郭志巍 郭寒貝 王婷

1) (西北工業(yè)大學(xué)航海學(xué)院,西安 710072)

2) (武漢第二船舶設(shè)計(jì)研究院,武漢 430064)

3) (華中科技大學(xué)船舶與海洋工程學(xué)院,武漢 430074)

以側(cè)向局域共振超構(gòu)板為研究對(duì)象,基于布洛赫定理及彎曲波傳播理論,建立了側(cè)向局域共振超構(gòu)板的振動(dòng)響應(yīng)、聲輻射功率及輻射效率理論計(jì)算模型,同時(shí)建立了側(cè)向局域共振超構(gòu)板的有限元模型以驗(yàn)證理論模型的有效性.進(jìn)一步開展了有/無(wú)周期附加側(cè)向局域共振結(jié)構(gòu)超構(gòu)板的模態(tài)分析,探索了側(cè)向局域共振超構(gòu)板輻射聲功率及輻射效率隨頻率變化的關(guān)系.結(jié)果表明,側(cè)向局域共振超構(gòu)板在兩條特定頻段(帶隙)內(nèi)的板面均方振速及輻射聲功率遠(yuǎn)低于均勻平板,而輻射效率卻高于均勻平板.本研究可為推進(jìn)側(cè)向局域共振超構(gòu)板在減振降噪領(lǐng)域的工程應(yīng)用奠定理論基礎(chǔ).

1 引言

振動(dòng)與聲廣泛存在于自然界中.絕大多數(shù)振動(dòng)與噪聲是有害的.例如,飛機(jī)起飛及降落時(shí)的振動(dòng)使得機(jī)身發(fā)生劇烈顫抖,加之噪聲使得舒適性降低;工廠中設(shè)備運(yùn)轉(zhuǎn)產(chǎn)生的振動(dòng)使得設(shè)備精度降低,噪聲還會(huì)干擾附近居民的生活與工人的高效工作等.高頻噪聲由于波長(zhǎng)短易于衰減,而低頻波波長(zhǎng)較長(zhǎng),易于發(fā)生衍射,從而可以遠(yuǎn)距離傳播,這對(duì)于水下航行器的隱蔽性而言極為不利.因此,低頻振動(dòng)和噪聲抑制已經(jīng)成為實(shí)際工程中亟待解決的一項(xiàng)難題[1].

傳統(tǒng)減振降噪手段因集中載荷大、抑振頻段高等缺點(diǎn)在工程領(lǐng)域應(yīng)用中有一定局限性.通過(guò)人工構(gòu)建結(jié)構(gòu)形式并將其周期排布形成的周期結(jié)構(gòu)在特定頻段控制彈性波傳播的特性吸引了眾多研究者的目光[2].由于結(jié)構(gòu)形式或材料周期變化的周期結(jié)構(gòu)對(duì)彈性波產(chǎn)生散射作用,可形成Bragg 散射帶隙;結(jié)構(gòu)內(nèi)部具有局域共振現(xiàn)象的周期結(jié)構(gòu)可形成局域共振帶隙[3,4].兩種機(jī)理形成的帶隙均能夠有效抑制彈性波的傳播.而局域共振型周期結(jié)構(gòu)通過(guò)均質(zhì)化等效,其等效參數(shù)在特定頻段呈現(xiàn)負(fù)值,從而被稱作聲學(xué)超材料[5].2000 年,武漢大學(xué)Liu 等[6]應(yīng)用局域共振型聲子晶體結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)聲學(xué)超材料的等效負(fù)質(zhì)量密度,把普通的聲子晶體帶隙頻率降低了兩個(gè)數(shù)量級(jí),突破了Bragg 帶隙與結(jié)構(gòu)特征長(zhǎng)度匹配的限制,實(shí)現(xiàn)了小尺寸控制大波長(zhǎng)的目的.2006 年,美國(guó)伊利諾伊大學(xué)香檳分校的Fang 等[7]利用亥姆赫茲共鳴器一維陣列,實(shí)現(xiàn)了負(fù)等效模量.2010 年,“雙負(fù)”聲學(xué)超材料才首次被延世大學(xué)的Lee 等[8]通過(guò)實(shí)驗(yàn)成功驗(yàn)證.

