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        動能定理是否有單方向的“分解式”

        2021-11-23 09:14:56孫永茂
        物理通報 2021年12期
        關(guān)鍵詞:方向

        孫永茂

        (贛州市第三中學(xué) 江西 贛州 341000)

        1 問題引出

        中學(xué)階段有三大觀點(diǎn)可以解決力與運(yùn)動的相關(guān)問題,分別是力的觀點(diǎn)、動量觀點(diǎn)和能量觀點(diǎn),對于牛頓運(yùn)動定律、動量定理和動量守恒定律,都可以分方向進(jìn)行運(yùn)用.對于動能定理,表述的是功與能的關(guān)系,功和能都是標(biāo)量,可以分方向運(yùn)用動能定理嗎?也就是說,動能定理是否有單方向的“分解式”?我們從一道力學(xué)題入手進(jìn)行分析.

        【例1】如圖1所示,一質(zhì)量為m,電荷量為q的正電粒子在勻強(qiáng)電場中運(yùn)動,A和B為其運(yùn)動軌跡上的兩點(diǎn).已知該粒子在A點(diǎn)的速度大小為v0,方向與電場方向的夾角為60°,它運(yùn)動到B點(diǎn)時速度方向與電場方向的夾角為30°.不計重力,求A,B兩點(diǎn)間的電勢差.

        圖1 例1題圖

        在教學(xué)過程中,發(fā)現(xiàn)學(xué)生有以下兩種解法.

        解法1:帶電粒子只受電場力,粒子沿電場方向做勻加速直線運(yùn)動,垂直電場方向做勻速直線運(yùn)動,有

        vBsin 30°=v0sin 60°

        (1)

        粒子從A到B點(diǎn),由動能定理

        (2)

        聯(lián)立式(1)、(2)得

        解法2:帶電粒子只受電場力,所以粒子速度的改變是由電場力決定的,電場力僅改變粒子沿電場方向的速度大小,在沿電場方向使用動能定理

        (3)

        物體在垂直電場方向做勻速直線運(yùn)動,有

        vBsin 30°=v0sin 60°

        (4)

        聯(lián)立式(3)、(4)得

        【分析】對比兩種解法,計算結(jié)果相同,對于解法1,教師和學(xué)生都非常認(rèn)同.但對于解法2,咨詢多位教學(xué)經(jīng)驗(yàn)豐富的物理老師,發(fā)現(xiàn)此解法存在非常大的爭議,教師之間存在兩種不同的觀點(diǎn):

        觀點(diǎn)1:解法2錯誤,因?yàn)閯幽芏ɡ硎菢?biāo)量式,不能進(jìn)行矢量分解,故不可以單方向運(yùn)用動能定理,解法2的計算結(jié)果與解法1相同只是計算的巧合,不能當(dāng)做規(guī)律進(jìn)行推廣.

        觀點(diǎn)2:解法2正確,動能定理是標(biāo)量式是毋庸置疑的,但標(biāo)量也可以分解,如總功就可以分解為各個力做功之代數(shù)和.同理,對于動能的總變化量可以為各方向的動能變化量的代數(shù)和[1,2].本題中,在沿電場方向和垂直電場方向建立直角坐標(biāo)系,再分別求解各方向的動能的變化量,則有

        F合s=ΔEkx+ΔEky

        又因物體僅受水平方向的電場力,則ΔEky=0,所以有F合s=ΔEkx,即解法2是正確的.

        以上兩種觀點(diǎn)哪個是正確的?此帶電粒子的合力為水平方向,即解法2在水平方向使用了動能定理,而持觀點(diǎn)1 的教師不認(rèn)同此解法.兩種觀點(diǎn)的爭論點(diǎn)圍繞于是否存在單方向的動能定理“分解式”.接下來進(jìn)行理論分析,論證是否存在動能定理的單方向“分解式”.

        2 理論分析

        動能的大小和速度有關(guān),而速度是矢量,故建立三維直角坐標(biāo)系O-xyz,如圖2所示,各方向的單位分矢量為i,j和k,合力為F,位移為s,初速度為v1,末速度為v2,由矢量的標(biāo)積,可以計算以下物理量.

        圖2 三維直角坐標(biāo)系

        合力做的功為

        W=F·s=

        (Fxi+Fyj+Fzk)·(sxi+syj+szk)=

        Fxi·sxi+Fxi·syj+Fxi·szk+Fyj·

        sxi+Fyj·syj+Fyj·szk+Fzk·

        sxi+Fzk·syj+Fzk·szk=

        Fxsx+Fysy+Fzsz

        動能的變化量

        由動能定理:W=ΔEk,即

        據(jù)力和運(yùn)動的獨(dú)立性,在x方向上

        即ΔWx=ΔEkx

        在y和z方向,同理可得

        ΔWy=ΔEkyΔWz=ΔEkz;

        將3方向關(guān)系式累加也可得

        Fxsx+Fysy+Fzsz=

        3 適用條件

        通過理論分析,證明了動能定理存在類似于“分量形式”的單方向“分解式”,那此規(guī)律存在條件嗎?我們以一道例題入手進(jìn)行分析.

        【例2】質(zhì)量為m的物體靜止于地面上,現(xiàn)有兩個大小相等且互成60°的力F同時作用于物體,經(jīng)時間t后,物體的速度為v,求其中一個力做的功.

