面積定義為：數(shù)m是一個(gè)平面圖形A的面積，就是指能用m個(gè)單位正方形不重疊地恰好填滿A。可見：所謂度量，就是計(jì)算所要度量的圖形包含多少個(gè)度量單位，其核心要素是度量單位及單位的個(gè)數(shù)。在學(xué)習(xí)面積的相關(guān)知識(shí)時(shí)，是否有一個(gè)明確的定義給學(xué)生其實(shí)并不重要，重要的是讓學(xué)生體會(huì)到長(zhǎng)度是幾個(gè)長(zhǎng)度單位累加的結(jié)果;面積是幾個(gè)面積單位拼接的結(jié)果;體積是幾個(gè)體積單位堆積的結(jié)果。度量的本質(zhì)才是學(xué)生理解概念的核心。因此，確定“面積”這一單元的核心概念是：從“度量”的角度理解面積，將度量單位及單位的個(gè)數(shù)作為此單元的教學(xué)主線，理解面積的大小就是計(jì)算所要度量的圖形包含了多少個(gè)面積單位這一本質(zhì)，度量的方法是用統(tǒng)一的單位不斷累加或細(xì)分。

（二）基本問題

好的問題能使教師更好地專注于大概念，避免基于活動(dòng)的設(shè)計(jì)和基于灌輸?shù)脑O(shè)計(jì)誤區(qū)。我們確定“面積”單元的基本問題是：萬(wàn)物可測(cè)嗎？測(cè)量的基本方法和基本工具是什么？我們?cè)噲D通過基本問題引發(fā)學(xué)生更多的思考和探究，激勵(lì)學(xué)生揭示更多的問題，圍繞基本問題來架構(gòu)學(xué)習(xí)。

（三）整合后單元整體課時(shí)安排的前后對(duì)比

基于“單元整合”的教學(xué)，不是課時(shí)內(nèi)容的簡(jiǎn)單疊加，而需要調(diào)整后具有相互承接、融合的內(nèi)在聯(lián)系，課堂結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)需要給學(xué)生有更強(qiáng)勁的、自主探索的學(xué)習(xí)動(dòng)力，滿足不同學(xué)生的學(xué)習(xí)需求，幫助全班學(xué)生實(shí)現(xiàn)相對(duì)高水平的數(shù)學(xué)理解和能力發(fā)展。我們沒有對(duì)本單元的課時(shí)順序做調(diào)整，而是對(duì)課時(shí)內(nèi)容做了整合，調(diào)整了其中部分內(nèi)容的側(cè)重點(diǎn)，對(duì)某些知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)進(jìn)行了重新設(shè)計(jì)（見下表）。

我們整合的思路是：淡化面積的定義，在用公式間接度量長(zhǎng)方形面積的教學(xué)中，應(yīng)使學(xué)生理解算理，培養(yǎng)他們的度量意識(shí)。在教學(xué)中，教師要重視單位度量，重視計(jì)數(shù)，溝通聯(lián)系?！爱嫺褡印薄皵?shù)格子”的方法是面積問題的本源，讓學(xué)生充分經(jīng)歷用面積單位度量圖形的過程，經(jīng)歷本單元的學(xué)習(xí)后，學(xué)生看到一個(gè)“面”的時(shí)候，想到的應(yīng)是用“單位面”覆蓋它，而不是用尺子量長(zhǎng)度，理解刻畫面積大小的本質(zhì)是度量，公式計(jì)算只是便于操作的形式?！爱嫺褡印薄皵?shù)格子”的方法也是后續(xù)體積問題的本源，本單元的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)將正遷移到體積的學(xué)習(xí)中。在面積單元的教學(xué)中，適當(dāng)融入長(zhǎng)度的測(cè)量的素材，兩者進(jìn)行對(duì)比聯(lián)系，揭示測(cè)量學(xué)習(xí)的要素：確定度量對(duì)象（線段，面），確定度量單位（一維的長(zhǎng)度單位，二維的面積單位），確定度量的結(jié)果（一個(gè)數(shù)）。感悟度量學(xué)習(xí)都是用度量單位覆蓋度量對(duì)象，列式、公式只是度量單位計(jì)數(shù)方法的簡(jiǎn)便形式，為后續(xù)體積的學(xué)習(xí)提供經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)，也有利于其他的度量學(xué)習(xí)，如角度、重量、時(shí)間等的感悟，實(shí)現(xiàn)知識(shí)間更多的聯(lián)結(jié)。

四、單元教學(xué)建議

調(diào)整后的單元教學(xué)結(jié)構(gòu)更加注重從度量的角度認(rèn)識(shí)面積，用面積單位貫穿整個(gè)單元的學(xué)習(xí)，希望通過這樣的設(shè)計(jì)能夠幫助學(xué)生更好地理解面積的意義，感悟度量的本質(zhì)。

（一）由具體到抽象，從一般到特定，深度理解面積的意義

從生活中的物體抽象出幾何概念，從一般的物體感知到特定的圖形（長(zhǎng)方形、正方形）計(jì)算，再到不規(guī)則物體面積的測(cè)量，然后才進(jìn)行單位之間的換算，在整個(gè)單元的學(xué)習(xí)中特別注重學(xué)生測(cè)量經(jīng)驗(yàn)的積累，使其理解面積的真正意義，感悟度量的本質(zhì)。

（二）在對(duì)比中聯(lián)系，構(gòu)建整體視野

通過對(duì)比長(zhǎng)度測(cè)量與面積測(cè)量的學(xué)習(xí)，我們?cè)O(shè)置疑問激發(fā)學(xué)生思考后續(xù)體積、角度的學(xué)習(xí)模式，引導(dǎo)學(xué)生從度量的角度理解測(cè)量教學(xué)的過程也就是記錄度量單位個(gè)數(shù)的過程，使學(xué)生清晰地認(rèn)識(shí)到這幾個(gè)不同的概念，實(shí)際上有著相同的本質(zhì)，有著相同的學(xué)習(xí)方法，在以后有關(guān)體積、角度的學(xué)習(xí)中，學(xué)生也可以按照類似的知識(shí)線索進(jìn)行自主學(xué)習(xí)，感受知識(shí)的關(guān)聯(lián)性，真正體會(huì)知識(shí)的內(nèi)涵。

（三）提供學(xué)材支架，創(chuàng)設(shè)自主空間

在學(xué)生理解面積的本質(zhì)后，我們?cè)谡n堂上給足學(xué)生空間和時(shí)間用不同方式學(xué)習(xí)不同類型的習(xí)題，學(xué)生能夠通過自主編題、變題、比題、用題、理題學(xué)習(xí)各種面積的應(yīng)用類型，并與長(zhǎng)度測(cè)量進(jìn)行聯(lián)系與區(qū)分，在學(xué)與練中逐漸建立測(cè)量學(xué)習(xí)的內(nèi)在結(jié)構(gòu)，發(fā)展空間觀念，提升“量感”。