聲學(xué)超構(gòu)材料突破了傳統(tǒng)材料的束縛,極大地拓展了自然界中現(xiàn)有材料的聲學(xué)屬性,為調(diào)控彈性波帶來(lái)了全新的視角[9].將局域共振結(jié)構(gòu)與工程中常用的經(jīng)典梁、板結(jié)構(gòu)結(jié)合可構(gòu)成具有特殊聲學(xué)性能的超構(gòu)梁、板.聲學(xué)超構(gòu)板結(jié)構(gòu)相較于超構(gòu)梁結(jié)構(gòu)從一維轉(zhuǎn)換至二維,其運(yùn)動(dòng)方程的改變導(dǎo)致相關(guān)計(jì)算更加復(fù)雜.而平板結(jié)構(gòu)在工程實(shí)際中大量應(yīng)用,因此聲學(xué)超構(gòu)板的振動(dòng)與聲輻射特性具有非常重要的研究意義及工程價(jià)值.國(guó)防科技大學(xué)溫熙森教授課題組[10,11],設(shè)計(jì)了一種局域共振超構(gòu)板,該超構(gòu)板由周期排布的彈簧振子和均質(zhì)板結(jié)構(gòu)組成,利用平面波展開法計(jì)算了超構(gòu)板的帶隙及振動(dòng)特性,獲得了帶隙內(nèi)彎曲波傳遞被有效抑制的特性,同時(shí)該超構(gòu)板能夠在特定頻段內(nèi)實(shí)現(xiàn)高效隔聲.美國(guó)普渡大學(xué)Sun 教授課題組[12]提出了一種基于微結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的聲學(xué)超構(gòu)板,理論和試驗(yàn)研究表明該超構(gòu)板的等效質(zhì)量密度具有強(qiáng)各向異性.西安交通大學(xué)吳九匯教授課題組[13]提出了一種輕質(zhì)局域共振超構(gòu)板,其隔聲量在多個(gè)頻段高于普通平板.科羅拉多大學(xué)的Pai 課題組[14-16]設(shè)計(jì)了周期附加多級(jí)彈簧振子的超構(gòu)板,總結(jié)出超構(gòu)板抑振機(jī)理為振子慣性力與主結(jié)構(gòu)剪力之間相互抵消,為超構(gòu)板抑制低頻彈性波的優(yōu)化設(shè)計(jì)提供了明確的思路.西北工業(yè)大學(xué)盛美萍教授課題組[17,18]提出側(cè)向局域共振超構(gòu)板及夾芯聲學(xué)超構(gòu)板,利用理論推導(dǎo)與數(shù)值仿真結(jié)合的方法研究了帶隙內(nèi)結(jié)構(gòu)振動(dòng)及輻射聲功率被有效抑制的特性.

目前對(duì)于聲學(xué)超構(gòu)板的研究主要集中在結(jié)構(gòu)振動(dòng)、隔聲、吸聲等方面,對(duì)于聲學(xué)超構(gòu)板的聲輻射特性的文獻(xiàn)卻比較少見[19,20],而聲學(xué)超構(gòu)板的聲輻射特性研究對(duì)于工程結(jié)構(gòu)的隱蔽性有著非常重要的意義.由于側(cè)向局域共振結(jié)構(gòu)的特殊構(gòu)造形式,因此可以利用較小的空間產(chǎn)生多條帶隙,且多條帶隙的位置可以通過(guò)四桿機(jī)構(gòu)的幾何參數(shù)靈活調(diào)控.同時(shí),側(cè)向局域共振超構(gòu)板的振動(dòng)及聲輻射相比于平板結(jié)構(gòu)在帶隙內(nèi)遠(yuǎn)低于帶隙外水平,有助于結(jié)構(gòu)振動(dòng)與噪聲控制工程應(yīng)用.本文將進(jìn)一步延續(xù)前期側(cè)向局域共振超構(gòu)板振動(dòng)特性的工作[18],采用模態(tài)疊加法及瑞利積分方法計(jì)算有限大側(cè)向局域共振超構(gòu)板的振動(dòng)及聲輻射,并使用有限元仿真模型進(jìn)行驗(yàn)證,以揭示側(cè)向局域共振超構(gòu)板的聲輻射特性及規(guī)律,為工程實(shí)際結(jié)構(gòu)中的噪聲控制提供技術(shù)支撐.

