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        磁懸浮準滑模目標跟蹤控制器設(shè)計

        2021-11-19 08:17:46任鵬飛盧金燕
        計算機仿真 2021年10期
        關(guān)鍵詞:系統(tǒng)設(shè)計

        薛 鵬,任鵬飛,盧金燕

        (河南工程學(xué)院,河南 鄭州 451191)

        1 引言

        在非接觸支撐控制技術(shù)中,磁懸浮技術(shù)的理論研究推進較為迅速。磁懸浮衍生的產(chǎn)品技術(shù)又以交通和航天領(lǐng)域的應(yīng)用推進較快[1-3]。受到對象建模不確定和隨機干擾因素的影響,為磁懸浮系統(tǒng)設(shè)計對模型精度依賴程度低,抗干擾能力強的控制方案成為值得長期研究的方向。

        基于線性時不變模型,PID控制以其結(jié)構(gòu)簡單、參數(shù)整定方便的優(yōu)點常見于控制方案的設(shè)計[4,5],但存在穩(wěn)態(tài)精度低、抗干擾能力差的缺點[6]。采用變參數(shù)PID控制或非線性PID控制可增強系統(tǒng)剛度,提高其抵抗外力沖擊的能力[7]。為提高系統(tǒng)抗干擾能力和穩(wěn)定性,采用增加干擾觀測器的方式,以可控參數(shù)更多的分數(shù)階PID為基礎(chǔ)[8-10],并融合遺傳算法、粒子群算法等人工智能的復(fù)雜算法更多地被用于磁懸浮控制[11,12],以期待得到更好的控制效果。既有研究結(jié)論表明,對象建模的不確定性不利于系統(tǒng)有效控制方案的設(shè)計,有必要討論對精確模型依賴程度低的控制方案。

        滑??刂坡赏ㄟ^迫使狀態(tài)軌跡沿滑模曲面的切換線快速滑動到原點,具有響應(yīng)快、結(jié)構(gòu)簡單的特點[13-15]。又因滑模變結(jié)構(gòu)控制不完全依賴對象模型,本文通過滑模控制方案實現(xiàn)被控小球?qū)δ繕藨腋∥恢玫挠行Ц?。控制信號在滑模面的反?fù)切換使得系統(tǒng)具有天然的抖振現(xiàn)象,為了保證系統(tǒng)輸出的平滑性,在滑?;瑒与A段采用連續(xù)控制的方法達到削弱輸出抖振的目的。最后,通過PID、滑模SMC1和準滑模SMC2三種方案控制效果的對比驗證了所得方案的有效性。

        2 磁懸浮裝置動態(tài)模型分析

        磁懸浮裝置的工作原理如圖1所示。被懸浮小球通過電磁引力克服來克服重力,實現(xiàn)在目標位置的穩(wěn)定懸浮??梢孕∏虻牧W(xué)方程、線圈的電磁方程為基礎(chǔ)建立其動態(tài)數(shù)學(xué)模型。

        圖1 懸浮裝置原理分析

        忽略小球受到的不確定干擾力,則被控對象小球在此系統(tǒng)中只受電磁引力和自身重力的影響,其在豎直方向的動力學(xué)方程可描述為

        (1)

        式中,x為小球質(zhì)心與電磁鐵磁極之間的氣隙(以磁極面為零點),m為小球的質(zhì)量,重力加速度g=9.8m/s2。

        在圖1所示磁懸浮系統(tǒng)中,小球到電磁鐵磁極的氣隙為x,而磁阻主要集中在電磁鐵磁極和小球所組成的氣隙上。又因為鐵芯由鐵磁材料制成,其磁阻與氣隙磁阻相比很小,故,磁阻為

        (2)

        式中,l為鐵芯的導(dǎo)磁長度;μ0,μ為鐵芯的相對磁導(dǎo)率;A,A0為鐵芯導(dǎo)磁截面積。

        由磁路的基爾霍夫定律有

        Ni=φ(i,x)R(x)

        (3)

        (4)

        式中,N為電磁線圈繞線匝數(shù)。

        假設(shè)電磁鐵沒有工作在磁飽和狀態(tài)下,且每匝線圈中通過的磁通量都是相同的,則線圈的磁通鏈數(shù)為

        (5)

        又由畢奧-薩伐爾定律可知,在空間任意一點所產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度都與回路中的電流強度成正比,因此磁通量φ也與I成正比,即

