高順德 徐振東 徐金帥 李 鑫 滕人鵬

1大連理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院 大連 116024 2大連理工大學(xué)裝備結(jié)構(gòu)分析國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 大連 116024 3大連船舶重工集團(tuán)有限公司 大連 116083

0 引言

環(huán)軌起重機(jī)主臂是環(huán)軌起重機(jī)最重要承載結(jié)構(gòu)，其結(jié)構(gòu)形式對(duì)力學(xué)性能起著至關(guān)重要的作用，結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的合理與否直接關(guān)乎環(huán)軌起重機(jī)的起吊性能。目前，國內(nèi)環(huán)軌起重機(jī)產(chǎn)品鮮見，國外環(huán)軌起重機(jī)的主臂均采用A字形結(jié)構(gòu)[1]，如圖1所示。

圖1 環(huán)軌起重機(jī)主臂結(jié)構(gòu)形式

不同的結(jié)構(gòu)形式對(duì)于環(huán)軌起重機(jī)主臂的質(zhì)量、剛度等參數(shù)影響很大。傳統(tǒng)的設(shè)計(jì)方法由于在設(shè)計(jì)初始時(shí)不能將這些參數(shù)作為驅(qū)動(dòng)參數(shù)，往往不能設(shè)計(jì)出最合理的受力結(jié)構(gòu)形式。拓?fù)鋬?yōu)化從材料本身的性質(zhì)出發(fā)，將材料的物理參數(shù)映射到優(yōu)化模型中，通過求解優(yōu)化模型得出最優(yōu)解，從而得到最優(yōu)結(jié)構(gòu)形式，是一種更合理的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方法[2]。

當(dāng)前，起重機(jī)臂架拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)的方法主要為基結(jié)構(gòu)法[3]。雖然該方法更適合用于臂架拓?fù)鋬?yōu)化，但基結(jié)構(gòu)法也有諸多缺點(diǎn)[4]：基點(diǎn)位置是人為選定且不連續(xù)的，故不能保證是最優(yōu)解；每2個(gè)基點(diǎn)之間都需要連接，問題的規(guī)模卻會(huì)隨基點(diǎn)數(shù)量的增加呈指數(shù)上升態(tài)勢(shì)。

隨著優(yōu)化理論的發(fā)展，越來越多的學(xué)者將連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化應(yīng)用于結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中。陳濤等[5]將拓?fù)鋬?yōu)化應(yīng)用于汽車電池外結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中，使強(qiáng)度在極端條件下得到提升；張庭瑋等[6]將拓?fù)鋬?yōu)化應(yīng)用于熱傳導(dǎo)件設(shè)計(jì)中，在提高散熱效率的情況下減小了散熱肋片的質(zhì)量；周奇才等[7]采用分層優(yōu)化的思想，對(duì)2 500 t環(huán)軌起重機(jī)主臂進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)，實(shí)現(xiàn)了減重的目的。

然而，將連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化應(yīng)用于環(huán)軌起重機(jī)主臂的研究卻很少，本文以柔度為目標(biāo)函數(shù)、體積分?jǐn)?shù)為約束的連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化[8]為切入點(diǎn)，研究了環(huán)軌起重機(jī)主臂系統(tǒng)的剛度最優(yōu)設(shè)計(jì)問題，得出了人字形加平行臂的最大剛度結(jié)構(gòu)形式；針對(duì)該方法在計(jì)算大型三維問題的計(jì)算速度慢的問題[9]，本文提出了一種修正移動(dòng)限法對(duì)原算法進(jìn)行修正，算例結(jié)果顯示該方法能夠有效地減少迭代次數(shù)，提升計(jì)算效率。

1 連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化的概述與分析

1.1 插值模型與過濾方法

本文研究的問題基于SIMP插值模型[10]，SIMP法是將單元的密度參數(shù)利用懲罰函數(shù)映射到剛度矩陣中，通過迭代準(zhǔn)則改變單元的密度從而影響剛度陣，實(shí)現(xiàn)材料的刪減，從而實(shí)現(xiàn)拓?fù)鋬?yōu)化。