2 建模與方法

圖1 所示為處于空氣介質(zhì)中的側(cè)向局域共振超構(gòu)板,由于空氣阻抗與平板阻抗相差較大,因此可忽略空氣負(fù)載對(duì)平板振動(dòng)的影響.對(duì)于周期附加側(cè)向局域共振結(jié)構(gòu),其垂向彈簧振子質(zhì)量與剛度分別為m1和k1,側(cè)向彈簧振子質(zhì)量與剛度分別為m2和k2,四桿機(jī)構(gòu)的垂向與水平距離比為L(zhǎng)/D.對(duì)于平板結(jié)構(gòu),其密度為ρ,厚度為h,楊氏模量為E,泊松比為ν.因此,周期附加側(cè)向局域共振結(jié)構(gòu)的四邊簡(jiǎn)支平板振動(dòng)控制方程在頻域可寫為

圖1 浸潤(rùn)于空氣中的側(cè)向局域共振超構(gòu)板 (a) 受外力激勵(lì)的側(cè)向局域共振超構(gòu)板鳥瞰圖;(b) 側(cè)向局域共振超構(gòu)板正視圖Fig.1.Acoustic metamaterial plate with periodic local resonators submerged in air:(a) Perspective view of the acoustic metamaterial plate with external force applied;(b) front view of a single unit cell of the acoustic metamaterial plate.

式中,ω為角頻率,s和t分別代表x和y方向側(cè)向振子的個(gè)數(shù),為抗彎剛度,F為作用于平板上的垂向集中力,而

為周期附加側(cè)向局域共振結(jié)構(gòu)對(duì)平板結(jié)構(gòu)的作用力.

因此,簡(jiǎn)支平板振動(dòng)位移可表示為

式中,κm=mπ/a,κn=nπ/b分別表示沿x和y方向的波數(shù).

對(duì)于由狄拉克函數(shù)所表示的點(diǎn)力可分解為

式中,Fmn為模態(tài)作用力.由三角函數(shù)的正交性可知

利用同樣的方法對(duì)側(cè)向局域共振結(jié)構(gòu)與平板之間耦合作用力進(jìn)行變換得

將(5)式、(6)式和(9)式代入(1)—(3)式中,同時(shí)利用三角函數(shù)正交性可得

將(11)—(13)式整理成矩陣形式

式中,K為剛度矩陣,M為質(zhì)量矩陣,F為外力向量.它們的具體表達(dá)式為

求解(14)式可獲得外部激勵(lì)力F作用下側(cè)向局域共振超構(gòu)板在簡(jiǎn)支作用下的位移系數(shù),將其代入(5)式可獲得相應(yīng)的振動(dòng)位移.因此,對(duì)該平板振動(dòng)位移進(jìn)行求導(dǎo)可獲得相應(yīng)的速度響應(yīng)為

式中,*代表復(fù)數(shù)共軛.在一遠(yuǎn)場(chǎng)觀測(cè)點(diǎn)S,該點(diǎn)相對(duì)于坐標(biāo)系原點(diǎn)位置為 (r,θ,φ),其中r為坐標(biāo)原點(diǎn)距觀測(cè)點(diǎn)距離,θ為觀測(cè)俯仰角,φ為觀測(cè)方位角.利用瑞利積分可得該觀測(cè)點(diǎn)處由側(cè)向局域共振超構(gòu)板輻射的聲壓為

將(22)式代入(24)式可得

式中,

因此,該側(cè)向局域共振超構(gòu)板的輻射聲功率可通過(guò)在遠(yuǎn)場(chǎng)某一球面對(duì)(25)式進(jìn)行積分獲得.

