李龍輝，張芷齊，郭 振，羅媛媛，周連群1，*，姚 佳

（1.長春理工大學 機電工程學院，吉林 長春130022；2.中國科學技術大學，安徽 合肥230026；3.中國科學院 蘇州生物醫(yī)學工程技術研究所 中國科學院生物醫(yī)學檢驗技術重點實驗室，江蘇 蘇州215163；4.蘇州大學 電子信息學院，江蘇 蘇州215006）

1 引 言

在精密制造行業(yè)，如何提高生產(chǎn)效率一直是研究的主要課題之一［1］。在高精度柔性掃描平臺控制中，縮短運動時間和減小因運動造成的殘余振動和穩(wěn)態(tài)時間對提高效率有著重要的作用?？紤]到實際實現(xiàn)過程，采用滿足時間最優(yōu)原則［2-3］并且加速度和速度較大的運動曲線是縮短運動時間的有效途徑之一。但是較大的加速度容易在運動系統(tǒng)中激發(fā)不必要的殘余振動，這將導致需要額外的時間衰減振動，反而需要更長的時間才能達到穩(wěn)態(tài)［4］且會影響系統(tǒng)精度和壽命［5］。合適的速度曲線在運動控制中起著至關重要的作用，其可以使執(zhí)行機構迅速運動至目標位置，提高運行效率［6］，同時減少振動和能量消耗，提高系統(tǒng)的定位精度和壽命［7］。

在過去的幾十年里，人們探索了多種速度曲線對執(zhí)行機構運行效率的影響。常用的速度曲線有：梯形速度曲線和S型速度曲線［8-9］。從應用的角度而言，梯形速度曲線通常被認為是在給定速度和加速度等限制條件下運行時間最短的曲線［2，10］。但是由于梯形速度曲線加速度不連續(xù)，存在沖擊，會導致執(zhí)行機構的較大殘余振動［11］。S型速度曲線的加速度是連續(xù)的，不會存在嚴重的沖擊，和梯形速度曲線相比，其對機構激發(fā)的殘余振動更小［12-13］。因此S型速度曲線在對定位精度和運動時間敏感的精密運動控制中的應用更廣泛。Martínez等［7］基于樹莓派和FPGA構建一個三階多項式S型速度曲線應用實例并分析了其定位誤差。Broquere等［14］提出了一種基于三階多項式S型速度曲線的柔性運動軌跡規(guī)劃方法，該方法可以在一維和多維的情況下限制加速度和加加速度值。楊亮亮等［3］提出基于時間最優(yōu)原則，采用牛頓迭代法對非對稱三階多項式S型速度曲線進行加減速時間的求解的算法。然而，這些方法只是對梯形速度曲線和三階多項式S型速度曲線進行了分析，未分析其他S型速度曲線對運動系統(tǒng)殘余振動與穩(wěn)態(tài)時間的影響，且未分析多項式速度曲線的最優(yōu)階。Bai等［4］建立變加加速度的三階多項式速度曲線，對柔性系統(tǒng)模型進行分析并優(yōu)化曲線參數(shù)，對優(yōu)化前后的曲線進行了殘余振動和穩(wěn)態(tài)時間實驗對比分析，雖然優(yōu)化后的三階多項式速度曲線具有較好效果，但是優(yōu)化曲線參數(shù)時需特定且復雜的算法，同時未分析更高階多項式速度曲線的影響。方佳偉等［15］提出基于Sigmoid函數(shù)的S型速度曲線，采用時間與速度數(shù)組遍歷查詢方法進行程序控制。Li等［16］建立了三角函數(shù)S型速度曲線，并分析了與梯形速度曲線、三階多項式和三角函數(shù)S型速度曲線對柔性系統(tǒng)殘余振動和穩(wěn)態(tài)時間影響，三角函數(shù)S型速度曲線雖然具有較好的性能，但是其采用離線處理，對速度數(shù)組遍歷的查詢方法進行程序控制，當曲線復雜時數(shù)據(jù)量將非常大，對控制器的存儲性能提出新的要求，并且不滿足時間最優(yōu)原則，執(zhí)行效率不高。因此，建立符合時間最優(yōu)原則且計算量、殘余振動和穩(wěn)態(tài)時間均較小的速度曲線來提高執(zhí)行機構運行效率是必要的。

