江蘇省常州市第二中學(xué)(213000) 王 強(qiáng)

新一輪課程改革以來(lái), 信息技術(shù)成為了一個(gè)重要詞匯,如何實(shí)現(xiàn)信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的深度融合成為了一個(gè)重要課題.立體幾何是研究三維空間中物體的大小、形狀和位置關(guān)系的一門(mén)數(shù)學(xué)學(xué)科,由于其高度抽象性和需要較高的空間想象能力,一直是教學(xué)的重難點(diǎn).一批優(yōu)秀的數(shù)學(xué)軟件如幾何畫(huà)板、GeoGebra 為突破立體幾何中的重難點(diǎn)提供了有利工具,GeoGebra 軟件更是憑借3D 功能,將一些抽象的幾何圖形通過(guò)直觀(guān)演示變得直觀(guān)可見(jiàn).因此,研究GeoGebra 與立體幾何教學(xué)的融合對(duì)改善立體幾何教學(xué)效果有重要作用.

本文結(jié)合蘇教版“空間幾何體的表面積”這一節(jié)中的圓柱、圓錐、圓臺(tái)部分談?wù)剳?yīng)用GeoGebra 輔助立體幾何教學(xué)的策略、實(shí)踐與反思,供同行參考.

1 應(yīng)用原則

1.1 簡(jiǎn)便性與簡(jiǎn)潔性相結(jié)合

利用GeoGebra 創(chuàng)設(shè)教學(xué)動(dòng)畫(huà),操作要簡(jiǎn)便.同時(shí),要注意操作界面的簡(jiǎn)潔性,一些不需要展示的對(duì)象可以隱藏,降低學(xué)生的認(rèn)知負(fù)荷.

1.2 適度性與整合性相結(jié)合

教學(xué)中應(yīng)用GeoGebra 軟件進(jìn)行教學(xué)要適度,確實(shí)對(duì)教學(xué)起到促進(jìn)作用的如板書(shū)作圖效果不佳的或涉及到平移、旋轉(zhuǎn)等需要?jiǎng)討B(tài)觀(guān)察的可以用GeoGebra 呈現(xiàn)和制作功能這一優(yōu)勢(shì),降低學(xué)生理解難度.

1.3 動(dòng)態(tài)演繹與靜態(tài)作圖相結(jié)合

立體幾何中與運(yùn)動(dòng)問(wèn)題相關(guān)的概念或直接作圖不便的問(wèn)題,可以利用GeoGebra 的3D 繪圖區(qū)功能制作動(dòng)畫(huà)或圖片輔助課上教學(xué).隨著學(xué)習(xí)的深入,就要逐漸脫離信息技術(shù)呈現(xiàn)圖形來(lái)建立空間觀(guān)念.對(duì)幾何體的認(rèn)知不能僅停留在看圖,更要會(huì)自己繪圖,親歷立體圖形畫(huà)在平面圖形上的過(guò)程,提升直觀(guān)想象的核心素養(yǎng).

1.4 實(shí)驗(yàn)歸納與演繹推理相結(jié)合

GeoGebra 輔助立體幾何教學(xué)最明顯的優(yōu)點(diǎn)是為學(xué)生創(chuàng)設(shè)三維的研究情境,讓學(xué)生經(jīng)歷動(dòng)手操作自主探究,通過(guò)軟件操作,發(fā)現(xiàn)規(guī)律提出猜想.但是,不能使立體幾何的教學(xué)停留在淺層次的操作,更要上升到深層次的演繹推理層次.只有將實(shí)驗(yàn)歸納與邏輯演繹相結(jié)合,才能發(fā)揮GeoGebra 輔助立體幾何教學(xué)的優(yōu)越性.

2 教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

2.1 問(wèn)題導(dǎo)入——活動(dòng)階段

師: 生活中我們可以將一張紙折成圓柱或圓錐的形狀,那么反過(guò)來(lái)圓柱、圓錐和圓錐的側(cè)面可以沿其母線(xiàn)剪開(kāi)后展在平面上,這時(shí)展開(kāi)圖的面積就是它們的側(cè)面積.