拓?fù)鋬?yōu)化由于存在棋盤格和網(wǎng)格依賴性問題，需要采用一定的過濾技術(shù)。常用的有柔度敏度卷積過濾和二重敏度過濾[11]，二重敏度過濾是在柔度敏度過濾的基礎(chǔ)上加入對(duì)密度梯度的過濾，這一方法對(duì)解決網(wǎng)格依賴性具有很好的效果。

環(huán)軌起重機(jī)主臂受力形式可簡化為臂頭部分受到重物重力和拉索的拉力作用，臂架底部受到底部支撐的約束。本文所研究模型的設(shè)計(jì)域和約束均一致，在圖2所示坐標(biāo)系中，左下2個(gè)單元的4個(gè)被標(biāo)注點(diǎn)進(jìn)行全約束，用以模擬起重機(jī)臂架底部的支撐；右上角的中心點(diǎn)處加載-x、-y的單位力，用以模擬起重機(jī)臂頭受到重物的重力和拉桿的拉力。

圖2 結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)域的約束形式

1.2 算例驗(yàn)證與問題分析

算例參數(shù)設(shè)置：網(wǎng)格規(guī)模為40×40×20，體積分?jǐn)?shù)為0.1，過濾半徑為2，懲罰因子為3，移動(dòng)限為0.2。由于不同的計(jì)算機(jī)整體計(jì)算時(shí)間不同，而迭代次數(shù)不變，故以迭代次數(shù)作為計(jì)算速度的依據(jù)。算例1使用密度和柔度敏度的二重過濾方法，算例2使用柔度敏度過濾方法。迭代曲線如圖3和圖4所示。

圖3 算例1迭代曲線

圖4 算例2迭代曲線

由圖3、圖4可知，當(dāng)采用二重敏度過濾方法時(shí)，迭代出現(xiàn)震蕩現(xiàn)象，最終結(jié)果不收斂；采用柔度敏度過濾時(shí)，迭代至103步收斂。相較之下，柔度敏度法過濾的迭代曲線較平穩(wěn)，對(duì)計(jì)算是有利的。

由算例可知在三維大規(guī)模問題計(jì)算中，不同的敏度過濾法對(duì)收斂性影響很大。本文研究重點(diǎn)不在敏度過濾方法，而是在后續(xù)分析中均采用柔度敏度過濾法。

2 計(jì)算模型的修正

SIMP插值模型在計(jì)算大規(guī)模問題時(shí)，由于計(jì)算機(jī)數(shù)值計(jì)算的問題，迭代計(jì)算過程中很可能出現(xiàn)剛度陣奇異現(xiàn)象，導(dǎo)致計(jì)算失敗。因此，考慮對(duì)原模型進(jìn)行修正，以防出現(xiàn)矩陣奇異現(xiàn)象。

2.1 改進(jìn)的SIMP法

SIMP插值模型可表示為

在迭代過程中，當(dāng)單元設(shè)計(jì)變量趨于0時(shí)，會(huì)因計(jì)算機(jī)的誤差導(dǎo)致組裝總剛度陣時(shí)出現(xiàn)奇異現(xiàn)象。為了防止這種現(xiàn)象出現(xiàn)，采用Sigmund提出的修正SIMP模型[12]，即

式中：Emin為設(shè)定空單元的彈性模量，取E0＝1 000Emin。

與原方法相比，此方法設(shè)定了彈性模量的下限，避免了剛度陣的奇異，提升了程序的穩(wěn)定性。

2.2 改進(jìn)的卷積過濾法

原卷積過濾方法可表示為

式中：Hf為卷積算子。

當(dāng)設(shè)計(jì)變量xe趨近于0時(shí)，修正的敏度值將趨于無窮大，故對(duì)其進(jìn)行修正的表達(dá)式為

式中：γ為一個(gè)較小的正值（10-3），可有效防止除以0現(xiàn)象的發(fā)生。

2.3 修正模型的驗(yàn)算

綜上所述，對(duì)圖1所示模型進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化，計(jì)算可得圖5所示對(duì)應(yīng)約束條件下使剛度最大的環(huán)軌起重機(jī)主臂結(jié)構(gòu)形式。從拓?fù)鋬?yōu)化得到的結(jié)構(gòu)形式來看，在最大剛度要求下，人字形加平行主臂結(jié)構(gòu)形式更為合理。

圖5 環(huán)軌起重機(jī)主臂的最大剛度結(jié)構(gòu)形式

3 迭代準(zhǔn)則法的改進(jìn)