本文依據(jù)時間最優(yōu)原則，對現(xiàn)有速度曲線進行分析，以高精度柔性掃描平臺為對象建立仿真模型，以其速度、加速度、加加速度及其一階導數(shù)等限制為邊界，對不同階數(shù)的多項式速度曲線進行殘余振動仿真分析，構建最優(yōu)階多項式速度曲線，并基于對稱原理在嵌入式系統(tǒng)實現(xiàn)較小運算量的實時在線計算。該方法有效降低了高精度柔性掃描平臺的殘余振動和縮短穩(wěn)態(tài)時間，進而提高運行效率。

2 速度曲線分析

2.1 梯形速度曲線

如圖1所示，梯形速度曲線的速度按照斜率為amax的直線增加或按斜率為-amax的直線減小，在給定加速度限制amax時能夠以最小的時間加速至最大速度或減速至零，最符合時間最優(yōu)原則。但是梯形速度曲線的加速度存在突變，加速度曲線不平滑，存在無窮大的加加速度。加加速度（Jerk，加速度一階導數(shù)）大小對控制算法的效率和整個系統(tǒng)的穩(wěn)定性都有極大的影響［17］。對加加速度的大小進行限制，在減小結構振動、機械磨損和運動定位誤差方面具有重要意義［18］。由于存在無窮大的加加速度，梯形速度曲線將導致執(zhí)行機構存在較大沖擊，在運行結束時激發(fā)較大殘余振動［19］。同時梯形速度曲線是非光滑的軌跡曲線，激發(fā)的殘余振動會降低執(zhí)行機構的壽命，執(zhí)行機構在完成路徑跟蹤和重復運動等任務時，也會產(chǎn)生較大的誤差［20］。

圖1 梯形速度曲線Fig.1 Trapezoidal motion profile

2.2 S型速度曲線

S型速度曲線由于其速度和加速度具有連續(xù)性，并且加加速度的大小受到限制，執(zhí)行機構在運動過程中的速度和加速度不存在突變，因而能夠有效減小沖擊，抑制殘余振動，使執(zhí)行機構更平穩(wěn)地運行。S型速度曲線包括基于三角函數(shù)型速度曲線、Sigmoid函數(shù)型速度曲線和多項式的速度曲線。

2.2.1 三角函數(shù)和Sigmoid函數(shù)S型速度曲線

三角函數(shù)S型速度曲線是將速度曲線的加加速度值用三角函數(shù)描述，可以分為正弦函數(shù)模型與余弦函數(shù)模型，分別由不同的分段函數(shù)表示。

正弦函數(shù)模型的各曲線段的加加速度是由正弦函數(shù)表示，其表達式如式（1）。正弦函數(shù)模型的加加速度、加速度和速度曲線均是連續(xù)的，但加加速度和加速度只在幾個孤立點達到最大值，最大值無持續(xù)輸出。余弦函數(shù)模型通過將余弦函數(shù)平移構成新的加加速度曲線，其加加速度表達式如式（2）。與正弦函數(shù)模型一致，加加速度、加速度和速度曲線均連續(xù)，雖然加速度最大值有持續(xù)的輸出，但曲線段數(shù)比正弦函數(shù)模型增加一倍，同時加加速度最大值同樣只在幾個孤立點有最大值。

三角函數(shù)S型速度曲線只需要四個參數(shù)（Jmax，T，t0，K）就能確定加加速度曲線，其中Jmax為加加速度最大值，T為與周期相關的參數(shù)，t0為偏移值，K為與曲線段數(shù)相關的參數(shù)，取±1或0。三角函數(shù)S型速度曲線任意階可導，不會存在突變等極端情況，可有效避免沖擊，抑制了殘余振動。但由于工業(yè)領域需要提高生產(chǎn)率以提高效率，因此時間最優(yōu)原則是需要考慮的一個關鍵因素。三角函數(shù)S型速度曲線由于加加速度或加速度沒有持續(xù)的最大值輸出，不能滿足時間最優(yōu)原則，執(zhí)行效率相對不高。

Sigmoid函數(shù)是常見的S型曲線，其嚴格單調(diào)并且連續(xù)，可以作為S型速度曲線的擬合函數(shù)。Sigmoid函數(shù)表達式如式（3）：

