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        細心閱讀 深入理解 綜合運用
        ——點擊2021年中考概率新題型

        2021-11-23 08:29:36施曉丹
        初中生世界 2021年43期
        關(guān)鍵詞:逆序田忌對陣

        文/施曉丹

        概率是研究不確定現(xiàn)象的數(shù)學模型,也是中考考查的熱點內(nèi)容之一。近年來,各地中考試題中出現(xiàn)了一些背景豐富、題型新穎的概率題,對同學們的閱讀理解、綜合分析、實際應(yīng)用等能力提出了新的要求。下面,我們就一起走進2021年中考,看一看概率新題型。

        例1 (2021·湖北十堰)為慶祝中國共產(chǎn)黨成立100 周年,某校舉行黨史知識競賽活動。賽后隨機抽取了部分學生的成績,按得分劃分為A、B、C、D四個等級,并繪制了如下不完整的統(tǒng)計表和統(tǒng)計圖。

        _____________等級____A B________________C____D成績(x)______90≤x≤100 80≤x<90 70≤x<80________x<70人數(shù)__15___a____18___7____

        根據(jù)圖表信息,回答下列問題:

        (1)表中a=________;扇形統(tǒng)計圖中,C等級所占百分比是________;D等級對應(yīng)的扇形圓心角為________度;若全校共有1800名學生參加了此次知識競賽活動,請估計成績?yōu)锳等級的學生共有________人。

        (2)若95 分以上的學生有4 人,其中甲、乙兩人來自同一班級,學校將從這4 人中隨機選出兩人參加市級比賽,請用列表或畫樹狀圖法求甲、乙兩人至少有1 人被選中的概率。

        【分析】(1)先由A等級的圓心角度數(shù)和人數(shù),求出樣本總數(shù),作差即可得到a的值,再根據(jù)C和D占總?cè)藬?shù)的比例,求出百分比或圓心角度數(shù),利用樣本估計總體的方法求出全校成績?yōu)锳等級的人數(shù)。

        (2)利用“樹狀圖”或“表格”,列出所有等可能的結(jié)果,根據(jù)概率公式即可求解。

        (2)記這4 人分別為甲、乙、丙、丁,用樹狀圖列出所有等可能的結(jié)果:

        共有12 種等可能的結(jié)果,其中甲、乙兩人至少有1人被選中的結(jié)果有10種,

        【點評】本題綜合考查了統(tǒng)計與概率的相關(guān)知識,我們要認真閱讀、觀察、分析扇形統(tǒng)計圖和統(tǒng)計表,從中準確獲取相關(guān)信息。計算等可能條件下事件發(fā)生的概率時,可以通過列表或畫樹狀圖法,不重復、不遺漏地列出所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果。

        例2 (2021·四川成都)我們對一個三角形的頂點和邊都賦給一個特征值,并定義:從任意頂點出發(fā),沿順時針或逆時針方向依次將頂點和邊的特征值相乘,再把三個乘積相加,所得之和稱為此三角形的順序旋轉(zhuǎn)和或逆序旋轉(zhuǎn)和。如圖1,ar+cq+bp是該三角形的順序旋轉(zhuǎn)和,ap+bq+cr是該三角形的逆序旋轉(zhuǎn)和。已知某三角形的特征值如圖2,若從1,2,3 中任取一個數(shù)作為x,從1,2,3,4 中任取一個數(shù)作為y,則對任意正整數(shù)z,此三角形的順序旋轉(zhuǎn)和與逆序旋轉(zhuǎn)和的差都小于4的概率是________。

        圖1

        圖2

        【分析】首先,同學們要通過閱讀,理解什么是“順序旋轉(zhuǎn)和”與“逆序旋轉(zhuǎn)和”,然后根據(jù)定義,用代數(shù)式表示“三角形的順序旋轉(zhuǎn)和與逆序旋轉(zhuǎn)和的差”,最后畫出樹狀圖或列出表格求解。

        解:根據(jù)題意,得

        此三角形的順序旋轉(zhuǎn)和為4x+2z+3y,

        此三角形的逆序旋轉(zhuǎn)和為3x+2y+4z,

        ∴(4x+2z+3y)-(3x+2y+4z)=x+y-2z<4,

        ∴x+y<4+2z。

        用表格列出所有等可能的結(jié)果:

        x+y___x y 1_________________2_________________3 1 2 3_____4_____2 3 4_____5_____3 4 5_____6_____4 5___6__7__