        Nφ=Li

        (6)

        則瞬時電磁鐵繞組線圈電感為

        (7)

        磁場的能量

        (8)

        則小球受到的電磁引力為

        (9)

        可知,電磁引力與氣隙是非線性的反比關(guān)系,這也是磁懸浮系統(tǒng)不穩(wěn)定的根源所在。

        再分析電磁鐵中控制電壓和電流的模型,將電磁鐵線圈用一電阻和電感線圈串聯(lián)來代替。由電磁感應(yīng)定律及電路的基爾霍夫定律可知

        (10)

        當(dāng)小球處于平衡狀態(tài)時,其加速度為零,此時小球所受合力為零。小球受到向上的電磁引力與小球自身的重力相等,因此得系統(tǒng)平衡邊界條件

        mg+F(i0,x0)=0

        (11)

        至此,磁懸浮系統(tǒng)方程聯(lián)合描述為

        (12)

        在(12)式中,電磁系統(tǒng)中的電磁引力F和電磁鐵繞組中的瞬時電流i、氣隙x之間存在著較復(fù)雜的非線性關(guān)系??紤]系統(tǒng)懸浮目標范圍不大,對系統(tǒng)在目標位置處進行線性化處理。應(yīng)用泰勒級數(shù),并略去高階項,可得

        F(i,x)=F(i0,x0)+Fi(i0,x0)(i-i0)

        +Fx(i0,x0)(x-x0)

        (13)

        式中,F(xiàn)(i0,x0)是當(dāng)磁極與小球間的氣隙為x0,平衡電流為i0時電磁鐵對小球的電磁引力,該引力與小球的重力平衡,所以有

        F(i0,x0)=-mg

        (14)

        (15)

        (16)

        那么,系統(tǒng)方程(12)中的第一個等式可寫作

        (17)

        進行拉普拉斯變換,得

        (18)

        再由邊界條件(11),得

        (19)

        定義系統(tǒng)對象的輸入量為功率放大器的輸入電壓,也即控制電壓Uin,系統(tǒng)對象輸出量為懸浮位置所反映出來的輸出電壓,也即傳感器后處理電路輸出電壓Uout,則該系統(tǒng)控制對象的模型可描述為

        (20)

        式中,ka,ks為相應(yīng)控制電壓信號對應(yīng)的增益系數(shù)。

        以線圈電壓uin為輸入,小球懸浮位置y=x為系統(tǒng)輸出,可由(20)式得系統(tǒng)狀態(tài)表述模型為

        (21)

        以固高磁懸浮實驗裝置GML1001為參照對象,表1給出了試驗中所采用的磁懸浮系統(tǒng)的主要參數(shù)。那么,式(21)中,c=2502.96,a0=981.511。

        表1 懸浮系統(tǒng)主要參數(shù)列表

        3 控制器設(shè)計

        以(20)(21)式作為系統(tǒng)模型,進行磁懸浮控制器設(shè)計。

        3.1 PID控制器設(shè)計

        在文獻[15]中,給出了一種PID控制器的設(shè)計思路,這里引用作為控制效果比較對象。其控制參數(shù)Kp,Ki,Kd,設(shè)計過程簡述如下:

        (22)

        (23)

        (24)

        記跟蹤誤差e=r-y=r-cx1,控制律設(shè)計為

        (25)

        這種控制方案以欠阻尼閉環(huán)穩(wěn)定為設(shè)計目標。

        3.2 SMC控制器設(shè)計

        在系統(tǒng)方程(21)中,由輸出方程可得

        y=cx1

        (26)

        那么,懸浮位置跟蹤目標r為給定常數(shù),跟蹤動態(tài)誤差為

        e=r-y=r-cx1

        (27)

        由系統(tǒng)方程(21)中的狀態(tài)方程可得

        (28)

        誤差e決定控制系統(tǒng)的控制律。為使得系統(tǒng)完全漸近穩(wěn)定,對任意初始值e(t0),需要

        (29)

        設(shè)計磁懸浮系統(tǒng)滑模曲面為

        (30)

        那么,由(28)(29)式,可得

        (31)

        (32)

        (33)

        此時,系統(tǒng)漸近穩(wěn)定,誤差以1/λ為時間常數(shù)按指數(shù)律趨近于零。

        為了使得系統(tǒng)能夠快速到達滑模面,進入滑動階段,考慮擾動上界,采用控制律

        (34)