由此可得輻射效率為

3 結(jié)果與討論

針對(duì)本文所提出的計(jì)算側(cè)向局域共振超構(gòu)板的振動(dòng)及聲輻射計(jì)算方法,首先采用有限元方法對(duì)該方法有效性進(jìn)行驗(yàn)證.建立側(cè)向局域共振超構(gòu)板有限元模型,使用SHELL181 單元建立平板單元,MASS21 單元建立垂直方向質(zhì)量及側(cè)向質(zhì)量,COMBIN40 單元建立垂直及側(cè)向彈簧單元,BEAM188單元建立四桿機(jī)構(gòu).設(shè)置垂直方向質(zhì)量及彈簧沿垂直平板方向振動(dòng),設(shè)置側(cè)向質(zhì)量及彈簧沿平行平板方向振動(dòng),同時(shí)設(shè)置彈簧阻尼參數(shù).側(cè)向局域共振超構(gòu)板計(jì)算參數(shù)見表1.在x=0.1 m,y=0.1 m 處施加一簡(jiǎn)諧力,并提取x=0.4 m,y=0.3 m 處的振動(dòng)加速度,采用參考加速度aref=1×10-6m/s2計(jì)算該平板的振動(dòng)加速度級(jí),相應(yīng)的理論分析及仿真分析結(jié)果如圖2 所示.

表1 側(cè)向局域共振超構(gòu)板模型計(jì)算參數(shù)Table 1.Parameters for the metamaterial plate with periodic lateral local resonators.

由圖2 可見,理論方法及有限元方法計(jì)算的側(cè)向局域共振超構(gòu)板振動(dòng)加速度級(jí)結(jié)果曲線吻合,一致性較好,驗(yàn)證了本文計(jì)算方法的有效性.分析該加速度級(jí)曲線可知,在207—234 Hz 及270—329 Hz兩個(gè)頻段,側(cè)向局域共振超構(gòu)板的振動(dòng)加速度遠(yuǎn)低于其他頻段,這表明側(cè)向局域共振超構(gòu)板可在特定頻段有效抑制彎曲波的傳播.參照文獻(xiàn)[18]可知,這兩個(gè)頻段被稱作帶隙,帶隙所處頻段無(wú)相應(yīng)的實(shí)數(shù)波數(shù),彈性波以指數(shù)形式快速衰減.彈性波衰減的物理機(jī)理主要是由于附加側(cè)向局域共振結(jié)構(gòu)共振所產(chǎn)生的慣性力與彎曲波在平板內(nèi)引起的剪力相平衡,從而將彈性波能量暫時(shí)存儲(chǔ)在側(cè)向局域共振結(jié)構(gòu)之中.若側(cè)向局域共振結(jié)構(gòu)附帶阻尼特性,則部分彈性波能量將被阻尼所耗散.

圖2 側(cè)向局域共振超構(gòu)板振動(dòng)加速度級(jí)的理論方法與有限元法結(jié)果對(duì)比Fig.2.Comparison of the theoretical and simulative results of the acceleration level for the metamaterial plate.

為明確側(cè)向局域共振超構(gòu)板的抑振機(jī)理,本文計(jì)算了平板振動(dòng)模態(tài)頻率及側(cè)向局域共振超構(gòu)板模態(tài)頻率,見表2 和表3.

計(jì)算可得,在500 Hz 以下頻段,無(wú)周期附加側(cè)向局域共振結(jié)構(gòu)模態(tài)僅7 階,如表2 所列,而側(cè)向局域共振超構(gòu)板則有267 階模態(tài),如表3 所列,其中207.1—207.9 Hz 有5 階模態(tài),208.1—208.9 Hz有119 階模態(tài),271.0—271.1 Hz 有121 階模態(tài).對(duì)比表2 中平板模態(tài)頻率可知,周期附加側(cè)向局域共振結(jié)構(gòu)以后,原平板結(jié)構(gòu)模態(tài)改變.低頻模態(tài)向更低頻移動(dòng),這主要是由于周期側(cè)向局域共振結(jié)構(gòu)所帶來(lái)的附加質(zhì)量效應(yīng).其他頻段的頻率改變主要是周期側(cè)向局域共振結(jié)構(gòu)振動(dòng)改變了原平板的能量分布,使得結(jié)構(gòu)自身固有屬性發(fā)生改變.