在單約束情況下，使用基于K-T條件的準(zhǔn)則法[12]是計(jì)算優(yōu)化模型最快的方法?；贙-T條件的更新準(zhǔn)則表示為

式中：λ為拉格朗日乘子；m為移動(dòng)限；η為阻尼函數(shù)，取0.5。

3.1 移動(dòng)限對(duì)計(jì)算速度影響的分析

準(zhǔn)則法以K-T條件為基礎(chǔ)，為防止設(shè)計(jì)變量變化過快，引入了移動(dòng)限m。在利用K-T條件求解優(yōu)化問題時(shí)，問題的收斂性與迭代點(diǎn)位置有關(guān)，而移動(dòng)限m是直接影響迭代點(diǎn)位置的重要參數(shù)，故其取值對(duì)收斂性影響較大。準(zhǔn)則法中的移動(dòng)限m是由二維算例經(jīng)驗(yàn)設(shè)定的值，但三維問題的參數(shù)的影響程度與二維不相同。

算例3：移動(dòng)限m取0.1，其余設(shè)計(jì)參數(shù)和算例2均一致。計(jì)算得模型柔度值為7.52，迭代收斂曲線及結(jié)構(gòu)拓?fù)淙鐖D6、圖7所示。

圖6 算例3的迭代收斂曲線

圖7 算例3的拓?fù)錁?gòu)型

由圖6可知，當(dāng)移動(dòng)限取0.1時(shí)，迭代至72步時(shí)收斂且收斂過程較為穩(wěn)定，未出現(xiàn)震蕩現(xiàn)象。與圖4對(duì)比可知，移動(dòng)限取0.1時(shí)迭代過程更穩(wěn)定，且收斂速度更快。進(jìn)一步對(duì)比兩模型拓?fù)洌ㄒ妶D5、圖7）發(fā)現(xiàn)，2次計(jì)算得到的拓?fù)湫螤顭o區(qū)別。

3.2 參數(shù)關(guān)系驗(yàn)證

體積分?jǐn)?shù)f也是影響迭代速度的參數(shù)之一，在通常情況下，體積分?jǐn)?shù)f越大則迭代次數(shù)越少。在根據(jù)實(shí)際需求設(shè)置體積分?jǐn)?shù)f后，確定移動(dòng)限m的數(shù)值是加快迭代速度不可忽視的一步，尤其當(dāng)模型體積分?jǐn)?shù)f較小時(shí)，移動(dòng)限m對(duì)計(jì)算速度的影響更加顯著。

為探究移動(dòng)限m與體積分?jǐn)?shù)f取不同值時(shí)對(duì)計(jì)算速度的影響，進(jìn)行如下驗(yàn)證：當(dāng)體積分?jǐn)?shù)f取0.1～0.3時(shí)，以移動(dòng)限m為橫坐標(biāo)，迭代次數(shù)為縱坐標(biāo)；橫坐標(biāo)取值范圍為0.02～0.2，間隔0.02采樣迭代次數(shù)，得出移動(dòng)限m關(guān)于迭代次數(shù)的曲線。再按曲線的變化趨勢(shì)，以體積分?jǐn)?shù)f取0.2為分界點(diǎn)，可將11條曲線分為2組。其中體積分?jǐn)?shù)f取值范圍為0.1～0.18時(shí)m-f曲線如圖8所示；體積分?jǐn)?shù)f取值范圍為0.2～0.3時(shí)m-f曲線如圖9所示。

由圖8、圖9可知，當(dāng)體積分?jǐn)?shù)f＜0.2時(shí)，迭代次數(shù)隨移動(dòng)限m增加先減小后增加，且隨體積分?jǐn)?shù)f的增大，這種趨勢(shì)逐漸放緩，曲線逐漸演變?yōu)閱握{(diào)遞減的趨勢(shì)；當(dāng)移動(dòng)限m取值范圍為0.04～0.08時(shí)，迭代次數(shù)最少。當(dāng)體積分?jǐn)?shù)f＞0.2時(shí)，迭代次數(shù)隨移動(dòng)限m增加單調(diào)遞減，移動(dòng)限m越大則迭代次數(shù)越少，且在移動(dòng)限m＞0.2時(shí)，迭代次數(shù)趨于穩(wěn)定。