問(wèn)題1沿圓柱的一條母線(xiàn)將其剪開(kāi)后展在平面上,則圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是什么形狀? 圓柱的側(cè)面積是多少?

2.2 問(wèn)題探究——過(guò)程階段

師生活動(dòng): 教師利用GeoGebra 帶領(lǐng)學(xué)生感受沿圓柱的母線(xiàn)剪開(kāi)后展在平面的過(guò)程, 通過(guò)觀(guān)察可以發(fā)現(xiàn)展開(kāi)圖是矩形, 矩形的長(zhǎng)是底面圓的周長(zhǎng), 寬為圓柱的母線(xiàn)長(zhǎng), 所以S圓柱側(cè)=cl=2πrl.

圖1

圖2

問(wèn)題2沿圓錐的一條母線(xiàn)將其剪開(kāi)后展在平面上,則圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是什么形狀? 圓錐的側(cè)面積是多少?

師生活動(dòng): 學(xué)生先直觀(guān)想象, 圖形是扇形.教師利用GeoGebra 帶領(lǐng)學(xué)生感受沿圓錐的母線(xiàn)剪開(kāi)后展在平面的過(guò)程,通過(guò)觀(guān)察可以發(fā)現(xiàn)展開(kāi)圖是扇形,扇形的弧長(zhǎng)是底面圓的周長(zhǎng),半徑為圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng),所以=π·l.

例1已知圓柱的高和底面半徑分別為a和b，求其側(cè)面積.

例2已知圓錐的底面直徑與高都是2,求該圓錐的側(cè)面積.

例3以一個(gè)圓柱的下底面為底面,并以圓柱的上底面圓心為頂點(diǎn)作圓錐,若所得的圓錐底面半徑等于圓錐的高,則圓錐的側(cè)面積與圓柱的側(cè)面積之比是多少?

設(shè)計(jì)意圖利用GeoGebra 制作圓柱、圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖,突破以往教學(xué)中學(xué)生只能憑空想象的困境,讓學(xué)生直觀(guān)感知到側(cè)面展開(kāi)圖與側(cè)面積的關(guān)系,培養(yǎng)空間想象能力.

問(wèn)題3沿圓臺(tái)的一條母線(xiàn)將其剪開(kāi)后展在平面上,則圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖是什么形狀? 圓臺(tái)的側(cè)面積是多少?

師生活動(dòng)學(xué)生先直觀(guān)想象, 圖形是扇環(huán).教師利用GeoGebra 帶領(lǐng)學(xué)生感受沿圓臺(tái)的母線(xiàn)剪開(kāi)后展在平面的過(guò)程, 通過(guò)觀(guān)察可以發(fā)現(xiàn)展開(kāi)圖是一段扇環(huán), 扇環(huán)的一段弧長(zhǎng)是上底面圓的周長(zhǎng), 另一段弧長(zhǎng)是上底面圓的周長(zhǎng),還有兩條邊的長(zhǎng)等于圓臺(tái)的母線(xiàn)長(zhǎng).師生合作探究, 借助將圓臺(tái)的側(cè)面積轉(zhuǎn)化成圓錐的側(cè)面積的方法, 推導(dǎo)出教師引導(dǎo)學(xué)生類(lèi)比梯形的面積公式進(jìn)行記憶,并利用分割的方法和極限的思想闡明這樣記憶的合理性.

圖3

2.3 問(wèn)題解決——對(duì)象階段

問(wèn)題4圓柱、圓錐和圓臺(tái)的側(cè)面積公式之間有怎樣的關(guān)系?

圖4

學(xué)生直觀(guān)想象后,教師借助GeoGebra 動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)圓柱、圓臺(tái)、圓錐的相互轉(zhuǎn)化,讓學(xué)生體會(huì)數(shù)與形的和諧統(tǒng)一.

