金 陽，王 林，崔朗福，黃云濤，張慶振，張 如，韓曉萱，張超祺，宋子雄

(1.北京航空航天大學(xué) 自動化科學(xué)與電氣工程學(xué)院·北京·100191；2.北京航天控制儀器研究所·北京·100854；3.北京航天自動控制研究所·北京·100085)

0 引 言

滾動軸承既是支撐數(shù)控機床主軸作回轉(zhuǎn)運動的重要元件，又是精密機床設(shè)備的薄弱環(huán)節(jié)[1]。因此，開展針對滾動軸承故障診斷的研究，對提高設(shè)備的可靠性而言具有重要意義。

在基于軸承振動信號分析的故障診斷模型中，兩大關(guān)鍵問題是故障特征提取和故障模式識別[2-3]。故障特征提取的主要方法包括基于時域、頻域和時頻域等的信號處理方法[4-5]。文獻[6]提取了信號時域的波形長度(Waveform Length，WL)、Willison幅值(Wilson Amplitude，WAMP)、過零點(Zero Crossing，ZC)和斜率符號改變(Slope Sign Changes，SSC)特征，構(gòu)成了特征向量，但該方法在強環(huán)境噪聲的工程實際應(yīng)用中效果欠佳。文獻[7-9]出于對軸承運行時損傷點與正常表面接觸時所產(chǎn)生的周期性沖擊力的考慮，提取了故障特征頻率的相關(guān)信息作為特征向量，但此類方法會受軸承制造裝配誤差以及轉(zhuǎn)速不穩(wěn)定因素的影響，使實際故障特征頻率產(chǎn)生偏移。針對上述問題，本文采用了基于小波包能量特征[10]的提取方法，利用主成分分析方法進一步去除了環(huán)境噪聲和裝配誤差等隨機成分，完成了對滾動軸承故障模式特征的提取。

人工智能是故障診斷領(lǐng)域發(fā)展的重點方向，由于軸承故障的模式多樣，故障模式與特征的聯(lián)系具有不確定、非線性的特點，故障模式的識別方法主要為機器學(xué)習(xí)方法。文獻[11]利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)極強的非線性函數(shù)擬合能力實現(xiàn)了軸承故障模式識別；文獻[12]利用深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)端到端的學(xué)習(xí)方式同時實現(xiàn)了信號特征的自學(xué)習(xí)，但此類方法存在網(wǎng)絡(luò)模型難以確定、可解釋性差、易陷入局部極值以及訓(xùn)練所需樣本量維數(shù)爆炸等缺點。尤其，對于采用端到端學(xué)習(xí)方式的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，為完成從原始數(shù)據(jù)到中間層“隱藏特征”映射的擬合，需要更多的樣本；文獻[13-15]基于不同的特征提取方法構(gòu)建了支持向量機的模型，并實現(xiàn)了故障模式識別。該方法對訓(xùn)練樣本的需求量相對較小，解釋度更高，且不易過擬合。但是，以支持向量機為代表的此類方法仍屬于監(jiān)督式學(xué)習(xí)方法，需要對樣本進行完全標記。在機床軸承振動信號的故障診斷工程實際應(yīng)用中，對機床設(shè)備進行監(jiān)測得到的是大量未標記數(shù)據(jù)，通過可接受的工作量的人為標記只可獲得小樣本量的標記數(shù)據(jù)。因此，諸如聚類的無監(jiān)督或半監(jiān)督的學(xué)習(xí)式模式識別方法，在工程實際場景下更具優(yōu)勢。此外，任務(wù)同時希望診斷模型具備對未知故障模式進行挖掘的能力，即要求采用聚類方法時，不直接指定聚類簇數(shù)。針對上述問題，本文提出了一種融合人工魚群算法、模糊C均值算法和迭代自組織數(shù)據(jù)分析算法思想的AFI混合聚類算法，并基于此完成了軸承故障診斷模型中的故障模式識別。

1 小波包增強能量特征提取

小波包分解是一種對小波分解進行進一步優(yōu)化的信號時頻分析方法[16]。平方可積空間內(nèi)的信號s(t)，在小波函數(shù)ψ下的連續(xù)小波變換計算式如式(1)所示，離散小波變換的計算式如式(2)所示

(1)

(2)

式中，“< >”表示內(nèi)積運算，a和τ分別為小波函數(shù)ψ的縮放和平移因子，j為小波變換的尺度參數(shù)。

(3)

(4)

圖1 小波包多層次分解示意圖Fig.1 Schematic diagram of wavelet packet multi-level decomposition

