翁 柳 青

黎明職業(yè)大學(xué) 土木建筑工程學(xué)院,福建 泉州 362000

我國裝配式混凝土結(jié)構(gòu)中桁架鋼筋疊合板應(yīng)用最為廣泛的受力構(gòu)件,有效提高結(jié)構(gòu)的裝配率,但受限于現(xiàn)澆層厚度要求,預(yù)制底板的剛度不足[1],在生產(chǎn)脫模、吊裝過程中容易出現(xiàn)混凝土開裂,在沒有桁架筋的截面開裂更為普遍[2].姚一辰等[3]人通過有限元模型分析得出疊合板在脫模、吊裝時的受力性能影響因素為懸挑長度、板寬、吊繩等.國家建筑標(biāo)準(zhǔn)設(shè)計圖集(15G366-1)《桁架鋼筋混凝土疊合板》[4]給出關(guān)于部分疊合板的起吊懸挑長度、吊點(diǎn)數(shù)量及位置的建議.鄒貽權(quán)等[5]人認(rèn)為疊合板在生產(chǎn)及施工過程中混凝土開裂的主要影響因素為吊點(diǎn)設(shè)計錯誤或起吊時遺漏,吊點(diǎn)數(shù)量或位置設(shè)計不合理,則會增加混凝土剝落及開裂的風(fēng)險.其根據(jù)疊合板起吊計算模型分析得出四、六點(diǎn)起吊情況下疊合板的最優(yōu)力學(xué)吊點(diǎn).以上研究對于規(guī)則桁架鋼筋疊合板的受力性能進(jìn)行分析,給出吊點(diǎn)位置建議,但未涉及異形的桁架鋼筋疊合板.

隨著裝配式建筑的多樣化發(fā)展,往往需拆分異形的疊合板以適應(yīng)當(dāng)?shù)匮b配率的要求[6].在實(shí)際工程中,疊合板因與墻柱碰撞、預(yù)留洞口、拆分前本為異形板而設(shè)置切角,導(dǎo)致力學(xué)最優(yōu)吊點(diǎn)發(fā)生改變.因此,帶切角的桁架鋼筋疊合板的吊點(diǎn)位置優(yōu)化需要進(jìn)一步研究.郁文海等[7]人認(rèn)為疊合板的吊點(diǎn)位置優(yōu)化應(yīng)充分利用混凝土自身的抗拉性能,使疊合板的正負(fù)彎矩絕對值最相近.帶切角的疊合板往往四、六點(diǎn)起吊,彎矩圖上存在多個彎矩極值,導(dǎo)致吊點(diǎn)的位置優(yōu)化涉及多目標(biāo)優(yōu)化.此外,疊合板起吊時截面上的多個彎矩極值隨吊點(diǎn)的位置變化呈非線性變化[5],并存在此消彼長的沖突關(guān)系.粒子群算法因參數(shù)少、易實(shí)現(xiàn)的特點(diǎn),被廣泛應(yīng)用于多目標(biāo)優(yōu)化[8],但無法同時優(yōu)化具有沖突性的多目標(biāo)最優(yōu)解[9],而改進(jìn)的多目標(biāo)粒子群優(yōu)化算法優(yōu)化性能得到改善,但相關(guān)的數(shù)學(xué)理論仍不夠完備[10].傳統(tǒng)的多目標(biāo)優(yōu)化算法如加權(quán)求和法、約束法、目標(biāo)規(guī)劃法[11]等理論較為完善,具有確定的優(yōu)化終止準(zhǔn)則,但當(dāng)目標(biāo)函數(shù)為非線性時,優(yōu)化效果并不理想[10].因此,如何基于一種數(shù)學(xué)理論完備且適合、簡易的多目標(biāo)優(yōu)化算法共性分析不同切角比例下疊合板的吊點(diǎn)優(yōu)化布置規(guī)律值得研究.由此,將建立帶切角的桁架鋼筋疊合板的起吊計算模型,結(jié)合力學(xué)分析得出多彎矩極值關(guān)聯(lián)吊點(diǎn)位置的表達(dá)式.根據(jù)已有的研究初步估計吊點(diǎn)的優(yōu)化范圍,并構(gòu)建吊點(diǎn)位置搜索矩陣,基于Matlab矩陣運(yùn)算[12]的“點(diǎn)乘”功能計算得出多彎矩極值矩陣,以多彎矩極值矩陣同位元素最大值最小判定吊點(diǎn)處于最優(yōu)位置,從而將多目標(biāo)優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)優(yōu)化問題.再以疊合板切角在疊合板長跨向的尺寸與疊合板長度的比值為變量,共性分析不同切角比例下桁架鋼筋疊合板力學(xué)上最優(yōu)吊點(diǎn)的共性布置規(guī)律,并做出優(yōu)化前后的比較，最后,通過算例分析優(yōu)化理論結(jié)果的應(yīng)用.