設(shè)計(jì)意圖教學(xué)中利用信息技術(shù)展示空間圖形,為學(xué)生理解圓柱、圓錐和圓臺(tái)的側(cè)面積公式之間的相互聯(lián)系提供幾何直觀(guān).

圖5

例4一個(gè)直角梯形上底、下底和高之比為2 : 4 :將此直角梯形以垂直于底的腰為軸旋轉(zhuǎn)一周形成一個(gè)圓臺(tái), 求這個(gè)圓臺(tái)上底面積、下底面積和側(cè)面積之比.

通過(guò)側(cè)面展開(kāi)來(lái)求圓柱、圓錐和圓臺(tái)的側(cè)面積,可以將空間圖形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面圖形問(wèn)題,這是解決立體幾何問(wèn)題中最基本的、常用的方法,也就是我們說(shuō)的降維的思想.

思考題已知圓柱CA的底面半徑為2cm, 母線(xiàn)長(zhǎng)為8cm 有一螞蟻從底面圓周上一點(diǎn)B出發(fā),沿側(cè)面爬行一周后到達(dá)同一母線(xiàn)的另一端點(diǎn)D,則爬行最短路徑長(zhǎng)為多少?

2.4 知識(shí)構(gòu)建——圖式階段

問(wèn)題5通過(guò)剛剛的學(xué)習(xí),你掌握了哪些知識(shí)? 體會(huì)到哪些研究方法?

學(xué)習(xí)了圓柱、圓錐和圓臺(tái)的側(cè)面積公式,體會(huì)到降維和轉(zhuǎn)化的研究方法,并感受到用聯(lián)系的眼光看問(wèn)題.

設(shè)計(jì)意圖通過(guò)本節(jié)課的小結(jié),讓學(xué)生構(gòu)建自己的知識(shí)結(jié)構(gòu),培養(yǎng)反思的習(xí)慣.

3 教學(xué)設(shè)計(jì)反思

(1)本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)利用直觀(guān)想象、操作確認(rèn)的方式展開(kāi)研究,借助類(lèi)比歸納的思維方法,在GeoGebra 的輔助下通過(guò)動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)側(cè)面展開(kāi)的過(guò)程,增強(qiáng)學(xué)生對(duì)展開(kāi)圖的面積即為側(cè)面積的認(rèn)識(shí),培養(yǎng)直觀(guān)想象的核心素養(yǎng),進(jìn)一步感受“空間問(wèn)題平面化”這種降維轉(zhuǎn)化的研究方法.

(2)利用GeoGebra 的3D 平臺(tái),通過(guò)滑動(dòng)條的設(shè)置,為學(xué)生理解和掌握柱體、錐體、臺(tái)體的側(cè)面積公式的聯(lián)系提供了幾何直觀(guān),化“無(wú)形”為“有形”,從“數(shù)”與“形”的雙重表征促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的深度理解.

4 GeoGebra 案例制作過(guò)程

4.1 圓柱的側(cè)面展開(kāi)

第一步: 用指令輸入一個(gè)圓柱即指令欄輸入“圓柱((?1,0,0),(?1,0,4),1)”,

第二步: 設(shè)置滑動(dòng)條控制展開(kāi)的程度;

第三步: 指令欄輸入曲面指令“如果(k=0, 曲 面(0,u,v,u,0,2,v,0,4), 曲 面(r(?1 + cos(kθ)),rsin(kθ),h,θ,0,2π,h,0,4)”.

