陳玉清

摘 要：本文在對給出的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行詳細(xì)分析的基礎(chǔ)上，將鉛酸電池在恒定電流強(qiáng)度下 的放電過程用時(shí)間與電壓之間的函數(shù)關(guān)系來描述，采用傅里葉擬合法和線性擬合法建立數(shù)學(xué)模型并求解。

關(guān)鍵詞：鉛酸蓄電池 電壓 剩余放電時(shí)間 傅里葉擬合 線性擬合 放電模型

Research on Mathematical Modeling of Remaining Discharge Time of Lead-acid Battery

Chen Yuqing

Abstract：Based on a detailed analysis of the experimental data given， this article describes the discharge process of lead-acid batteries at a constant current intensity as a function of time and voltage， using Fourier fitting method and linear simulation to legally establish a mathematical model and solve it.

Key words：lead-acid battery， voltage， remaining discharge time， Fourier fitting， linear fitting， discharge model

1 問題的提出

鉛酸電池是一種主要由鉛及其氧化物制成的蓄電池，因其價(jià)格便宜，壽命長且性能 穩(wěn)定等諸多有優(yōu)點(diǎn)，一直被廣泛應(yīng)用于工業(yè)、軍事、日常生活中。從充滿電開始放電，電壓在當(dāng)前負(fù)荷下還能供電多長時(shí)間，是生產(chǎn)者和用戶共同關(guān)心的問題。目前蓄電池放電特性的研究方法主要有：鉛酸原理模型、阻容等效電路模型、內(nèi)阻模型等[1]。本文根據(jù)2016年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽C題提供的數(shù)據(jù)[2]，解決三個(gè)問題：

問題1：用初等函數(shù)表示各放電曲線，并分別給出各放電曲線的平均相對誤差（MRE）。如果在新電池使用中，分別以30A、40A、50A、60A和70A電流強(qiáng)度放電，測得電壓都為9.8伏時(shí)，根據(jù)獲得的模型，電池的剩余放電時(shí)間分別是多少？

問題2：建立以20A到100A之間任一恒定電流強(qiáng)度放電時(shí)的放電曲線的數(shù)學(xué)模型，并用MRE評(píng)估模型的精度。

問題3：同一電池在不同衰減狀態(tài)下以同一電流強(qiáng)度從充滿電開始放電的記錄數(shù)據(jù)。預(yù)測電池衰減狀態(tài)3的剩余放電時(shí)間。

符號(hào)說明：電流強(qiáng)度;t：蓄電池放電t時(shí)刻;ts：剩余放電時(shí)間;t1：求MRE時(shí)樣本點(diǎn)采樣放電時(shí)間;t2：求MRE時(shí)樣本點(diǎn)模型放電時(shí)間;Coefficients：協(xié)相關(guān)系數(shù)。

2 問題求解與模型的實(shí)現(xiàn)

2.1 問題1的分析求解

從充滿電開始放電，電壓隨時(shí)間變化形成放電曲線，時(shí)間也是隨著電壓的變化而變化，也可形成時(shí)間隨電壓變化的放電曲線。當(dāng)電流強(qiáng)度為20A時(shí)，將不同的電壓與放電時(shí)間的數(shù)據(jù)應(yīng)用繪圖工具得出以時(shí)間為x軸、以電壓為y軸的放電曲線，如圖1所示：

再根據(jù)傅里葉擬合方法，擬合出相應(yīng)的放電曲線函數(shù)模型，在給出擬合曲線函數(shù)的同時(shí)也計(jì)算了函數(shù)中參數(shù)的估計(jì)誤差，平均相對誤差MRE（20A）=0.0261，Coefficients （協(xié)相關(guān)系數(shù)，95%的置信區(qū)間）：