1 帶切角疊合板的起吊計算模型

1.1 吊點(diǎn)與切角的位置關(guān)系

在實(shí)際的裝配式混凝土結(jié)構(gòu)中,帶切角的桁架鋼筋疊合板多數(shù)為一角設(shè)置切角如圖1所示.其中,l1為切角在疊合板長跨向的尺寸,l2為切角在疊合板短跨向的尺寸.《裝配式混凝土結(jié)構(gòu)技術(shù)規(guī)程》(JGJ1-2014)6.6.7條[13]規(guī)定桁架鋼筋距離板邊不應(yīng)大于300 mm.因此,當(dāng)l2大于300 mm時,外排的桁架鋼筋與切角處于同一板帶(圖1陰影部分).而在實(shí)際工程,為避免設(shè)置吊環(huán)而將吊點(diǎn)設(shè)置于桁架鋼筋的波峰處如圖1所示,即疊合板的其中一排吊點(diǎn)與切角處于同一板帶.

圖1 帶切角的桁架鋼筋疊合板(左上角設(shè)置切角、四點(diǎn)起吊)Fig.1 Truss steel reinforced composite slab(with a cut corner on the upper left,four-point hoisted)

1.2 簡化的起吊計算模型

疊合板對稱起吊時,若對稱吊繩與疊合板的夾角相等,起吊繩的水平分力互相平衡[14],則疊合板受力計算簡圖為承受均布線荷載的外伸梁[5,7].因受限于運(yùn)輸,疊合板設(shè)計寬度與長度相比較小,即疊合板短跨向板帶計算跨度相比長跨向的小,且若將吊點(diǎn)設(shè)置于桁架鋼筋上,吊點(diǎn)的位置取決于桁架鋼筋的位置及間距;若在吊點(diǎn)設(shè)置吊環(huán),則疊合板短跨向內(nèi)力較易于控制,因此將重點(diǎn)分析疊合板切角尺寸l1對長跨向吊點(diǎn)優(yōu)化設(shè)置的影響.

圖1中帶切角的桁架鋼筋疊合板四點(diǎn)起吊下長跨板帶的受力計算簡圖與彎矩圖如圖2所示.同理,跨度較大的疊合板六點(diǎn)起吊下長跨板帶的計算簡圖與彎矩圖如圖3所示.

其中,a為切角在疊合板長跨向的尺寸與疊合板長度的比(l1/L),q為計算板帶所承受的線荷載,x1、x2分別為疊合板四點(diǎn)起吊下長跨板帶兩側(cè)懸挑長度與疊合板長度的比,x3、x4分別為疊合板六點(diǎn)起吊下長跨板帶兩側(cè)懸挑長度與疊合板長度的比,x5、x6均為疊合板六點(diǎn)起吊下長跨板帶計算跨度與疊合板長度的比.圖2(b)與圖3(b)中的M1～M16為對應(yīng)吊點(diǎn)和板跨中的彎矩極值.因?qū)ΨQ起吊,M2=M4,M8=M10.此外,因疊合板的一角設(shè)置了切角,導(dǎo)致相鄰跨跨中彎矩最大值增加,即M6>M5,M14>M13.因此,為使得M1～M6、M7～M16均相對較小,將基于多目標(biāo)優(yōu)化共性分析不同切角比例(a=l1/L)下疊合板四、六點(diǎn)起吊的吊點(diǎn)最優(yōu)位置.

(b) 長跨板帶圖2 四點(diǎn)起吊下的計算簡圖與彎矩圖(左側(cè)設(shè)置切角)Fig.2 Calculation diagram and bending moment diagram under four-point hoisted(with a cut corner on the left)

(b) 長跨板帶圖3 六點(diǎn)起吊下的計算簡圖與彎矩圖(左側(cè)設(shè)置切角)Fig.3 Calculation diagram and bending moment diagram under six-point hoisted(with a cut corner on the left)

2 帶切角疊合板的吊點(diǎn)位置多目標(biāo)優(yōu)化

2.1 構(gòu)建吊點(diǎn)位置搜索矩陣

(a) 切角范圍內(nèi)長跨板帶

(a) 切角范圍內(nèi)長跨板帶

(1)

X2=X1T

(2)

六點(diǎn)起吊情況下,x3～x6的搜索矩陣X3,X4,X5,X6均為三維矩陣,行列及平面數(shù)均為n+1,見式(3)～式(6)

(3)

X4(:,:,k)=X3(:,:,k)Tk=1，…，n+1

(4)

(5)

X6=E-X3-X4-X5

(6)

其中,X3(:,:,k),X4(:,:,k),X5(:,:,k)分別表示三維矩陣X3,X4,X5空間上第k平面的二維矩陣;E表示與X3～X5同型的三維矩陣且元素數(shù)值均是1.