4.2 圓臺(tái)(錐)側(cè)面展開(kāi)

步驟一: 創(chuàng)設(shè)底面

(1)指令欄輸入“(0,0,0)”,得到點(diǎn)A;

(2)指令欄輸入“圓周(A,5,z軸)”,得到以A為圓心,5為半徑且與z軸垂直的圓c;

步驟二: 構(gòu)造上底面上一點(diǎn)

(1)用描點(diǎn)工具,在圓c上任取一點(diǎn)B;

(2)用描點(diǎn)工具,在z軸上任取一點(diǎn)C;

(3)指令欄輸入“描點(diǎn)(線(xiàn)段(B,C))”,得到線(xiàn)段上BC上的一動(dòng)點(diǎn)D;

(4)指令欄輸入“圓周(z軸,D)”,得到垂直于z軸且過(guò)D點(diǎn)的圓;用工具欄中的線(xiàn)段工具,連接線(xiàn)段BD;

步驟三: 做輔助直線(xiàn)

(1)指令欄輸入“垂線(xiàn)(B,平面(A,B,C))”,得到過(guò)點(diǎn)B且垂直于平面ABC的垂線(xiàn)f;

步驟四: 做輔助角

(1)指令欄輸入“sin(z(C)/距離(B,C))”,得到∠CBA的大小α(注: 輸入-1應(yīng)按住“Alt”鍵,然后輸入?1 即可);

(2)設(shè)置滑動(dòng)條角度β,右擊設(shè)定其屬性中取值范圍為0到α,增量為0.01;

步驟五: 構(gòu)造旋轉(zhuǎn)曲面

(1)指令欄輸入“旋轉(zhuǎn)(z軸,?β,g))”,表示z軸繞直線(xiàn)g旋轉(zhuǎn)?β角,改變旋轉(zhuǎn)后直線(xiàn)名稱(chēng)為k;

(2)指令欄輸入“曲面(曲線(xiàn)(mB+(1?m)D,m,0,1),(2π距離(A,B))/距離(B,k),k)”,得到側(cè)面展開(kāi)圖a.

步驟五: 美化和操作

(1)將曲面a的顏色設(shè)為紅色,樣式中線(xiàn)徑調(diào)為0;隱藏直線(xiàn)f,g,k;隱藏3D 坐標(biāo)系;將β的值調(diào)為0;

(2)移動(dòng)D點(diǎn)到C點(diǎn)的位置,拖動(dòng)β,實(shí)現(xiàn)圓錐的側(cè)面展開(kāi);移動(dòng)D點(diǎn)在BC之間,拖動(dòng)β,實(shí)現(xiàn)圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi).

4.3 圓柱圓錐圓臺(tái)的聯(lián)系

步驟一: 設(shè)置基本量

利用滑動(dòng)條功能依次設(shè)置數(shù)值a(控制上底面圓的半徑,取值范圍最小值改為0),數(shù)值b(控制下底面圓的半徑,取值范圍最小值改為a),數(shù)值h(控制高,取值范圍最小值改為0),角度α(控制旋轉(zhuǎn)程度的大小);

步驟二: 構(gòu)造幾何體的底面和側(cè)面

(1) 構(gòu)造側(cè)面: 指令欄輸入“曲面((a+ (b ?a)(h ?t)/h)cosθ,(a+(b ?a)(h ?t)/h)sinθ,t,t,0,h,θ,0,α)”,得到曲面c,設(shè)置其屬性,樣式中線(xiàn)徑調(diào)為0;

(2)構(gòu)造上底面: 指令欄輸入“曲面(r?cosθ,r?sinθ,h,r,0,a,θ,0,α)”,得到曲面d,設(shè)置其屬性,樣式中線(xiàn)徑調(diào)為0;

(3)構(gòu)造下底面: 指令欄輸入“曲面(r?cos(θ),r?sin(θ),0,r,0,b,θ,0,α)”,得到曲面e,設(shè)置其屬性,樣式中線(xiàn)徑調(diào)為0;

步驟三: 美化和操作

(1)隱藏3D 空間坐標(biāo)系;

(2)若a的值為0,b不為0,則移動(dòng)α,生成圓錐;若b和a的值相等且都不為0,則移動(dòng)α,生成圓柱;若b和a的值不等且都不為0,則移動(dòng)α,生成圓臺(tái).