對長度為N的振動信號序列x(n)進行j層小波包分解，可得到2j個子頻帶。定義由左至右的第k個子頻帶的能量E(j,k)如式(5)所示，歸一化2j個子頻帶能量所構(gòu)成的能量特征向量如式(6)所示

(5)

Hj=[h(j,1),…,h(j,k),…,h(j,2j)]

(6)

由于能量特征向量中存在隨機噪聲，且高維數(shù)據(jù)會帶來維數(shù)災(zāi)難，因此對能量特征向量可進一步采用主成分分析方法以增強其特征。首先對數(shù)據(jù)集X進行Z-score標準化處理，然后計算樣本的相關(guān)矩陣R如下

(7)

求樣本相關(guān)矩陣R的m個特征值λi及對應(yīng)特征值的單位特征向量αi，記特征值從大到小依次為λ1≥λ2≥…≥λm。若根據(jù)累計貢獻率v決定選取前l(fā)個主成分，則這l個主成分為

(8)

記前l(fā)個特征值對應(yīng)的單位特征向量構(gòu)成矩陣A=[α1,α2,…,αl]m×l，則由主成分分析得到的l個主成分yi構(gòu)成的k維列向量為

y=ATx

(9)

2 AFI混合聚類算法

2.1 目標函數(shù)

AFI混合聚類算法的目標函數(shù)采用模糊C均值聚類算法定義的目標函數(shù)倒換式形式。相較于K均值等算法，模糊C均值算法融合了模糊集合思想，是一種無監(jiān)督軟聚類方法[18]。方法如下

模糊C均值算法的目標函數(shù)為

(10)

式中，m∈(1,∞)是模糊指數(shù)，用于控制隸屬度矩陣的模糊程度。

由Lagrange乘數(shù)法求得的隸屬度uij和類簇中心vj的迭代式分別為

(11)

(12)

由模糊C均值算法的目標函數(shù)Jm，構(gòu)造AFI混合聚類算法的目標函數(shù)為

(13)

目標函數(shù)f的值越大，Jm越小，對應(yīng)更優(yōu)的聚類結(jié)果。其中，k0為一個正數(shù)，不妨取k0=1。

2.2 改進的人工魚群算法

改進的人工魚群算法引入了迭代自組織數(shù)據(jù)分析(Iterative Self-organizing Data Analysis，ISODATA)算法的分裂、合并思想，為個體魚設(shè)計了“分裂進化”和“合并進化”兩種進化行為。

基本人工魚群算法通過模擬魚群個體覓食、聚群、追尾、隨機等行為搜尋問題的全局最優(yōu)解[19]。設(shè)初始聚類中心的個數(shù)為c，每個樣本對象的維度為s，則個體人工魚Xi的位置矢量可以編碼為c×s的矩陣形式

(14)

基本人工魚群算法中的個體魚具有如下行為：

(1)覓食行為。設(shè)人工魚當(dāng)前所處的位置為Xi，在其視野范圍內(nèi)隨機選擇一個新位置Xj。如果Xj處的食物濃度大于Xi處的食物濃度，則向該方向以隨機步長移動一步，否則重新選擇新位置。在嘗試次數(shù)達到上限次數(shù)后，轉(zhuǎn)而執(zhí)行隨機游動行為。

(2)聚群行為。設(shè)人工魚當(dāng)前所處的位置為Xi，在其視野范圍內(nèi)共有nf條伙伴個體魚，這些伙伴個體魚的中心位置為Xc。如果Xc處的食物濃度在除以nf后大于Xi處的食物濃度與一個擁擠度因子δ的乘積，則向該方向以隨機步長移動一步；否則轉(zhuǎn)而執(zhí)行覓食行為。

(3)追尾行為。設(shè)人工魚當(dāng)前所處的位置為Xi，在其視野范圍內(nèi)共有nf條伙伴個體魚，這些伙伴個體魚所處的位置中食物濃度最大者為Xj。如果Xj處的食物濃度除以nf后大于Xi處的食物濃度與一個擁擠度因子δ的乘積，則向該方向以隨機步長移動一步；否則轉(zhuǎn)而執(zhí)行覓食行為。

(4)隨機游動行為。設(shè)人工魚當(dāng)前所處的位置為Xi，在其視野范圍內(nèi)隨機選擇一個新位置Xj，并移動至該位置。

在基本人工魚群算法中，每條個體魚在每次移動前均試探執(zhí)行聚群行為和追尾行為，選擇移動后食物濃度值大者為實際執(zhí)行的行動；每輪所有個體魚行動完畢后，由公告板記錄全部個體魚中食物濃度最大者的位置Xbest以及相應(yīng)的食物濃度fbest；重復(fù)上述步驟直至滿足終止條件，Xbest即為搜尋得到的全局最優(yōu)解。