將式（3）在坐標平面內(nèi)進行縮放和平移，建立能用于描述速度曲線的函數(shù)，如式（4）：

其中：a，b，c，K均為常量，K為函數(shù)增益。f（t）可作為速度、加速度、加加速度或更高階的曲線函數(shù)，速度曲線平滑程度依次增加，但是表達式求解難度依次增加。為滿足時間最優(yōu)原則，需要對其參數(shù)進行優(yōu)化以滿足要求，且優(yōu)化的過程較復雜［21］。

三角函數(shù)和Sigmoid函數(shù)S型速度曲線由于自身特性，不能滿足時間最優(yōu)原則或需要優(yōu)化后才能滿足。同時實際應用中需要較低的計算復雜度實現(xiàn)快速計算，而三角函數(shù)和Sigmoid函數(shù)S型速度曲線計算過程中涉及三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的求導和積分運算，運算量大，且當運動曲線復雜或運動距離過長時，會產(chǎn)生巨量的數(shù)據(jù)，對控制器性能有較高要求。通常由計算機輔助計算速度曲線參數(shù)并生成數(shù)據(jù)傳遞給控制器，通過查表進行運動控制，導致不易實現(xiàn)曲線實時計算［22］，不利于實際應用，而多項式速度曲線卻能避免以上情況。

2.2.2 多項式函數(shù)S型速度曲線

多項式速度曲線是將多項式作為速度曲線的描述函數(shù)，易實現(xiàn)時間最優(yōu)原則下的速度曲線。多項式速度曲線由分段函數(shù)構成，如式5所示，位移曲線為每段階數(shù)均為不超過最高階的多項式函數(shù)。

多項式速度曲線雖然由分段函數(shù)構成，且分段函數(shù)的段數(shù)隨著階數(shù)的增加呈指數(shù)增加，但是每段函數(shù)只涉及簡單運算，曲線階數(shù)合適時，控制器容易實現(xiàn)快速計算，進而實現(xiàn)應用中的實時計算實時反饋。

三階多項式速度曲線已成為運動控制領域應用最廣泛的模型之一［23］，如圖2所示，三階多項式速度曲線對應的分段函數(shù)段數(shù)為七段，并且位移曲線每一段對應一個階數(shù)不超過三階的多項式函數(shù)。由于速度曲線存在瞬時變化的加加速度，這將導致運動結束時執(zhí)行機構存在殘余振動，穩(wěn)態(tài)時間變長，降低了定位精度。

圖2 三階多項式速度曲線Fig.2 Third order polynomial motion profile

對運動精度要求高的運動控制來說，在運動曲線的起點和終點，消除加加速度的瞬時突變是至關重要的［24］。如圖3所示，四階多項式運動曲線在三階多項式運動曲線的基礎上定義P（加加速度一階導數(shù)），使加加速度按照速率P變化。并對P的大小進行限制，降低了因加加速度不連續(xù)帶來的殘余振動。四階多項式運動曲線的段數(shù)由三階多項式速度曲線的七段增加至十五段，但是速度曲線的加加速度將不存在突變，減小了殘余振動，縮短了穩(wěn)態(tài)時間。

為了進一步提高運動曲線的平滑性，還應該考慮P的連續(xù)性，在四階多項式運動曲線的基礎上增加階數(shù)。但多項式速度曲線階數(shù)較大時，曲線段數(shù)較多，時間點計算過程的復雜度將增加且可能存在沒有解析解的情況［21，25］，對曲線的計算效率有顯著不利影響，同時對控制器性能提出較高要求。階數(shù)較高時，運動曲線實際性能提升卻有限。因此，合適階數(shù)的多項式速度曲線在實際應用中至關重要。

3 高精度柔性掃描平臺最優(yōu)階多項式速度曲線設計

3.1 多項式速度曲線殘余振動仿真分析

為研究不同階數(shù)的多項式速度曲線對高精度柔性掃描平臺的振動影響并確定最優(yōu)階，進行了不同階數(shù)的多項式速度曲線殘余振動仿真分析。本文采用的簡化模型如圖4所示，在簡化模型中，基座與傳動部件相接，并按照給定的速度曲線運動，與彈簧和阻尼器相連的質量塊代表誘發(fā)振動的部件。x為基座的絕對位移，y為質量塊與基座的相對位移。基座和質量塊的動態(tài)方程可表示為：