表2 平板模態(tài)頻率Table 2.Modal frequency of the bare plate.

表3 側(cè)向局域共振超構(gòu)板模態(tài)頻率Table 3.Modal frequency of the metamaterial plate.

結(jié)合圖2 中所示側(cè)向局域共振超構(gòu)板振動(dòng)響應(yīng)可知,第一帶隙以下頻段有五階模態(tài)分別對(duì)應(yīng)振動(dòng)響應(yīng)曲線的5 個(gè)峰值,而208.1—208.9 Hz 的119階模態(tài)及270.0—271.1 Hz 的121 階模態(tài)均為附加側(cè)向局域共振結(jié)構(gòu)的模態(tài),此時(shí),主結(jié)構(gòu)平板的振動(dòng)能量以彈簧的勢(shì)能及質(zhì)量的動(dòng)能的形式被暫時(shí)儲(chǔ)存在側(cè)向局域共振結(jié)構(gòu)中,從而使得主結(jié)構(gòu)平板的振動(dòng)響應(yīng)在兩帶隙內(nèi)較小,表現(xiàn)出彎曲波被抑制的現(xiàn)象.

為具體分析附加周期側(cè)向局域共振結(jié)構(gòu)對(duì)平板振動(dòng)特性的影響,選取了平板和側(cè)向局域共振超構(gòu)板四階代表性模態(tài),如圖3 和圖4 所示.

由圖3 和圖4 可見,平板的第1 階模態(tài)振型與側(cè)向局域共振超構(gòu)板的第1 階模態(tài)振型一致,平板的第4 階模態(tài)振型和側(cè)向局域共振超構(gòu)板的第134階模態(tài)振型一致.平板第1 階模態(tài)頻率為75.8 Hz,超構(gòu)板的第1 階模態(tài)頻率為70.8 Hz,平板第4 階模態(tài)頻率為303.4 Hz,超構(gòu)板的第134 階模態(tài)頻率為259.3 Hz.通過(guò)對(duì)比兩種板結(jié)構(gòu)的兩階模態(tài)頻率及模態(tài)振型可以發(fā)現(xiàn),附加側(cè)向局域共振結(jié)構(gòu)后,平板模態(tài)頻率向低頻移動(dòng),同時(shí)由于側(cè)向局域共振結(jié)構(gòu)周期排布,因此,側(cè)向局域共振超構(gòu)板的振動(dòng)模態(tài)是由原平板的結(jié)構(gòu)的振動(dòng)模態(tài)之間穿插許多側(cè)向局域共振結(jié)構(gòu)共振頻率組成.平板結(jié)構(gòu)的第5 階模態(tài)振型(312.6 Hz)與側(cè)向局域共振超構(gòu)板的第265 階模態(tài)振型(336.9 Hz)相似,但振動(dòng)峰谷值不同,其具體振動(dòng)特性應(yīng)仔細(xì)結(jié)合所有振動(dòng)模態(tài)進(jìn)行詳細(xì)分析,以明確附加側(cè)向局域共振結(jié)構(gòu)后平板振動(dòng)模態(tài)的變化,揭示側(cè)向局域共振超構(gòu)板抑振機(jī)理.

圖3 平板第1,3,4,5 階模態(tài)Fig.3.Modal analysis of bare plate:the 1st,3rd,4th and 5th modes.

圖4 側(cè)向局域共振超構(gòu)板第1,20,134,265 階模態(tài)Fig.4.Modal analysis of the metamaterial plate:the 1st,20th,134th and 265th modes.

