>>>李 翠

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重點內(nèi)容，是考查考生邏輯推理和數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng)的重要載體。課程標(biāo)準(zhǔn)要求學(xué)生“探索并掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式與前n 項和的公式，能在具體問題情境中發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系或等比關(guān)系，并能用有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題”?？v觀這幾年高考數(shù)列解答題，難度中等，大穩(wěn)定、小創(chuàng)新。本文以2021 年新高考全國Ⅰ卷數(shù)列解答題為例，分析考生存在的問題并提出備考建議。

一、原題再現(xiàn)

（1）記bn=a2n，寫出b1，b2，并求數(shù)列{bn}的通項公式；

（2）求{an}的前20項和.

分析：第一問通過求特殊的兩項b1，b2，再求數(shù)列{bn}的通項公式，降低了試題的難度，也體現(xiàn)出數(shù)列中從特殊到一般的推理方法；第二問，根據(jù)數(shù)列的特點進行分組求和，或者通過遞推關(guān)系將奇數(shù)項轉(zhuǎn)化為偶數(shù)項再求和。

解析：（1）由題設(shè)可得b1=a2=a1+1=2，b2=a4=a3+1=a2+2+1=5.

又a2k+2=a2k+1+1，a2k+1=a2k+2（k ∈N*）.

故a2k+2=a2k+3，即bn+1=bn+3，即bn+1-bn=3.

所以{bn}是首項為2，公差為3 的等差數(shù)列，故bn=2+（n-1）×3=3n-1.

（2）方法一：設(shè){an}的前20 項和為S20，則S20=a1+a2+a3+…+a20，

因為a1=a2-1，a3=a4-1，…，a19=a20-1，

所以S20=2（a2+a4+…+a18+a20）-10

方法二：由（1）知數(shù)列{an} 的奇數(shù)項與偶數(shù)項都是以3 為公差的等差數(shù)列.

設(shè)數(shù)列{an}的前20 項和為S20，則

二、考生存在的問題

從考生答題的情況看并不理想，仍然存在較大的問題，主要表現(xiàn)在以下幾個方面。

1.對定義理解不準(zhǔn)確

注重性質(zhì)解題，不注重基本量運算，眼高手低。

2.解題過程不規(guī)范，缺少必要的計算步驟和轉(zhuǎn)化依據(jù)

3.邏輯推理的素養(yǎng)有待提升

不清楚求通項的關(guān)鍵在于通過遞推關(guān)系尋找數(shù)列的特征、判斷數(shù)列的類型，從而求出通項。

4.計算能力不高

三、備考建議

1.強化對數(shù)列定義、基礎(chǔ)知識和基本方法的練習(xí)與鞏固，用好教材。

2.熟練掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式和前n 項和公式，適當(dāng)加強通過遞推關(guān)系式和列舉法觀察規(guī)律的題目的訓(xùn)練。

3.加強新定義數(shù)列問題的研究，總結(jié)利用歸納猜想進一步求數(shù)列通項的解題規(guī)律。

4. 熟練掌握“累加法”“累乘法”“構(gòu)造法”求數(shù)列的通項，“倒序相加法”“ 錯位相減法”“ 裂項相消法”求數(shù)列前n 項和的解題方法，掌握利用遞推關(guān)系求數(shù)列通項的題目特征及相應(yīng)的求解方法。

5.數(shù)列解答題是容易得分的大題，主要考查數(shù)列的基本概念、基本量運算、基本方法的運用以及簡單不等式的放縮等，建議在備考中加強常規(guī)方法的訓(xùn)練。