圖4 柔性平臺簡化模型Fig.4 Simplified model of flexible structure

此仿真模型中，使用的參數(shù)如下：ωn=120 rad·s-1，ξ=0.02。速度曲線為二階多項式（梯形）速度曲線至六階多項式速度曲線，曲線參數(shù)為：位移大小S=0.03 m，速 度Vmax=0.05 m·s-1，加 速 度Amax=0.4 m·s-2，加加速度Jmax=5 m·s-3，加加速度一階導數(shù)Pmax=150 m·s-4，加加速度二階導數(shù)Gmax=20 000 m·s-5，加加速度三階導數(shù)Fmax=5 000 000 m·s-6。不考慮外部環(huán)境和實際系統(tǒng)影響，殘余振動可看作為簡諧振動［4］，設定殘余振動位移誤差εs=2μm，由動力學理論可知殘余振動加速度允許誤差ε≈30 mm·s-2。仿真結果的殘余振動衰減過程如圖5所示。

圖5 （a）各階多項式速度曲線殘余振動仿真結果；（b）Ts3，Ts2，Ts1：四階、五階、六階多項式速度曲線穩(wěn)態(tài)時間；（c）Ts4：三階多項式速度曲線穩(wěn)態(tài)時間；（d）Ts5：梯形速度曲線穩(wěn)態(tài)時間Fig.5（a）Simulation results of residual vibration；（b）Ts3，Ts2，Ts1：settling time of fourth，fifth and sixth order polynomi?al motion profile；（c）Ts4：settling time of third order polynomial motion profile；（d）Ts5：settling time of trapezoi?dal motion profile

殘余振動加速度與振動的沖擊力成正比，其峰值能有效反映沖擊力的大小，同時也能表征殘余振動的大小。由表1可知，梯形速度曲線在殘余振動范圍內(nèi)加速度峰值最大，即殘余振動最大，六階速度曲線的加速度峰值最小，殘余振動最小。當曲線階數(shù)由二階增至六階，殘余振動加速度峰值依次減少81.62%，54.91%，8.44%，0.95%。穩(wěn)態(tài)時間隨階數(shù)的增加而減小，依次減少了51.06%，53.45%，1.76%，0.97%；與此同時曲線段數(shù)由3段按指數(shù)增至63段。

表1 仿真結果Tab.1 Simulation Result

如圖6所示，隨著階數(shù)的增加，殘余振動加速度峰值和穩(wěn)態(tài)時間逐漸減小。當曲線階數(shù)大于四階時，殘余振動加速度峰值和穩(wěn)態(tài)時間的大小逐漸趨于一致，但是曲線段數(shù)呈指數(shù)增加，速度曲線參數(shù)的計算量成倍增加，速度曲線性能卻幾乎沒有提升，因此，多項式速度曲線的最優(yōu)階選擇四階。

圖6 （a）殘余振動仿真結果與曲線段數(shù)關系；（b）穩(wěn)態(tài)時間仿真結果與曲線段數(shù)關系Fig.6（a）Relationship between simulation results of re?sidual vibration and segments of curve；（b）Rela?tionship between simulation results of settling time and segments of curve

3.2 最優(yōu)階多項式速度曲線建立

四階多項速度曲線的曲線段數(shù)為十五段，每一段位移可由式（8）表示：

其 中：a0，a1，a2，a3和a4為 每 段 位 移 曲 線 的 參 數(shù)。若加速和減速過程中速度曲線關于時間對稱，只需要計算出加速和勻速的曲線方程，減速的曲線方程可以由對稱關系推導，這將大大簡化曲線方程，同時減小在運動過程中曲線參數(shù)實時在線計算的運算量。

3.3 曲線分類

由速度Vmax、加速度Amax、加加速度Jmax及其一階導數(shù)Pmax的值可得出臨界位移SⅠ，當位移S≥SⅠ時，速度、加速度或加加速度均能以最短時間達到最大值并持續(xù)，滿足時間最優(yōu)原則。當位移S小于臨界位移SⅠ，運動過程中速度、加速度或加加速度將不能保持持續(xù)的最大值，但仍滿足時間最優(yōu)原則?？蓪⑶闆r分為以下三種：