ISODATA算法是一種可根據(jù)當(dāng)前迭代情況動態(tài)調(diào)節(jié)類簇數(shù)量的聚類算法，其核心思想是在K均值算法的迭代過程中增加“分裂”和“合并”兩個操作[20]。該算法不再直接指定固定的聚類簇數(shù)，轉(zhuǎn)而指定劃分類簇的相關(guān)指導(dǎo)參數(shù)。參考ISODATA算法的分裂、合并操作，可定義個體魚的“分裂進化”和“合并進化”兩種進化行為：

(1)分裂進化。根據(jù)公告板記錄的最優(yōu)個體人工魚位置，將全部樣本劃分到當(dāng)前的k個類簇中。當(dāng)滿足以下情形之一時，即可進行魚群維度分裂進化

(2)合并進化。根據(jù)公告板記錄的最優(yōu)個體人工魚的位置，將全部樣本劃分到當(dāng)前類簇數(shù)k的各類簇中。當(dāng)滿足以下情形之一時，即可進行魚群維度的合并進化：

①k≥2kc，Dij

其中，k是當(dāng)前迭代的類簇數(shù)，kc是參考指導(dǎo)類簇數(shù)，Dij是最小的兩個類簇中心之間的距離，dmin是類簇間最小距離的下限閾值。

需要注意的是，每當(dāng)“分裂”、“合并”操作發(fā)生時，目標函數(shù)f的定義域維度隨之發(fā)生了變化。

2.3 算法描述

AFI混合聚類算法的步驟如下：

(1)設(shè)置參數(shù)：設(shè)置人工魚群的規(guī)模為N，擁擠度因子為δ，人工魚移動步長為Lstep，視野半徑為rvisual，最大試探次數(shù)為ntry_number；參考指導(dǎo)類簇數(shù)為kc，初始聚類簇數(shù)不妨取k0=kc，類簇最小樣本數(shù)為Nmin，類間最小距離下限閾值為dmin，類內(nèi)各屬性分量分布標準差上限閾值為sigma；模糊指數(shù)為m。

(2)初始化：根據(jù)式(14)，對N條人工魚進行編碼，隨機初始化位置矩陣Xi并計算相應(yīng)的函數(shù)值fi；據(jù)此更新公告板的最優(yōu)函數(shù)值及對應(yīng)人工魚的位置矩陣；初始化當(dāng)前維度為N×k0的隸屬度矩陣及其他參數(shù)。

(3)執(zhí)行行為：每條人工魚試探執(zhí)行聚群行為和追尾行為，選擇行動后食物濃度大者為實際執(zhí)行的行動，更新人工魚食物濃度fi、隸屬度矩陣及其他中間量。

(4)更新公告板：記魚群中個體食物濃度最大值為fbest，以及對應(yīng)的人工魚個體位置矩陣為Xbest。

(5)維度進化：魚群選擇進行維度的分裂進化、合并進化或是保持，進化后更新人工魚食物濃度fi，重構(gòu)具有新維度的隸屬度矩陣及其他中間量，并進行更新。

(6)更新公告板：記魚群中個體食物濃度最大值為fbest，以及對應(yīng)的人工魚個體位置矩陣為Xbest。

(7)循環(huán)及結(jié)束：重復(fù)步驟(3)～(6)直至滿足終止條件；輸出公告板中的Xbest及fbest即為全局最優(yōu)解及對應(yīng)的函數(shù)值。其中，Xbest的矩陣行數(shù)即是自動確定的類別數(shù)，每個行向量即是各類簇的中心。

圖2 AFI混合聚類算法的流程圖Fig.2 AFI hybrid clustering algorithm flow chart

3 仿真試驗及結(jié)果分析

3.1 AFI算法仿真分析

為分析本文所提出的AFI算法的聚類性能，應(yīng)用該算法對包含3個簇、60個樣本的二維數(shù)據(jù)集進行聚類分析，并將分析結(jié)果與采用K均值算法的實驗結(jié)果對比。聚類過程的誤差平方和(Sum of Squared Error，SSE)收斂曲線和聚類結(jié)果如圖3和圖4所示。

圖3 AFI算法與K均值算法的SSE收斂曲線Fig.3 SSE convergence curve of AFI algorithm and K-means algorithm