圖8 m-f迭代次數(shù)曲線（f取0.1～0.18）

圖9 m-f迭代次數(shù)曲線（f取0.2～0.3）

本文研究臂架系統(tǒng)的拓?fù)鋬?yōu)化，體積分?jǐn)?shù)f取值較小，故對(duì)其取值0.1～0.2、m取值0.01～0.1時(shí)進(jìn)行細(xì)化研究。其中，采樣區(qū)間0.005，記錄迭代次數(shù)，迭代曲線如圖10所示。圖10的趨勢(shì)與圖8基本一致，當(dāng)體積分?jǐn)?shù)f變化范圍為0～0.2時(shí)，迭代次數(shù)總是在移動(dòng)限m取值0.05～0.06時(shí)最少。

圖10 細(xì)化的m-f迭代次數(shù)曲線

3.3 修正的移動(dòng)限法

由前述分析可知，參數(shù)移動(dòng)限m、體積分?jǐn)?shù)f與收斂性密切相關(guān)?？紤]移動(dòng)限m與體積分?jǐn)?shù)f的關(guān)系變化趨勢(shì)，采用Sigmoid函數(shù)擬合二者的關(guān)系，通過對(duì)Sigmoid函數(shù)進(jìn)行線性變換后再修正，得出移動(dòng)限m與體積分?jǐn)?shù)f之間關(guān)系的表達(dá)式為

式中：f為體積分?jǐn)?shù)；Lu、Lb為移動(dòng)限m的上下基準(zhǔn)，Lu＝0.2，Lb＝0.05；α為Sigmoid曲線轉(zhuǎn)折時(shí)變化的劇烈程度，取200；b為曲線映射突變的轉(zhuǎn)折點(diǎn)，根據(jù)以上分析，取0.18；β為控制系數(shù)，取0.01。可得圖11所示移動(dòng)限m與體積分?jǐn)?shù)f的關(guān)系。

圖11 m-f關(guān)系函數(shù)曲線圖

3.4 算例驗(yàn)證

算例4采用修正的移動(dòng)限法進(jìn)行計(jì)算分析，設(shè)計(jì)參數(shù)除移動(dòng)限外與算例2均相同。計(jì)算得迭代曲線和拓?fù)湫螤钊鐖D12、圖13所示。

圖12 算例4的迭代曲線

圖13 算例4的拓?fù)錁?gòu)型

由以上算例分析結(jié)果可知，在采用修正的移動(dòng)限法后，柔度值為7.52，迭代步數(shù)在48步收斂，速度提升了1倍，且相較于算例2的方法（迭代103步），該迭代過程更平穩(wěn)。對(duì)比圖7、圖13可知，2個(gè)模型拓?fù)浠疽恢?。通過以上算法的優(yōu)化計(jì)算，所得結(jié)構(gòu)形式均為A字形加平行臂的形式，驗(yàn)證了本文提出的修正移動(dòng)限的正確性。

4 總結(jié)

本文以SIMP拓?fù)鋬?yōu)化方法研究了環(huán)軌起重機(jī)主臂的優(yōu)化問題，通過對(duì)大量計(jì)算數(shù)據(jù)的分析發(fā)現(xiàn)了移動(dòng)限m、體積分?jǐn)?shù)f和收斂性之間存在聯(lián)系，并針對(duì)三者間的關(guān)系提出了移動(dòng)修正限法。該方法針對(duì)體積分?jǐn)?shù)f取值范圍為0.1～0.3時(shí)m-f曲線趨勢(shì)突變的現(xiàn)象，采用修正的Sigmoid函數(shù)對(duì)移動(dòng)限m的數(shù)值進(jìn)行擬合，實(shí)現(xiàn)了在不同體積分?jǐn)?shù)f情況下取得最適合移動(dòng)限m的目的。該方法增強(qiáng)了SIMP法的穩(wěn)定性和計(jì)算速度，對(duì)于解決小體積分?jǐn)?shù)f時(shí)的大規(guī)模三維拓?fù)鋬?yōu)化問題具有較好效果，能顯著加快其計(jì)算速度和收斂穩(wěn)定性。為了使環(huán)軌起重機(jī)主臂結(jié)構(gòu)形式更合理提供了依據(jù)。