李鎮(zhèn)真，黃偉杰，林浩濤，黃晨華，李湘勤

(韶關(guān)學(xué)院 智能工程學(xué)院，廣東 韶關(guān) 512005)

以LED為光源的自由曲面透鏡，在道路照明、汽車前照燈、投影儀設(shè)備和掃描打印等領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用。目前主流照明器件采用的勻光方式主要是重疊法(Superposition)[1]，光學(xué)系統(tǒng)中，以復(fù)眼(Lens Arrays)或錐棒 TLP(Tapered Light Pipe)為核心的照明結(jié)構(gòu)均利用重疊法勻光。LED的發(fā)光旋轉(zhuǎn)對稱，若要照明其他形狀的目標(biāo)面，需借助其他光學(xué)器件，如，液晶顯示器 (Liquid Crystal Display，LCD)投影儀通過復(fù)眼透鏡，數(shù)字光處理器(Digital Light Processor．DLP)通過方棒和透鏡組實(shí)現(xiàn)對數(shù)字微鏡(Digital Micro—mirror Device，DMD)面板的均勻矩形照明[2]。采用上述兩種結(jié)構(gòu)不僅會增加光學(xué)系統(tǒng)的復(fù)雜度，還存在光路復(fù)雜、光能利用率低等問題。針對LCD光固化打印技術(shù)對透鏡的需求，使用以上方法設(shè)計的透鏡將增加光固化打印機(jī)的體積，降低光能的利用率。自由曲面器件因其可以滿足各種照明形狀的要求得到了廣泛的應(yīng)用，2001 年 OEC公司的Ries和Muschaweck提出通過數(shù)值求解微分方程的方法來構(gòu)造自由曲面面型的器件[3-4]。自由曲面的設(shè)計目前主要有數(shù)值優(yōu)化法和直接法[5]，數(shù)值法是通過對已有光學(xué)結(jié)構(gòu)解析式設(shè)置可變參數(shù)來調(diào)整結(jié)構(gòu)的方法，該方法在建立新的模型時十分繁瑣，對設(shè)計人員的經(jīng)驗(yàn)要求高。使用“直接法”設(shè)計自由曲面透鏡，可提高設(shè)計過程的可控性和設(shè)計效率，直接法包括SMS 法、MA 等式法、剪切法等。Rise等[3]利用裁剪法，通過裁剪光學(xué)曲面控制波前，最終將光學(xué)曲面模型的求解轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)模型求解，即求解一組非線性偏微分方程[6-8]，該方法不能根據(jù)指定的光學(xué)曲面進(jìn)行設(shè)計。根據(jù)光源的分布特性和矩形照度分布等要求，基于微分幾何理論[9-10]和能量守恒原理及拓?fù)潢P(guān)系[11-12]建立微分方程組，使用Runge-Kutta算法求解微分方程組，通過Matlab對微分方程編程計算求得自由曲面數(shù)據(jù)，再利用 3D 建模軟件對離散點(diǎn)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合形成自由曲面。

一般而言，當(dāng)透鏡的口徑與光源口徑比值大于5時，光源可以簡化為點(diǎn)光源；當(dāng)兩者比值小于5時，光源應(yīng)被當(dāng)作擴(kuò)展光源。設(shè)計時，若設(shè)定透鏡的口徑大于所用點(diǎn)列陣光源邊長的5倍，即可將光源簡化為點(diǎn)光源處理。

液晶屏數(shù)字透射光固化3D打印技術(shù)，即LCD光固化3D打印技術(shù)，精度高、原理簡單，使用廣泛，是桌面級3D打印設(shè)備常用3D打印技術(shù)之一。LCD光固化3D打印設(shè)備通常采用矩形液晶屏，并拆除背光板，紫外LED發(fā)出的特定波長光束經(jīng)液晶面板上按需打開的光通道照射樹脂，引發(fā)樹脂聚合固化。LED光源投射在受照面的光強(qiáng)均勻性是影響LCD光固化3D打印技術(shù)打印精度和一致性的主要性能指標(biāo)之一，因此，有必要對光源做一定的勻光處理，以提高受照面光強(qiáng)均勻度。根據(jù)LCD光固化3D打印設(shè)備所使用點(diǎn)陣光源及對矩形受照面均勻照度的要求，結(jié)合點(diǎn)列陣光源的特性，利用微分幾何理論和折射定律推導(dǎo)光線與曲面透鏡的關(guān)系，設(shè)計高均勻度的單一透鏡，以提高LCD光固化3D打印設(shè)備在矩形受照區(qū)的光均勻度。

1 設(shè)計原理

入射光線在自由曲面上的p點(diǎn)發(fā)生折射，矢徑op可記為

op=ρI=ρsinθcosφ，ρsinθsinφ，ρcosθ

(1)

式中：θ為入射光線與Z軸正方向的夾角，φ為入射光線投影到XoY面后與X軸正方向的夾角，ρ為矢徑op的長度，I為入射光線的單位矢量。又設(shè)目標(biāo)面上t的坐標(biāo)為(x，y，z)，則出射光線的單位矢量為

(2)

設(shè)自由曲面上p點(diǎn)的切向矢量分別為pθ和pφ。則自由曲面上法向矢量為

N=pθ?pφ

(3)

根據(jù)三維空間坐標(biāo)中的斯涅耳定理可得

(4)

