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        一類PDE-ODE級聯(lián)系統(tǒng)的指數(shù)鎮(zhèn)定

        2021-11-22 09:44:04孟玉翠
        河南科學(xué) 2021年10期
        關(guān)鍵詞:方法系統(tǒng)

        孟玉翠

        (山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,太原 030006)

        近年來,常微分方程(ODE)-偏微分方程(PDE)級聯(lián)系統(tǒng)的鎮(zhèn)定問題越來越得到廣大研究者的關(guān)注[1-7].它可以描述很多不同的物理問題,如交通流、化學(xué)反應(yīng)器和熱交換器等. 在文獻(xiàn)[8]中,作者提出了利用偏微分方程backstepping方法來鎮(zhèn)定一階不穩(wěn)定的雙曲偏微分方程,該方法還應(yīng)用到了具有執(zhí)行器和傳感器延遲的系統(tǒng)[9]. 文獻(xiàn)[10]將時(shí)滯描述為一個(gè)傳輸方程,并考慮了一階雙曲偏微分方程和ODE級聯(lián)系統(tǒng)的鎮(zhèn)定問題. 關(guān)于偏微分方程backstepping方法的其他應(yīng)用可以在文獻(xiàn)[11-18]中找到. 雖然偏微分方程backstepping方法已經(jīng)有效地解決了ODE-PDE級聯(lián)系統(tǒng)的鎮(zhèn)定問題,但backstepping方法的核函數(shù)通常是一個(gè)偏微分方程,從而相對復(fù)雜. 與此不同,本文設(shè)計(jì)了一個(gè)新的變換,其優(yōu)點(diǎn)之一是核函數(shù)是一個(gè)常微分方程,其求解難度遠(yuǎn)比通常的backstepping方法核函數(shù)的求解小. 該方法的另一個(gè)優(yōu)點(diǎn)是在證明閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性時(shí),避免了構(gòu)造Lyapunov函數(shù)的困難.

        考慮下面的系統(tǒng):

        其中:X是ODE的狀態(tài);A∈?n×n;B∈?n×1;g∈C[0,1];U是控制. 在狀態(tài)空間?n×L2(0,1)中考慮系(1),其內(nèi)積定義為

        1 控制器的設(shè)計(jì)

        我們將控制U(t)分為兩部分

        其中:U0(t)用來鎮(zhèn)定一階雙曲偏微分方程;U1(t)是待定的新的控制. 按照文獻(xiàn)[8],利用backstepping 方法,U0(t)可以設(shè)計(jì)如下:

        由式(3)和(4),系統(tǒng)(1)可以化為

        其中核函數(shù)q(x,y)是由式(4)給定的. 引入變換

        對式(6)求導(dǎo)可得

        將上述兩個(gè)等式相減,再根據(jù)式(4),可以將系統(tǒng)(5)轉(zhuǎn)化為

        現(xiàn)在設(shè)計(jì)控制器U1(t)來鎮(zhèn)定系統(tǒng)(9),受文獻(xiàn)[19]的啟發(fā),引入如下變換:

        其中H(x):[0 ,1] →?n是待定的向量值核函數(shù). 顯然變換式(10)是可逆的,其逆為

        為了求解向量值核函數(shù)H(x),對X?(t)求導(dǎo)可得:

        如果選擇H(x)使得

        則式(12)變?yōu)?/p>

        解式(13)可得

        因此

        只需鎮(zhèn)定系統(tǒng)(16)即可,根據(jù)極點(diǎn)配置定理

        其中K使得矩陣A+e-ABK是Hurwitz矩陣. 在狀態(tài)反饋(17)的條件下,我們得到閉環(huán)系統(tǒng)

        于是得到系統(tǒng)(1)的閉環(huán)系統(tǒng)

        其中q(x,y)滿足式(4).

        定理1 令A(yù)∈?n×n,B∈?n×1,g∈C[0,1]. 假設(shè)(A,B)是可控的,σ(A)?{λ∈?|Reλ≥0} ,則存在K∈?1×n使得A+e-ABK是Hurwitz矩陣,并且對任意的初始狀態(tài)(X(0),u(?,0) )∈?n×L2(0,1),閉環(huán)系統(tǒng)(20)存在唯一解(X(t),u(?,t) )∈C([ 0,∞);?n×L2(0,1)) ,并且存在常數(shù)ω>0,滿足

        2 閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性

        本節(jié)分析閉環(huán)系統(tǒng)(20)的穩(wěn)定性,為此先給出如下引理.

        w-子系統(tǒng)是一個(gè)簡單的傳輸方程,它的解可以被表示為

        根據(jù)式(23)和(24)可知,隨著時(shí)間t趨于無窮大,w(x,t)的解指數(shù)衰減到零,故w-系統(tǒng)也是指數(shù)穩(wěn)定的.因此整個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)(18)是指數(shù)穩(wěn)定的. 證畢.

        定理1的證明.因?yàn)?A,B)是可控的,根據(jù)極點(diǎn)配置定理可知存在矩陣K1∈?1×n使得A+BK1是Hurwitz矩陣.由于eA[A+e-ABK1eA]e-A=A+BK1,A+e-ABK1eA是Hurwitz 矩陣當(dāng)且僅當(dāng)A+BK1是Hurwitz矩陣,故A+e-ABK1eA也是Hurwitz矩陣. 因此,我們可以選擇K=K1eA.

        根據(jù)文獻(xiàn)[1]可知變換式(6)是可逆的,且其逆為

        3 結(jié)論

        本文提出了一種新方法來鎮(zhèn)定由一階雙曲PDE 和ODE 組成的級聯(lián)系統(tǒng). 與傳統(tǒng)的偏微分方程backstepping方法不同,所提新方法的一個(gè)優(yōu)點(diǎn)為核函數(shù)是一個(gè)常微分方程,易于求解,從而簡化了控制器的設(shè)計(jì);另一個(gè)優(yōu)點(diǎn)是在證明閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性時(shí),避免了構(gòu)造Lyapunov函數(shù)的困難.

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