2.2 計算彎矩極值矩陣

利用Matlab矩陣運(yùn)算的“點(diǎn)乘”功能,根據(jù)X1～X6計算得出圖2(b)和圖3(b)中的彎矩極值所形成的矩陣M1～M16.四點(diǎn)起吊情況下,M1～M6為二維矩陣見式(7)～式(11)

M1ij=0.5X1ij2qL2

(7)

M4ij=M2ij=0.5X2ij2qL2

(8)

M3ij=0.5(X1ij-a)2qL2

(9)

(10)

(11)

其中,下標(biāo)“ij”表示矩陣的第i行與第j列,i=1,…,n+1,j=1,…,n+1.

六點(diǎn)起吊情況下,M7～M16為三維矩陣,通過圖乘法及力法分析超靜定外伸梁可求.圖3(a)中的支座反力矩陣與彎矩極值M7～M16矩陣的表達(dá)為式(12)～式(24)

(12)

(13)

R4aijk=

(14)

(15)

M7ijk=0.5X3ijk2qL2

(16)

(17)

(18)

M11ijk=0.5(X4ijk+X6ijk)2qL2-R4ijkX6ijkL

(19)

M12ijk=0.5(X4ijk+X6ijk)2qL2-R4aijkX6ijkL

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

其中,下標(biāo)“ijk”表示矩陣的第i行第j列第k平面處,i=1,…,n+1,j=1,…,n+1,k=1,…,n+1.

2.3 彎矩極值矩陣同位元素最大值最小定位

比較彎矩極值矩陣對應(yīng)空間位置數(shù)值,以最大值組建新矩陣ZM4(四點(diǎn)吊)、ZM6(六點(diǎn)吊)見式(25)和式(26)

ZM4ij=max(M1ijM2ijM3ijM5ijM6ij)i=1,…,n+1j=1,…,n+1

(25)

ZM6ijk=max(M7ijkM8ijkM9ijkM11ijkM12ijkM13ijkM14ijkM15ijkM16ijk)

i=1,…,n+1j=1,…,n+1k=1,…,n+1

(26)

之后,分別得出ZM4和ZM6中元素最小值的位置,如圖4所示,再推出X1～X5矩陣中對應(yīng)位置的元素值,即為x1～x5的值,由此得出疊合板力學(xué)上最優(yōu)吊點(diǎn)的位置.

圖4 矩陣元素值三維圖Fig.4 Three-dimensional image of matrix element values

2.4 吊點(diǎn)位置多目標(biāo)優(yōu)化算法的流程

帶切角的桁架鋼筋疊合板的吊點(diǎn)位置多目標(biāo)優(yōu)化算法的流程如圖5所示.

圖5 吊點(diǎn)位置多目標(biāo)優(yōu)化算法的流程Fig.5 Flow of multi-objective optimization algorithmfor hanging points’ position

2.5 吊點(diǎn)位置多目標(biāo)優(yōu)化理論結(jié)果

2.5.1 四點(diǎn)起吊

四點(diǎn)起吊情況下,因未設(shè)切角的疊合板的最優(yōu)力學(xué)吊點(diǎn)在0.207L處[5],所以設(shè)切角在疊合板長跨向尺寸與疊合板長度的比值a=0～20 %.基于以上優(yōu)化算法,帶切角的桁架鋼筋疊合板的吊點(diǎn)位置優(yōu)化結(jié)果及優(yōu)化前后最大彎矩比較見表1.

表1 四點(diǎn)起吊下吊點(diǎn)位置優(yōu)化結(jié)果及優(yōu)化前后最大彎矩比較Table 1 Optimization results of hanging points’ position and comparison of the maximum bending momentbefore and after optimization under four-point hoisted