以下對(duì)側(cè)向局域共振超構(gòu)板輻射聲功率開展計(jì)算,以揭示結(jié)構(gòu)聲輻射特性及規(guī)律.采用表2 中結(jié)構(gòu)參數(shù)及材料參數(shù),以(28)式和(29)式計(jì)算平板和側(cè)向局域共振超構(gòu)板的振動(dòng)輻射聲功率及輻射效率,結(jié)果見圖5 和圖6.

圖5 中MSV 表示板面均方振速,SRP 表示輻射聲功率.對(duì)比平板,側(cè)向局域共振超構(gòu)板的板面平均振速在帶隙內(nèi)遠(yuǎn)低于平板的板面振速,這主要是由于側(cè)向局域共振超構(gòu)板在帶隙內(nèi)的抑振特性所導(dǎo)致.進(jìn)一步,側(cè)向局域共振超構(gòu)板的振動(dòng)輻射聲功率在帶隙內(nèi)也遠(yuǎn)低于平板.圖6 所示為平板與側(cè)向局域共振超構(gòu)板的輻射效率對(duì)比.結(jié)果表明在0—Hz 之間,平板與側(cè)向局域共振超構(gòu)板輻射效率相同,70—200 Hz 側(cè)向局域共振超構(gòu)板輻射效率低于平板,兩帶隙內(nèi)側(cè)向局域共振超構(gòu)板的輻射效率遠(yuǎn)高于平板,帶隙以上頻段,兩種曲線取值相當(dāng).由(29)式可知,輻射效率由遠(yuǎn)處輻射聲能量除以板面振動(dòng)能量計(jì)算而來(lái),表示結(jié)構(gòu)向周圍輻射聲能量的能力.結(jié)合圖5 和圖6 所示結(jié)果可知,帶隙內(nèi)側(cè)向局域共振超構(gòu)板振動(dòng)能量顯著降低,即使其輻射效率增大,其計(jì)算所得輻射聲功率仍然遠(yuǎn)低于帶隙外,即帶隙內(nèi)超構(gòu)板振動(dòng)模態(tài)輻射聲能力強(qiáng),但超構(gòu)板振動(dòng)能量低,導(dǎo)致超構(gòu)板輻射聲能量低.

圖5 平板與側(cè)向局域共振超構(gòu)板的(a)表面振速(MSV)與(b)輻射聲功率(SRP)對(duì)比Fig.5.Comparison of (a) mean square velocity and (b) sound radiation power between the bare plate and the metamaterial plate.

圖6 平板與側(cè)向局域共振超構(gòu)板的輻射效率對(duì)比Fig.6.Comparison of radiation efficiency between the bare plate and the metamaterial plate.

4 結(jié)論

本文采用理論分析方法及有限元法對(duì)側(cè)向局域共振超構(gòu)板的振動(dòng)響應(yīng)進(jìn)行了分析,同時(shí)推導(dǎo)了聲輻射功率及輻射效率的計(jì)算表達(dá)式.基于模態(tài)疊加法及布洛赫定理,獲得側(cè)向局域共振超構(gòu)板的加速度級(jí)及聲輻射特性.有限元方法計(jì)算所得超構(gòu)板加速度級(jí)與理論計(jì)算結(jié)果吻合,驗(yàn)證了本文所采用的理論方法的正確性.同時(shí),結(jié)合文獻(xiàn),側(cè)向局域共振超構(gòu)板能夠產(chǎn)生兩條帶隙,且?guī)秲?nèi)超構(gòu)板的板面均方速度及輻射聲功率均遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于均勻平板,這主要是由于附加局域共振結(jié)構(gòu)共振產(chǎn)生慣性力抵消了彎曲波在平板內(nèi)引起的剪力.而帶隙內(nèi),超構(gòu)板的輻射效率卻高于均勻平板,這說(shuō)明帶隙內(nèi)超構(gòu)板的振動(dòng)模態(tài)輻射聲能力強(qiáng),但輻射的能量低,結(jié)果導(dǎo)致帶隙內(nèi)超構(gòu)板的輻射聲功率較低.本文所做研究表明側(cè)向局域共振超構(gòu)板在特定頻段能夠有效抑制振動(dòng)能量的傳播及聲能量的輻射.