圖3和圖4表明，K均值算法易受到初值選擇的影響，盡管其有可能收斂到全局最小值而得到正確聚類結(jié)果(見圖3和圖4中的“全局最小值情形”)，但也有可能因陷入局部極值而無法得到正確的聚類結(jié)果(見圖3和圖4中的“局部極值情形1”、“局部極值情形2”、“局部極值情形3”)；AFI算法雖然收斂速度慢，但能在可接受的迭代次數(shù)內(nèi)收斂至全局最小值(見圖3中的“全局最小值情形(AFI)”標識曲線和圖4中的“全局最小值情形”)；值得注意的是，本例采用AFI算法的SSE收斂曲線從第5次迭代周期的158.647指標值，上升至第6次迭代周期的166.252指標值，這一現(xiàn)象由算法自適應(yīng)調(diào)整聚類簇數(shù)而導(dǎo)致，在此期間內(nèi)，對應(yīng)地將聚類簇數(shù)由4類自調(diào)整為了3類。

聚類結(jié)果的純度(Purity)、歸一化互信息(Normalized Mutual Information，NMI)、調(diào)整蘭德系數(shù)(Adjusted Rand Index，ARI)、誤差平方和(Sum of Squared Error，SSE)與準確率(Accuracy)的評價指標值如表1所示。表1進一步說明，K均值算法存在容易陷入局部極值的缺點；AFI算法能夠跳出局部極值，得到正確的聚類結(jié)果。

表1 AFI算法與K均值算法的聚類結(jié)果評價指標

其中，K均值算法采用歐式距離，類簇數(shù)k=3；AFI算法采用歐式距離，參數(shù)設(shè)置如表2所示。

本文所提算法具有動態(tài)調(diào)節(jié)類簇數(shù)量的能力，其自動確定最終聚類簇數(shù)的性能主要由原ISODATA算法中的相關(guān)參數(shù)組決定。

圖5所示的是采用本文所提AFI算法、使用歐氏距離作為距離度量，設(shè)置參考指導(dǎo)類簇數(shù)kc依次為2,3,4,5，所確定的類簇數(shù)隨類內(nèi)屬性分量標準差上限閾值sigma、類間最小距離下限閾值dmin的不同而得到的結(jié)果。除kc、sigma、dmin外，其余的參數(shù)設(shè)置如表2所示。

表2 AFI算法的設(shè)置參數(shù)值

圖5 不同參數(shù)下AFI算法第50次迭代自確定的類簇數(shù)Fig.5 Self determined number of clusters in the 50th iteration of AFI algorithm with different parameters

圖5表明，本文所提AFI算法具有自確定類簇數(shù)的能力，其自動確定最終聚類簇數(shù)的性能主要由原ISODATA算法中的相關(guān)參數(shù)組決定。

圖6所示是迭代過程中算法自確定的類簇數(shù)。實驗采用AFI算法，使用歐氏距離作為距離度量，設(shè)置參考指導(dǎo)類簇數(shù)kc依次為2,3,…,7，除kc外的其余參數(shù)設(shè)置如表2所示，6次聚類結(jié)果均收斂至全局最小值。

圖6表明，本文所提AFI算法具有自確定類簇數(shù)的能力，且最終確定的類簇數(shù)在合理設(shè)置其他參數(shù)的前提下，在一定范圍內(nèi)對參數(shù)“參考指導(dǎo)類簇數(shù)kc”不敏感，即不依賴于參考指導(dǎo)類簇數(shù)kc的設(shè)置。

圖6 AFI算法在不同參考指導(dǎo)類簇數(shù)下迭代自確定的類簇數(shù)Fig.6 AFI algorithm is not sensitive to the number of reference clusters

3.2 故障診斷方法實例分析

本文提出的軸承故障診斷方法的流程如圖7所示，其基本步驟如下：

圖7 故障診斷流程圖Fig.7 Fault diagnosis flow chart

(1)利用滑動窗口對原始振動信號序列做截斷操作，得到等長的片段化序列樣本；根據(jù)部分原始信號所帶的標記，為對應(yīng)樣本添加標簽。

(2)利用小波包分解、能量特征提取和主成分分析方法，提取得到故障增強能量特征集。

(3)采用AFI混合聚類算法，得到特征空間中代表軸承各故障模式的類簇，進而可得到類簇數(shù)和各類簇的中心。

(4)根據(jù)各類簇中的帶標記樣本，由多數(shù)投票規(guī)則對該類簇的中心進行故障模式標定。

(5)計算測試樣本在特征空間內(nèi)的類簇中心最近鄰，并最終將其診斷為該中心所在類簇的故障模式。

為驗證本文所提出的基于小波包和AFI混合聚類算法的軸承故障診斷方法的有效性，使用該診斷方法對美國凱斯西儲大學(xué)提供的故障軸承振動數(shù)據(jù)集[21]進行診斷實例分析，并將分析結(jié)果與采用K均值算法模型的診斷結(jié)果進行對比。