結(jié)果顯示,當(dāng)a=0,也就是疊合板不設(shè)切角時,x1和x2的力學(xué)標(biāo)準(zhǔn)值為0.207,與文獻(xiàn)[5]吻合,說明優(yōu)化算法及Matlab編程有效.隨著a的增加,x1和x2逐漸增加,即疊合板起吊時兩側(cè)懸挑長度逐漸增加如表1所示,最優(yōu)力學(xué)吊點(diǎn)逐漸向內(nèi)移,但移動的幅度逐漸變緩如圖6(a)所示.其中,去除多目標(biāo)優(yōu)化個別非劣解后,x1和x2保持?jǐn)?shù)值一致見表1,不僅能均衡多吊點(diǎn)及跨中的彎矩極值,且便于設(shè)計和施工.此外,隨著a的增加,吊點(diǎn)位置優(yōu)化前后疊合板的最大彎矩均逐步增加,說明切角尺寸增大對疊合板起吊的不利影響增加.而吊點(diǎn)位置優(yōu)化后,疊合板的最大彎矩增幅較小如圖6(b)所示,說明吊點(diǎn)位置優(yōu)化能夠有效降低帶切角的疊合板起吊時的最大彎矩.例如當(dāng)a=10 %時,優(yōu)化后最大彎矩Mmax比優(yōu)化前小18.5 %見表1.

(a) 優(yōu)化前后x1,x2的對比

(b) 優(yōu)化前后最大彎矩對比

2.5.2 六點(diǎn)起吊

六點(diǎn)起吊情況下,因未設(shè)切角的疊合板外側(cè)4個吊點(diǎn)的最優(yōu)力學(xué)位置在0.145 L處[5],所以設(shè)切角在疊合板長跨向尺寸與疊合板長度的比值a=0～14 %.基于以上優(yōu)化算法,帶切角的桁架鋼筋疊合板的吊點(diǎn)位置優(yōu)化結(jié)果及優(yōu)化前后最大彎矩比較見表2.

表2 六點(diǎn)起吊下吊點(diǎn)位置優(yōu)化結(jié)果及優(yōu)化前后最大彎矩比較Table 2 Optimization results of hanging points’ position and comparison of the maximum bending momentbefore and after optimization under six-point hoisted

結(jié)果顯示,當(dāng)a=0,也就是疊合板不設(shè)置切角時,x1,x2,x3,x4的力學(xué)上標(biāo)準(zhǔn)值分別為0.145,0.145,0.355和0.355,與文獻(xiàn)[5]吻合,說明優(yōu)化算法及Matlab編程有效.隨著a的增加,同四點(diǎn)起吊,x3和x4的值同步逐漸增加如表2及圖7(a)所示,即外側(cè)的4個吊點(diǎn)逐漸內(nèi)移,但幅度逐漸變緩如圖7(a)所示.而x3與x4的值并不完全相等,但大小較為相近見表2.此外,隨著a的增加,吊點(diǎn)位置優(yōu)化前和優(yōu)化后疊合板的最大彎矩均逐步增加,但優(yōu)化后比優(yōu)化前的小如圖7(b)所示,說明吊點(diǎn)位置優(yōu)化能夠降低疊合板起吊時的最大彎矩.例如當(dāng)a=10 %時,優(yōu)化后最大彎矩Mmax比優(yōu)化前小8.8 %見表2.相比四點(diǎn)起吊,六點(diǎn)起吊下吊點(diǎn)位置優(yōu)化后最大彎矩降低百分比相對較小.

(a) 優(yōu)化前后x3和x4的對比

(b) 優(yōu)化前后最大彎矩對比

3 帶切角疊合板的吊點(diǎn)位置優(yōu)化理論結(jié)果應(yīng)用

3.1 考慮桁架鋼筋的節(jié)點(diǎn)間距

由于桁架鋼筋疊合板的吊點(diǎn)往往設(shè)置于桁架鋼筋的波峰處,導(dǎo)致吊點(diǎn)的位置一定程度上受限于桁架鋼筋的節(jié)點(diǎn)間距如圖8所示.

圖8 桁架鋼筋疊合板的立面圖Fig.8 Elevation image of truss reinforced composite slab

目前工程上常用的桁架鋼筋為定型桁架鋼筋.根據(jù)中華人民共和國黑色冶金行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)《鋼筋混凝土用鋼筋桁架》YB/T4262-2011第6.3條[15],定型桁架鋼筋的節(jié)點(diǎn)間距優(yōu)選200 mm.由此說明,桁架鋼筋疊合板的總跨度通常是200 mm的整數(shù)倍,疊合板起吊時兩側(cè)的懸挑長度再依此確定.