式中：no和n1分別為折射光線和入射光線所在空間介質(zhì)的折射率。式(4)兩邊同時點(diǎn)乘pθ和pφ，且pθ?pθ、pφ?pφ，因上式中I·pθ=ρθ；I·pφ=ρφ，則

(5)

在理想情況下，光束在自由曲面透鏡中的折射或反射沒有能量損失，也不考慮介質(zhì)的吸收影響，因此，能量守恒定律入射能量與出射能量相等。將光源所處位置設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，由光源的輻射光通量和能量守恒定律可得

(6)

式中：I(θ，φ)為光源的光強(qiáng)，dΩ為光源發(fā)出光線的球坐標(biāo)中的立體角，E(x，y)為矩形受照面的照度分布，且為常數(shù)。設(shè)矩形受照面的長度和寬度分別為l和w，LED近似為朗伯光源，配光I(θ，φ)取I0cosθ，可以得到在第一象限內(nèi)目標(biāo)面上的坐標(biāo)t(x，y，z)與θ和φ的關(guān)系為

(7)

根據(jù)式(5)和式(7)，令n1=1，n0=n得自由曲面透鏡得微分方程為

(8)

利用Runge-Kutta算法求解方程組(8)，z0為1 000 mm，點(diǎn)列陣光源與自由曲面中心的距離ρ0為32 mm，矩形被照面長度l為120 mm，寬度w為68 mm，折射率為1.518 72，可得到自由曲面透鏡的數(shù)值，圖1為擬合得到的曲線圖形，表1、表2為當(dāng)φ分別為90°和0°時t點(diǎn)對應(yīng)坐標(biāo)值，將這些數(shù)據(jù)擬合成曲面，可得到自由曲面透鏡為一個類似花生米的模型，如圖2所示。

圖1 擬合曲線圖形

圖2 自由曲面透鏡模型

表1 當(dāng)φ為90°時的曲線數(shù)據(jù)

表2 當(dāng)φ為0°時的曲線數(shù)據(jù)

2 仿真與分析

將得到的離散點(diǎn)數(shù)據(jù)進(jìn)行三維建模，得到類似花生米狀自由曲面透鏡的三維模型，再對該模型一定比例切割得到自由曲面透鏡，當(dāng)輸入不同的矢徑ρ時，可以得到不同大小的透鏡。多次仿真結(jié)果顯示，當(dāng)ρ取32 mm時，矩形受照射面可獲取最佳的光強(qiáng)均勻度，因此，設(shè)定ρ為32 mm。由于花生米狀透鏡難以加工，還需對花生米狀模型進(jìn)行修型，最終獲得一個長軸為38.9 mm、短軸為29.0 mm、高度為14.5 mm的半橢圓模型，如圖3所示。

圖3 自由曲面透鏡

修正模型后，對自由曲面透鏡進(jìn)行仿真分析，設(shè)定光源芯片為1.1 mm、間距為0.2 mm的4×4的點(diǎn)列陣光源，進(jìn)行光線追跡，得到光線通過該自由曲面透鏡時的照度分布如圖4所示。從圖4(a)可以看出，在矩形受照面中部照度較為均勻，矩形受照面4個角度光照度值變化較大。圖5為被照面與透鏡距離為100 mm時的照度效果圖，從圖中可以看出矩形受照面全域照度較均勻，其光能利用率為48.263%。根據(jù)美國國家標(biāo)準(zhǔn)ANSI/APMIT.228—1997[13]，計算得到其均勻度為88.3%，采用該標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行均勻性計算的取樣數(shù)據(jù)如表3所示。

表3 區(qū)域照度取樣值 lx

(a)光斑圖

(a)光斑圖

因此，當(dāng)設(shè)定ρ為32 mm時，受照面與透鏡距離100 mm的透鏡光能利用率達(dá)到48.26%，其均勻度到達(dá)88.2%以上。表4是受照面與透鏡不同距離對應(yīng)的光能利用率和均勻度數(shù)據(jù)， 從中可以明顯看出，80～100 mm距離區(qū)間內(nèi)，均勻度隨著距離的增大而增大，光能利用率隨著距離的增大而減小。

表4 光能利用率與均勻度與距離變化關(guān)系

3 結(jié)論

基于LCD光固化打印技術(shù)對透鏡出射光在矩形受照面均勻性的要求，設(shè)計具有高均勻效果的自由曲面透鏡。將水平角度φ等間距逐漸增加到90°，使用Runge-Kutta算法求解關(guān)于夾角θ的一階偏微分方程，得到自由曲面透鏡數(shù)據(jù)，并對數(shù)據(jù)進(jìn)行曲面擬合，從而構(gòu)建透鏡三維模型。通過改變ρ值得到多組離散點(diǎn)數(shù)據(jù)，將各組離散點(diǎn)數(shù)據(jù)分別進(jìn)行三維重構(gòu)，得到不同大小的自由曲面透鏡模型。通過自由曲面透鏡模型的光學(xué)仿真分析得出，透鏡效果最佳時，矢徑ρ為32 mm，其均勻度可達(dá)到88.3%。設(shè)計方法適用于基于點(diǎn)列陣光源的自由曲面透鏡設(shè)計，對LCD光固化3D打印技術(shù)高均勻度照明要求場合的透鏡設(shè)計具有重要借鑒意義。