寧邦青

(廣西欽州市浦北縣浦北中學(xué) 535300)

“數(shù)”與“形”有著緊密的聯(lián)系，在解題中通過“數(shù)”與“形”的轉(zhuǎn)化，能夠及時的找到解題的切入點，因此，實踐中既要注重數(shù)形結(jié)合思想理論的滲透，又要做好該思想在解題中的應(yīng)用示范，使學(xué)生牢固掌握，靈活應(yīng)用該思想解題.

一、用于解答函數(shù)零點個數(shù)問題

函數(shù)零點問題是高中數(shù)學(xué)中的一類重要問題.解答該類問題應(yīng)具體情況具體分析，結(jié)合零點的幾何定義，巧妙的運用數(shù)形結(jié)合思想化難為易，尤其在求解函數(shù)零點個數(shù)時應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，可達到事半功倍的良好效果.解答該類習(xí)題的關(guān)鍵在于正確的畫出函數(shù)圖象，因此，實踐中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生夯實基礎(chǔ)，熟練掌握函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性等，并能熟練的加以推導(dǎo).

例1已知定義在R上的偶函數(shù)y=f(x)滿足f(2-x)=f(x).當(dāng)0≤x≤1時，f(x)=x，設(shè)函數(shù)g(x)=f(x)-log5|x|，則g(x)的零點個數(shù)為( ).

A.6 B.7 C.8 D.9

由函數(shù)零點的定義可將該題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=f(x)和函數(shù)y=log5|x|圖象交點個數(shù)問題.先研究兩個函數(shù)在x>0上的圖象，而后結(jié)合圖象的對稱性，找到在R上的總的交點個數(shù).

因為f(2-x)=f(x)，所以其圖象關(guān)于x=1對稱.又因其為偶函數(shù)，則滿足f(x)=f(-x)，得到其周期T=2，由此不難畫出x>0的函數(shù)圖象.由y=log5|x|可知其為偶函數(shù).當(dāng)x>0時，函數(shù)y=f(x)和函數(shù)y=log5x的圖象如圖1所示，此時的交點個數(shù)為4個.當(dāng)x<0時，由對稱性可知交點個數(shù)也為4個，總的交點個數(shù)為8個，選擇C項.

圖1

二、用于解答三角函數(shù)問題

三角函數(shù)在高中數(shù)學(xué)中占有重要地位.相關(guān)習(xí)題靈活多變，解題思路多種多樣，其中三角函數(shù)的最值、周期等，能夠從其圖象中獲得，因此，解題中應(yīng)注重運用數(shù)形結(jié)合思想，通過畫出對應(yīng)的圖象，直觀的揭示相關(guān)參數(shù)之間的關(guān)系，并注重聯(lián)系三角函數(shù)的性質(zhì)，以快速解答相關(guān)習(xí)題.

A.在區(qū)間[-4，2]上單調(diào)遞增

B.在區(qū)間[0，6]上單調(diào)遞減

C.在區(qū)間[1，7]上單調(diào)遞減

D.在區(qū)間[4，10]上單調(diào)遞增

審題可知，該題需要根據(jù)已知條件求出參數(shù)A、ω、φ的值，得出函數(shù)g(x)的具體表達式，而后運用三角函數(shù)性質(zhì)，判斷其在特定區(qū)間上的單調(diào)性.

三、用于解答平面向量問題

平面向量是高中數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)知識.在相關(guān)測試以及高考中該部分知識既可以單獨考查，也可以與其他知識結(jié)合起來考查.解答平面向量問題的常規(guī)思路有兩種：運用向量的幾何運算；運用向量的坐標(biāo)運算；在兩種解題思路中數(shù)形結(jié)合思想發(fā)揮著關(guān)鍵作用.結(jié)合平面向量問題的解答，讓學(xué)生體會數(shù)形結(jié)合思想的便捷性，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用意識，結(jié)合經(jīng)典例題解答，提高學(xué)生解題能力.

例3已知平面向量a、b、c，滿足a+b+c=0，其中a、b的夾角為α，|a|=1，|b|+|c|=2，則cosα的取值范圍為____.

解答該題如采用常規(guī)作答較為繁瑣，難度較大，而使用數(shù)形結(jié)合思想可很快的得出正確答案.解題的關(guān)鍵在于如何理解與應(yīng)用題干中“|b|+|c|=2”這一條件.事實上，由|b|+|c|=2可聯(lián)想到橢圓定義，將其放到橢圓中分析.

根據(jù)題意畫出圖形，如圖3所示，其中F1和F2為橢圓的左右焦點，向量a、b、c隨著點P運動，向量a以及向量a、b的夾角不斷變化，顯然α∈[0，180°]，則cosα的取值范圍為[-1，1].

圖3

四、用于解答直線方程問題

直線方程屬于高中數(shù)學(xué)中解析幾何范疇.解析幾何給學(xué)生留下的印象是計算繁瑣，難度較大.事實上學(xué)習(xí)時不能一概而論，應(yīng)具體問題具體分析靈活采用多種解題思路，以達到迅速求解出正確結(jié)果的目的.數(shù)形結(jié)合思想用于解答相關(guān)習(xí)題，可避免繁瑣的計算，運用幾何知識經(jīng)過簡單的分析與運算，便能得出正確結(jié)果.

例4在平面直角坐標(biāo)系中，動點P(a，b)滿足|a|+|b|=1，設(shè)d為點P到直線x-my-2=0的距離，當(dāng)a、b、m變化時，d的最大值為( ).

A.1 B.2 C.3 D.4

解答該題如采用常規(guī)方法一時難以切入，而且即便能夠切入，但計算較為繁瑣，不易得出正確答案.事實上只要思路正確，該題不難解答.解答該題的關(guān)鍵在于能夠看懂點P軌跡表示的圖形，借助數(shù)形結(jié)合思想進行分析判斷.在畫“|a|+|b|=1”表示的圖形時，可采用分類討論法將絕對值去掉.

圖4

數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)解題中有著廣泛的應(yīng)用.實踐中應(yīng)充分認(rèn)識到這一思想的重要性，結(jié)合教學(xué)內(nèi)容做好數(shù)形結(jié)合思想理論知識的講解，使學(xué)生掌握“數(shù)”與“形”聯(lián)系的常規(guī)思路，能夠熟練的畫出高中數(shù)學(xué)常見的函數(shù)圖象、圖形.同時，做好經(jīng)典例題的講解，使學(xué)生把握運用數(shù)形結(jié)合思想解題的相關(guān)細節(jié)，不斷的提高其運用數(shù)形結(jié)合思想解題的靈活性與正確性.