3.2 數(shù)值算例

以15G366-1圖集中的桁架鋼筋疊合板為例,設(shè)其一角帶切角(a=10 %),根據(jù)以上吊點(diǎn)位置優(yōu)化理論結(jié)果重新設(shè)計其吊點(diǎn)的位置.表1和表2顯示,四點(diǎn)、六點(diǎn)起吊下外側(cè)4個吊點(diǎn)的力學(xué)標(biāo)準(zhǔn)位置在0.220L及0.153L處.桁架鋼筋疊合板的深化設(shè)計時,因需確保疊合板起吊時的總跨度是200 mm的整數(shù)倍,導(dǎo)致無法完全將吊點(diǎn)設(shè)于力學(xué)標(biāo)準(zhǔn)點(diǎn)上,但能以此作為參考優(yōu)化吊點(diǎn)的位置.若疊合板長為L,四點(diǎn)起吊時,疊合板的總跨度應(yīng)與(1-0.220)L接近且為200 mm的整數(shù)倍;六點(diǎn)起吊時,疊合板的總跨度應(yīng)與(1-0.153)L接近且為200 mm的整數(shù)倍.疊合板起吊時的總跨度確定后再依此確定起吊懸挑長度.根據(jù)以上方法,15G366-1圖集中疊合板(設(shè)一角帶切角,a=10 %)的吊點(diǎn)位置優(yōu)化后的信息見表3.

表3 15G366-1圖集中疊合板的吊點(diǎn)位置優(yōu)化前后信息對比(設(shè)一角帶切角,a=10 %)Table 3 Comparison of information about truss reinforced concrete composite slabs on the 15G366-1 atlas before andafter optimization of the hoisting points' position (with a cut corner,a=10 %)

結(jié)果顯示,疊合板的吊點(diǎn)位置優(yōu)化后,起吊時截面最大彎矩Mmax均降低.理論優(yōu)化情況下,起吊時截面最大彎矩降低1.8 %～40.7 %,優(yōu)化效果明顯,但僅適用于采用定制桁架鋼筋或設(shè)置吊環(huán)的情況.而參考理論優(yōu)化結(jié)果并限定總跨度為200 mm整數(shù)倍情況下,截面最大彎矩降低0～36.9 %,相比理論優(yōu)化,效果稍不如,但一定程度上說明吊點(diǎn)位置優(yōu)化理論結(jié)果的應(yīng)用可行.其中,長為4 500 mm的疊合板吊點(diǎn)位置優(yōu)化后(總跨度為200整數(shù)倍情況下),起吊時截面最大彎矩反而增加10.2 %,是將疊合板起吊的總跨度設(shè)為常用節(jié)點(diǎn)間距200 mm的整數(shù)倍導(dǎo)致的,屬正常.

4 結(jié)論

(1) 通過二維、三維矩陣的構(gòu)建與運(yùn)算便于比較相同情況下多個目標(biāo)函數(shù)(彎矩)的大小,以其最大值最小為條件有效判定最優(yōu)工況,所提優(yōu)化算法有效.但隨著矩陣行列數(shù)的增加,在一定程度上影響計算時間.

(2) 疊合板及其切角的尺寸多樣,以切角在疊合板長跨向的尺寸與疊合板長度的比值為變量便于共性分析帶切角的桁架鋼筋疊合板的吊點(diǎn)優(yōu)化布置規(guī)律,為疊合板的深化設(shè)計提供參考.

(3) 四、六點(diǎn)起吊情況下,隨著切角尺寸的增加,外側(cè)四個吊點(diǎn)的力學(xué)最優(yōu)位置逐漸同步內(nèi)移,吊點(diǎn)位置優(yōu)化后疊合板截面上的最大彎矩均一定程度上降低.

(4) 在確保起吊時總跨度為桁架鋼筋節(jié)點(diǎn)間距整數(shù)倍的情況下,參考優(yōu)化后的理論結(jié)果設(shè)定吊點(diǎn)的位置,能夠有效降低疊合板起吊時截面上的最大彎矩,降低疊合板在加工及裝配環(huán)節(jié)開裂的風(fēng)險.

(5) 若為達(dá)到較優(yōu)的吊點(diǎn)位置理論優(yōu)化效果,可選用定制桁架鋼筋或設(shè)置吊環(huán),以便將吊點(diǎn)設(shè)于力學(xué)標(biāo)準(zhǔn)點(diǎn)上,較大程度降低疊合板起吊時截面上的最大彎矩,但一定程度上影響疊合板的生產(chǎn)效率.

(6) 此外,四、六起吊情況下,若疊合板的一角切角尺寸與疊合板長度的比不小于22 %和16 %,外側(cè)吊點(diǎn)的力學(xué)最優(yōu)位置在靠近切角的桁架鋼筋波峰處,吊點(diǎn)對稱設(shè)置.但若疊合板的切角尺寸較大,疊合板的異形程度大,吊點(diǎn)的位置優(yōu)化應(yīng)視具體情況而定,有待于進(jìn)一步研究.