數(shù)據(jù)集采集實驗平臺如圖8所示。使用電火花加工技術(shù)分別在內(nèi)滾道、滾動球體和外滾道引入直徑為3.556×10-4m的缺陷造成單點故障，將故障軸承安裝到實驗電機中，電機負載為745.77W，電機轉(zhuǎn)速為1772r/min。在電機的驅(qū)動端安裝加速度傳感器采集實驗數(shù)據(jù)，設(shè)置采樣頻率為12kHz。

圖8 滾動軸承模擬故障實驗平臺[22]Fig.8 Rolling bearing fault simulation platform[22]

采用滑動窗口將三種故障模式的原始振動信號序列分割為長度為2048(時間窗寬為0.1707s)的片段化信號樣本集。從樣本集的每種故障模式中選取65個樣本，將其中50個樣本用于訓(xùn)練構(gòu)建診斷模型，其余15個樣本用于測試模型診斷效果。樣本集矩陣為X195×2048=[x1,x2,…,x195]T，其中的3個示例樣本如圖9所示，樣本編號如表3所示。

(a)

(b)圖9 不同故障模式的軸承振動信號時序圖(a)和幅頻譜圖(b)Fig.9 Vibration sequence diagram (a) and amplitude spectrum (b) of bearings with different fault modes

表3 不同故障模式的樣本

表4 各主成分貢獻率及累計主成分貢獻率

采用基于AFI混合聚類算法和基于K均值聚類算法的兩種方法分別獨立地進行10次隨機實驗。AFI算法采用歐式距離，其參數(shù)設(shè)置如表5所示；K均值算法采用歐式距離，給定的先驗類簇數(shù)為3。

表5 AFI算法的設(shè)置參數(shù)值

圖10所示是采用AFI混合聚類算法在第3次實驗時的增強能量特征空間中代表軸承各故障模式的類簇及類簇中心，算法自確定的類簇數(shù)為3，根據(jù)多數(shù)投票規(guī)則對類簇所屬的故障模式進行了標定；圖11所示的是采用K均值聚類算法在第2次實驗(收斂于局部極值)時的增強能量特征空間中代表軸承各故障模式的類簇及類簇中心，類簇數(shù)量3作為先驗條件由人為指定，根據(jù)帶標記樣本的標簽與多數(shù)投票規(guī)則也可對類簇所屬的故障模式進行標定。

圖10 采用AFI算法時樣本在特征空間中的分布Fig.10 The distribution of samples in the feature space using the AFI algorithm

圖11 采用K均值算法時樣本在特征空間中的分布Fig.11 The distribution of samples in the feature space using the K-means algorithm

表6記錄了10次隨機實驗的聚類結(jié)果評價指標。由表6可以看出，在機床軸承振動信號的故障診斷模型中，復(fù)雜的數(shù)據(jù)使K均值算法中的50%的頻率陷入了局部極值，而AFI算法能夠避免頻率陷入局部極值，進而得到準確的聚類結(jié)果。

表6 10次隨機實驗的聚類結(jié)果評價指標

表7記錄了當(dāng)采用兩種算法分別進行10次隨機實驗時，所建立的診斷模型在測試特征集上的診斷準確率。結(jié)果表明，本文所提出的基于AFI混合聚類算法的軸承故障診斷方法，相比基于K均值算法的方法，具有更高的故障模式識別準確率。

表7 兩種診斷模型在測試特征集上的診斷準確率

4 結(jié) 論

本文提出了一種基于AFI混合聚類算法的滾動軸承故障診斷方法，本方法具有如下優(yōu)點：(1)方法基于無監(jiān)督式學(xué)習(xí)的AFI混合聚類算法，與基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、支持向量機等的方法相比，能夠在標記樣本量小的前提下完成訓(xùn)練，實現(xiàn)有效診斷；(2)方法基于能夠避免陷入局部極值的AFI混合聚類算法，與基于K均值等的同類方法相比，故障模式識別的準確率更高，診斷性能更優(yōu)；(3)方法基于在合理參數(shù)下具有動態(tài)自調(diào)節(jié)并確定聚類簇數(shù)能力的AFI混合聚類算法，與基于K均值、模糊C均值等的同類方法相比，解決了分析給定樣本劃分類簇數(shù)而先驗知識不足的問題，在未知故障模式的挖掘領(lǐng)域中也具有應(yīng)用前景。本文所提方法中的AFI算法因構(gòu)建于群體智能算法和迭代自組織數(shù)據(jù)分析算法之上，收斂速度較慢，故有待進一步優(yōu)化和完善。

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