        【點評】本題以一個新定義為問題背景,設(shè)計了一道求概率的題目,在考查用列表法或畫樹狀圖法求概率的同時,考查了同學們的閱讀理解能力和推理能力。運用“表格”或“樹狀圖”能不重復、不遺漏地列出所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果。對于兩步能完成的事件,且所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)較少時,運用這兩種方法求解都比較有效;對于兩步能完成的事件,且所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)較大時,運用“表格”則顯得較為清晰、便捷;對于三步能完成的事件,則一般運用“樹狀圖”較為方便。

        例3 (2021·福建)“田忌賽馬”的故事閃爍著我國古代先賢的智慧光芒。該故事的大意是:齊王有上、中、下三匹馬A1,B1,C1,田忌也有上、中、下三匹馬A2,B2,C2,且這六匹馬在比賽中的勝負可用不等式表示如下:A1>A2>B1>B2>C1>C2(注:A>B表示A馬與B馬比賽,A馬獲勝)。一天,齊王找田忌賽馬,約定:每匹馬都出場比賽一局,共賽三局,勝兩局者獲得整場比賽的勝利。面對劣勢,田忌事先了解到齊王三局比賽的“出馬”順序為上馬、中馬、下馬,并采用孫臏的策略:分別用下馬、上馬、中馬與齊王的上馬、中馬、下馬比賽,即借助對陣(C2A1,A2B1,B2C1)獲得了整場比賽的勝利,創(chuàng)造了以弱勝強的經(jīng)典案例。

        假設(shè)齊王事先不打探田忌的“出馬”情況,試回答以下問題:

        (1)如果田忌事先只打探到齊王首局將出“上馬”,他首局應(yīng)出哪種馬才可能獲得整場比賽的勝利?并求其獲勝的概率;

        (2)如果田忌事先無法打探到齊王各局的“出馬”情況,他是否必敗無疑?若是,請說明理由;若不是,請列出田忌獲得整場比賽勝利的所有對陣情況,并求其獲勝的概率。

        【分析】(1)通過理解題意分析得出結(jié)論,用列舉法求出獲勝的概率;(2)通過列舉齊王的出馬順序和田忌獲勝的對陣,求出概率。

        解:(1)田忌首局應(yīng)出“下馬”才可能在整場比賽中獲勝。

        此時,比賽的所有可能對陣為:(C2A1,A2B1,B2C1),(C2A1,B2C1,A2B1),(C2A1,B2B1,A2C1),(C2A1,A2C1,B2B1),共4種。

        其 中 田 忌 獲 勝 的 對 陣 有(C2A1,A2B1,B2C1),(C2A1,B2C1,A2B1),共2種,

        (2)不是。

        齊王的出馬順序為A1,B1,C1時,田忌有6種對陣方式,其中獲勝的對陣是(C2A1,A2B1,B2C1);

        齊王的出馬順序為A1,C1,B1時,田忌有6種對陣方式,其中獲勝的對陣是(C2A1,B2C1,A2B1);

        齊王的出馬順序為B1,A1,C1時,田忌有6種對陣方式,其中獲勝的對陣是(A2B1,C2A1,B2C1);

        齊王的出馬順序為B1,C1,A1時,田忌有6種對陣方式,其中獲勝的對陣是(A2B1,B2C1,C2A1);

        齊王的出馬順序為C1,A1,B1時,田忌有6種對陣方式,其中獲勝的對陣是(B2C1,C2A1,A2B1);

        齊王的出馬順序為C1,B1,A1時,田忌有6種對陣方式,其中獲勝的對陣是(B2C1,A2B1,C2A1)。

        綜上所述,田忌獲勝的所有對陣是(C2A1,A2B1,B2C1),(C2A1,B2C1,A2B1),(A2B1,C2A1,B2C1),(A2B1,B2C1,C2A1),(B2C1,C2A1,A2B1),(B2C1,A2B1,C2A1)。

        【點評】本題以“田忌賽馬”的故事為問題背景,考查簡單隨機事件的概率等基礎(chǔ)知識,也考查了統(tǒng)計與概率思想,對同學們的推理能力、應(yīng)用意識的要求較高。列舉出所有對陣情況,是解題的關(guān)鍵。

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