李 偉，喻 宏

(1.哈爾濱工程大學(xué)核科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001；2.中國(guó)原子能科學(xué)研究院，北京 102413)

1 引言

目前，先進(jìn)反應(yīng)堆設(shè)計(jì)與先進(jìn)燃料設(shè)計(jì)對(duì)中子輸運(yùn)方程的求解提出了更高的要求。特征線方法(MOC：Method of Characteristics)由于其較強(qiáng)的復(fù)雜幾何適應(yīng)能力和較高的計(jì)算精度，成為中子輸運(yùn)方程的主要求解方法。然而MOC方法計(jì)算耗時(shí)巨大，難以適應(yīng)實(shí)際工程需求，因此必需采用加速算法提高其求解效率。

粗網(wǎng)有限差分法(CMFD：Coarse Mesh Finite Difference)由于其顯著的加速效果，目前廣泛應(yīng)用于中子輸運(yùn)方程的MOC方法的加速求解中[1-2]。但J.Y.CHO和Akio Yamamoto等人的研究表明，CMFD用于高散射比、粗網(wǎng)尺寸較大的問(wèn)題的加速計(jì)算時(shí)，可能存在穩(wěn)定性問(wèn)題[3-5]。同時(shí)，目前常用的CMFD加速算法僅能夠保證界面凈中子流守恒，而無(wú)法保證偏中子流守恒[5]。最后，CMFD中凈中子流的差分格式基于傳統(tǒng)的有限差分離散，導(dǎo)致CMFD的應(yīng)用受到較嚴(yán)格的幾何限制。

由Akio Yamamoto等人提出的廣義粗網(wǎng)再平衡加速算法(GCMR：Generalized Coarse Mesh Rebalance)具有良好的收斂性和幾何適應(yīng)能力[5]。為此，本文考慮將GCMR加速算法用于中子輸運(yùn)方程的MOC加速求解，對(duì)GCMR的加速效果進(jìn)行研究并與CMFD加速效果進(jìn)行對(duì)比。

2 中子輸運(yùn)方程的MOC求解與偏中子流計(jì)算

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圖1 特征線示意圖

Ψg，i，k=Ψg，i，k(0)exp(-Σt，gsi，k)+

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3 GCMR加速求解過(guò)程

3.1 GCMR加速算法

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將方程(13)其代入中子平衡方程可得基于GCMR方法的粗網(wǎng)差分方程

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方程(15)可采用迭代法求解，從而得到每個(gè)網(wǎng)格的平均中子平均通量。

3.2 迭代求解流程

利用GCMR方法加速M(fèi)OC求解中子輸運(yùn)方程的迭代過(guò)程如圖2所示。其中第n步迭代求解過(guò)程與涉及的公式說(shuō)明如下

圖2 GCMR加速算法的迭代過(guò)程

如果迭代過(guò)程收斂，則停止迭代過(guò)程；如果不收斂，則重復(fù)⑴～⑸的求解過(guò)程，直至問(wèn)題收斂為止。

4 GCMR算法的驗(yàn)證

為了對(duì)GCMR的計(jì)算精度與加速效果進(jìn)行研究，在DRAGON程序的基礎(chǔ)上進(jìn)行了二次開(kāi)發(fā)，加入了二維MOC的加速模塊。同時(shí)結(jié)合C5G7-2D基準(zhǔn)題進(jìn)行了驗(yàn)證。該基準(zhǔn)題由OECD/NEA發(fā)布，用于檢驗(yàn)確定論計(jì)算方法對(duì)非均勻堆芯的pin-by-pin計(jì)算能力[7]。該基準(zhǔn)題堆芯由4個(gè)燃料組件構(gòu)成，每個(gè)燃料組件為17×17的燃料棒排列方式。燃料棒材料成分包括UO2燃料和MOX燃料。堆芯具體布置如圖3所示[8]。

圖3 C5G7-2D基準(zhǔn)題堆芯布置[8]

GCMR加速算法得到的堆芯歸一化的棒功率分布如圖4所示。表1列出了GCMR加速算法的外迭代求解次數(shù)、Keff值、棒功率相對(duì)誤差的最大值以及堆芯棒功率的均方差。這里均方差定義為

圖4 歸一化的棒功率分布

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式中，Pi，ref為第i個(gè)網(wǎng)格歸一化功率的參考值；Pi，cal為第i個(gè)網(wǎng)格歸一化功率的計(jì)算值；N為燃料棒數(shù)(不考慮圖3中的導(dǎo)向管與測(cè)量通道)。從表1可以看出，GCMR與CMFD具有相同的加速效果。但無(wú)論是采用GCMR加速算法、還是采用CMFD算法，外迭代求解次數(shù)相對(duì)無(wú)加速的情況都大大減少。

為了對(duì)比GCMR算法和CMFD算法的計(jì)算精度，表1分別給出了兩種計(jì)算方法的結(jié)果。圖5給出了GCMR算法和CMFD算法的棒功率相對(duì)誤差分布圖。從結(jié)果可以看出，無(wú)論是GCMR和CMFD算法，其給出的堆芯有效增殖系數(shù)Keff都與參考值相差不大，均控制在10-3以內(nèi)。但是GCMR和CMFD給出的堆芯邊邊緣處的棒功率相對(duì)誤差都比較大，這是因?yàn)樵诙研具吘壧帪榉瓷鋵樱洳牧铣煞謱?duì)中子的擴(kuò)散性質(zhì)與堆芯燃料差異較大，從而導(dǎo)致了較大的計(jì)算誤差。但是相對(duì)而言，GCMR的棒功率相對(duì)誤差比CMFD有所降低，這體現(xiàn)在圖5中、尤其是在邊緣燃料棒功率的相對(duì)誤差上。同時(shí)，表1中的最大棒功率誤差與均方差也體現(xiàn)了這一結(jié)論。

表1 GCMR與CMFD計(jì)算結(jié)果

圖5 棒功率的相對(duì)誤差分布

5 結(jié)論

本文將GCMR加速算法應(yīng)用于MOC求解中子輸運(yùn)方程的加速計(jì)算，基于偏中子流推導(dǎo)了加速算法的理論公式；對(duì)DRAGON程序進(jìn)行了二次開(kāi)發(fā)，編寫(xiě)了基于GCMR算法的堆芯加速求解程序。最后結(jié)合C5G7-2D基準(zhǔn)題對(duì)GCMR加速算法與程序進(jìn)行了驗(yàn)證，并與CMFD加速算法的結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比。

結(jié)果表明：GCMR加速算法能夠大大減少外迭代次數(shù)，具有較高的計(jì)算效率，計(jì)算得到的有效增殖系數(shù)Keff與棒功率分布具有較高的精度。同時(shí)結(jié)果表明，GCMR算法與CMFD算法的加速效果基本相同；但是在棒功率分布上，GCMR算法的結(jié)果要優(yōu)于CMFD算法的結(jié)果。