        常規(guī)解法:物體做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動,由動能定理

        (5)

        兩個力大小和沿力方向上的分位移大小相同(s1=s2),如圖3所示,故兩力所做功相同,則每個力做的功

        圖3 位移分解

        (6)

        由式(5)和(6)得

        錯解:將v沿兩分力方向分解為v1和v2,由圖4所示,可知

        圖4 速度分解

        由動能定理的“分解式”,一個力做的功為

        分析:在錯解中,似乎運(yùn)用了動能定理單方向的“分解式”,但發(fā)現(xiàn)計算結(jié)果是錯誤的,說明動能定理單方向的“分解式”在運(yùn)用的時候存在條件.到底是什么條件?不難發(fā)現(xiàn),之前推導(dǎo)單方向的動能定理“分解式”是建立在直角坐標(biāo)系的基礎(chǔ)上的,如果不是直角坐標(biāo)系下的分解,而是斜角坐標(biāo)系下的分解,是否還有相同的結(jié)果?我們運(yùn)用向量的相關(guān)知識進(jìn)行分析.

        情境創(chuàng)設(shè):物體在合外力為恒力F的作用下以初速度v0開始做勻加速直線運(yùn)動,經(jīng)時間t后,位移為s,末速度為v.

        分析:建立斜角坐標(biāo)系xOy,如圖5所示,其中x軸和y軸的夾角為θ,之后將力F和位移s和速度v0,v按平行四邊形定則分解到x軸和y軸.

        圖5 力、位移和速度分解

        對于總功,運(yùn)用向量求解總功為

        W=F·s=(F1+F2)·(x+y)=

        F1·x+F1·y+F2·x+F2·y=

        F1x+F1ycosθ+F2xcosθ+F2y

        由此可見,“總功”和“分力的功”也不是簡單的標(biāo)量相加.

        對于動能,與速度有關(guān),速度又是矢量,先對速度進(jìn)行矢量分解,再用向量求解,有

        由此可見,“合動能”和類似于分解式的“分動能”并不是簡單的標(biāo)量相加,其運(yùn)算規(guī)則更加的復(fù)雜.綜上所述,功和動能的分解規(guī)則不是簡單的標(biāo)量合成,且兩者的運(yùn)算規(guī)則相同.

        由動能定理

        當(dāng)時θ=90°時,有

        此時單方向動能定理的“分解式”才能使用,即需建立直角坐標(biāo)系,將力和速度分解到坐標(biāo)軸上.

        再回顧例題2,以其中一個力F的所在方向?yàn)閤軸建立直角坐標(biāo)系,如圖6所示,其中F1,s1,v1分別是力F,位移s,速度v在x軸上的分量,在x軸上運(yùn)用動量定理的“分解式”,有

        圖6 力、位移和速度分解

        F1=Fcos 60°s1=scos 30°v1=vcos 30°

        4 案例運(yùn)用

        利用動能定理單方向的“分解式”可以快速解決一些相對復(fù)雜的問題,接下來看到以下例題.

        【例3】在水平向右的勻強(qiáng)電場中,如圖7所示,場強(qiáng)為3 V/m,一電荷量為2 C的小球從A點(diǎn)豎直向上拋出.如圖7所示,運(yùn)動軌跡中的A,B兩點(diǎn)在同一水平線上,M為軌跡的最高點(diǎn).小球拋出時的動能為8 J,在M點(diǎn)的動能為6 J,不計空氣的阻力.求:

        圖7 例3題圖

        (1)小球水平位移x1與x2的比值;

        (2)小球落到B點(diǎn)時的動能EkB;

        (3)小球從A點(diǎn)運(yùn)動到B點(diǎn)的過程中最小動能Ekmin.

        解:(1)沿水平和豎直方向建立直角坐標(biāo)系,如圖8所示.在豎直方向,小球受重力,做豎直上拋運(yùn)動,又A,B兩點(diǎn)等高,所以A→M和M→B所用時間相同.在水平方向上,小球僅受電場力,做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動,由初速度為零的勻變速直線運(yùn)動規(guī)律,得x1∶x2=1∶3.

        圖8 運(yùn)動分解

        (2)小球從A→M,M點(diǎn)為最高點(diǎn),則M點(diǎn)的速度水平,在水平方向上運(yùn)用動能定理的“分解式”為

        WAM電=EkMx-EkAx

        其中

        EkMx=6 JEkAx=0 J

        得WAM電=6 J.

        又x1∶x2=1∶3,則

        A→B,WAB電=4WAM電=24 J

        小球從A→B,由動能定理,得

        WAB電=EkB-EkA

        又EkA=8 J,得EkB=32 J.

        (3)物體從A→M,設(shè)小球所受的電場力為F,在水平和豎直方向分別運(yùn)用動能定理的“分解式”,有

        Fx1=EkMx-EkAx

        (7)

        -Gh=EkMy-EkAy

        (8)

        其中EkAx=0,EkMy=0,得

        Fx1=6 JGh=8 J

        (9)

        (10)

        由式(7)~(10)得

        由圖9可知

        設(shè)電場力和重力的合力為

        F合=mg′=G′

        式中G′為等效重力,以G′所在方向?yàn)檩S建立直角坐標(biāo)系,如圖9所示.

        圖9 等效重力場

        在小球從A到B的過程中,將速度分解至坐標(biāo)軸上,當(dāng)小球在沿G′方向的分速度減為零時,具最小速度為

        vmin=v0sinθ

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