a0=1.253e+08（-3.695e+09，3.946e+09）

a1=-1.824e+08（-2.728e+09，2.364e+09）

b1=1.365e+08（-8.027e+09，8.3e+09）

a2=4.777e+07（-5.721e+09，5.816e+09）

b2=-1.637e+08（-7.2e+09，6.872e+09）

a3=3.706e+07（-7.479e+09，7.553e+09）

b3=9.721e+07（-3.584e+08，5.528e+08）

a4=-4.313e+07（-3.638e+09，3.551e+09）

b4=-2.662e+07（-3.047e+09，2.994e+09）

a5=1.895e+07（-2.92e+08，3.298e+08）

b5=-2.055e+06（-2.141e+09，2.137e+09）

a6=-3.716e+06（-3.838e+08，3.764e+08）

b6=3.657e+06（-5.856e+08，5.929e+08）

a7=1.057e+05（-1.384e+08，1.387e+08）

b7=-9.208e+05（-4.129e+07，3.945e+07）

a8=4.385e+04（-1.291e+07，1.3e+07）

b8=6.772e+04（-5.927e+06，6.062e+06）

w=1.201（-1.004，3.407）

當(dāng)電流強(qiáng)度分別以30A、40A、50A、60A、70A的恒定電流放電時(shí)，用同樣的方法可以擬合出鉛酸電池在不同電流強(qiáng)度下的放電曲線圖及曲線函數(shù)，計(jì)算出對應(yīng)的電曲線的MRE，將電壓x=9.8帶入所得曲線函數(shù)，直接計(jì)算就可獲得各電流強(qiáng)度對應(yīng)下的剩余放電時(shí)間，結(jié)果如表1：

2.2 問題2的分析求解

本問題中，電流強(qiáng)度是變化的量，要想得出任一恒定電流強(qiáng)度放電時(shí)的放電曲線數(shù)學(xué)模型，必須要知道時(shí)間、電流強(qiáng)度、電壓三者之間的變化規(guī)律。我們根據(jù)題目中給定的9個(gè)恒定電流數(shù)據(jù)，利用線性擬合法擬合出時(shí)間隨著電壓變化的數(shù)學(xué)模型為：

，其中a，b ，c為待定系數(shù)

因?yàn)閿?shù)據(jù)較少，會(huì)影響結(jié)果，所以采用此方法，得出的模型中待定系數(shù)的個(gè)數(shù)會(huì)減少，誤差就會(huì)減小，再用線性數(shù)據(jù)插值得出電流強(qiáng)度I分別與系數(shù)a，b，c之間的函數(shù)關(guān)系，從而可以得出出時(shí)間與電流強(qiáng)度、電壓之間的變化關(guān)系。如電流強(qiáng)度I為55A時(shí)，可計(jì)算得a=-1.2437e+03，b=-727.9535，c=1.3507e+03，擬合曲線如圖2：

2.3 問題3的分析求解

利用 Matlab 工具線性擬合方法結(jié)合數(shù)據(jù)，得出電池在新電池狀態(tài)、衰減狀態(tài)1、衰減狀態(tài)2下的時(shí)間t隨著電壓V的變化規(guī)律圖，如圖3至圖5所示：由圖3、4、5可以發(fā)現(xiàn)，在這三種狀態(tài)下擬合得出的曲線與原始數(shù)據(jù)曲線誤差較小，說明不同狀態(tài)下放電規(guī)律具有一致性，所以，可以用同樣的方法，根據(jù)已經(jīng)給出的衰減狀態(tài)3下的數(shù)據(jù)，擬合出在衰減狀態(tài)3下的時(shí)間隨電壓變化的曲線圖及數(shù)學(xué)模型，如圖6所示：

利用函數(shù)擬合工具creatfit 即可得到數(shù)學(xué)模型：

f4（x）=a*（（sin（x-pi）））+b*（（（x-10）^2））+c Coefficients （協(xié)相關(guān)系數(shù)，95%的置信區(qū)間）：

a=-957.6 （-975.1，-940.2）

b=-623.1 （-663.2，-583）

c=957 （947.5，966.5）

當(dāng)電壓為9時(shí)，將x=9帶入上述模型，計(jì)算得時(shí)間為728.5856分鐘， 所以剩余放電時(shí)間為728.5856-596.2=132.3856分鐘。

3 小結(jié)

實(shí)際生活中，鉛酸電池的放電過程會(huì)受到空氣濕度、溫度等諸多因素影響。本文從數(shù)據(jù)處理和分析的角度，通過建立放電曲線來建立蓄電池放電的數(shù)學(xué)模型，從而對剩余放電時(shí)間進(jìn)行預(yù)測，雖然是理想狀態(tài)下研究，但也著實(shí)際應(yīng)用意義。

參考文獻(xiàn)：

[1]李勃，劉云峰，鄭益，蓄電池剩余放電時(shí)間綜合分析模型研究，月亮高度及升降時(shí) 刻與方位的計(jì)算，煤炭技術(shù)，2011年，第 30卷第12期.

[2]全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽組委會(huì).CUMCM2016-CAppendix-Chinese.xlsx[R/OL].http：∥www.Mcm.edu.cn/html_cn/node/bdo26d84bd785435f92e3079b4a87a2b.html.