（1）只有速度不能保持最大值，此時T8=0，臨界值為SⅠ=Vmax（4T1+2T2+T4）；

（2）速度和加速度不能保持最大值，此時T8=0，T4=0，臨界值為SⅡ=2Ama（x2T1+T2）2；

（3）速度、加速度和加加速度均不能保持最大值，此時T8=0，T4=0，T2=T6=0，臨界值為SⅢ=8JmaxT13。

當SⅡ≤S

4 實驗結果與分析

為驗證所提出的最優(yōu)階多項式速度曲線的有效性，在如圖7所示的結構上進行了實驗。懸臂梁結構在x-y運動平臺的帶動下在兩個方向運動，由于結構的特性，在x方向運動時，懸臂梁的殘余振動最大?？刂葡到y(tǒng)以嵌入式處理器STM 32F407VET 6為核心，控制算法通過C語言進行編寫。根據(jù)輸入?yún)?shù)和x-y運動平臺光柵尺的位置反饋進行參數(shù)的實時計算與調(diào)整，生成運動執(zhí)行指令實現(xiàn)閉環(huán)控制。運動平臺驅動部分由步進電機與滾珠絲桿組成，絲桿導程為2 mm，電機步距角設為0.18°，此時運動平臺分辨率為1μm；采用光柵尺進行位置反饋，光柵尺分辨率為0.1μm，允許誤差設為±0.5μm，確保運動平臺運行的準確性。通過懸臂梁最遠端處的加速度傳感器，采集運動結束時的殘余振動值，處理器處理后傳遞至上位機進行數(shù)據(jù)分析，控制系統(tǒng)的采樣和控制周期T=0.5 ms。

圖7 柔性掃描平臺實驗裝置Fig.7 Experiment setup of flexible scanning platform

x-y運動平臺在x方向上按照給定運動參數(shù)進行運動，表2所示。運動結束后檢測殘余振動加速度值，考慮實際測試環(huán)境和加速度傳感器噪聲影響，取殘余振動加速度允許誤差εa=50 mm·s-2，此時殘余振動位移誤差εs≈3.5μm。

表2 實驗參數(shù)Tab.2 Parameters for the experiment setup

實際殘余振動實驗結果如圖8所示，梯形速度曲線殘余振動加速度峰值與穩(wěn)態(tài)時間均最大，五階多項式速度曲線的加速度峰值與穩(wěn)態(tài)時間最小。實驗結果與仿真結果相吻合，即隨著速度曲線階數(shù)的增加，殘余振動加速度峰值減小，穩(wěn)態(tài)時間縮短。

圖8 殘余振動結果Fig.8 Results of residual vibration

表3為振動加速度峰值和穩(wěn)態(tài)時間統(tǒng)計數(shù)據(jù)，梯形速度曲線的殘余振動加速度峰值與穩(wěn)態(tài)時間均最高，隨著速度曲線階數(shù)的增加，控制效果依次提升。速度曲線階數(shù)由二階增至五階時，加速度峰值依次減少43.78%，42.94%，4.79%；穩(wěn)態(tài)時間依次減少25.80%，32.50%，6.53%。速度曲線階數(shù)由四階增加至五階提升的控制效果遠小于由三階增加至四階提升的控制效果，但隨著階數(shù)的增加，曲線段數(shù)指數(shù)增加，控制器計算負載也同時增加，控制成本升高［12］，綜合考慮，速度曲線最優(yōu)階數(shù)為四階。

表3 實際振動加速度峰值與穩(wěn)態(tài)時間Tab.3 Result of vibration acceleration peak and settling time

5 結 論

本文針對高精度柔性掃描平臺在現(xiàn)有速度曲線下運動時存在運算量大、殘余振動較大與穩(wěn)態(tài)時間較長等問題，基于時間最優(yōu)原則對掃描平臺簡化模型進行不同階數(shù)多項式速度曲線的殘余振動仿真分析，確定多項式速度曲線最優(yōu)階為四階，并建立對稱式四階多項式速度曲線方程。以高精度柔性掃描平臺為實際被控對象進行了二階（梯形）、三階、四階和五階多項式速度曲線殘余振動實驗，實驗結果表明，速度曲線最優(yōu)階為四階，與仿真結果相符；與傳統(tǒng)的梯形速度曲線相比，對稱式四階多項式速度曲線殘余振動加速度峰值降低了67.91%，穩(wěn)態(tài)時間縮短了49.92%；與三階多項式速度曲線相比，對稱式四階多項式速度曲線殘余振動加速度峰值降低了42.94%，穩(wěn)態(tài)時間縮短了32.50%。本文所提出的最優(yōu)階多項式速度曲線顯著降低了高精度柔性掃描平臺殘余振動，縮短穩(wěn)態(tài)時間，提高了運行效率。