        式中,β≥e為不確定擾動的上界,當(dāng)懸浮目標位置為20mm時,可取β≥20a0=981.511×20。f(·)是滑動階段的切換函數(shù)。切換函數(shù)的限幅依賴控制電壓,其范圍限制在[-10+10]。

        由(31)和(34)得系統(tǒng)控制量為

        uin=ueq+Δup

        (35)

        式中,Δup是與擾動相關(guān)的補償控制量,有

        (36)

        對于(34)和(36)式中切換函數(shù)的選擇問題,在滑模控制的到達階段考慮快速性,在滑動階段考慮平穩(wěn)性。分別記

        (37)

        (38)

        記李雅普諾夫函數(shù)為

        (39)

        (40)

        這表明兩種滑??刂品桨妇墒沟盟O(shè)計系統(tǒng)的穩(wěn)定性是滿足的。仿真分析中進一步對控制系統(tǒng)的動態(tài)性能進行分析。

        4 仿真分析

        以表1中列寫數(shù)據(jù)為被控對象主要參數(shù),通過所設(shè)計的控制律實現(xiàn)懸浮小球在目標位置懸浮的仿真分析。如表中所示,小球平衡時球心到電磁鐵底面的距離為20mm,而小球半徑為12mm,因此,小球上切面到電磁鐵底面的距離為8mm。

        4.1 目標跟蹤分析

        圖2所示為三種控制方案的仿真結(jié)果。其中PID控制方案為文獻[18]中的方案,采用(34)和(35)式所得方案時,分別用SMC1和SMC2進行標識。在圖2結(jié)果中,PID方案的控制效果和參數(shù)調(diào)節(jié)直接相關(guān),僅實現(xiàn)了系統(tǒng)的欠阻尼穩(wěn)定輸出控制,仿真結(jié)果具有較大的超調(diào)量;SMC1方案采用符號函數(shù)設(shè)計等速趨近律,在系統(tǒng)進入滑動階段后存在明顯的抖振現(xiàn)象;采用飽和函數(shù)后,SMC2控制方案呈現(xiàn)平滑穩(wěn)定的控制效果。

        圖2 小球懸浮位置的階躍響應(yīng)

        表2對三種控制方案的目標跟蹤性能指標進行了對比,可見,SMC2方案在保證快速性的同時,實現(xiàn)了無超調(diào)平穩(wěn)跟蹤,并且在穩(wěn)態(tài)階段沒有明顯抖振現(xiàn)象。

        表2 目標跟蹤性能指標

        滑模控制方案SMC2的動態(tài)相函數(shù)在圖3中給出,可見:滑模控制在到達階段具有快速收斂特性,并在滑動階段非常平穩(wěn)。

        圖3 SMC2控制方案中的滑模曲面趨近

        4.2 抗擾能力分析

        進一步分析所得控制方案的抗干擾能力。在小球位置輸出的反饋環(huán)節(jié)加入幅值為給定信號2.5%的隨機干擾,分別采用三種控制方案得到小球懸浮位置輸出如圖4所示。與PID方案和SMC1方案相比,準滑??刂品桨窼MC2的優(yōu)勢在于速度快并且沒有超調(diào)。在外部干擾存在的情況下,t=1秒時跟蹤目標的變化導(dǎo)致SMC1方案出現(xiàn)較大的輸出波動。圖5給出了在1.2s-1.5s時三種控制方案的輸出比較,可見,切換控制SMC1出現(xiàn)明顯抖動,而方案SMC2仍然保持快速平穩(wěn)的控制效果。

        圖4 干擾影響下小球的懸浮位置輸出

        圖5 系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)振幅(1.2s-1.5s)

        方案SMC2對于外部干擾具有較強的魯棒性,其代價是需要更強的控制作用。圖6給出了圖4中三種控制方案所對應(yīng)的控制律,可見,方案SMC1的控制律在[-1,1],而方案PID的控制律在[-3,3],而SMC2方案對應(yīng)的控制律范圍為[-50,50],即便在穩(wěn)態(tài)階段,控制律也在[-15,15]范圍內(nèi)波動,明顯比另外兩種方案大得多。

        圖6 三種方案在干擾影響下的控制律

        5 結(jié)束語

        針對模型不確定性問題,本文采用滑模變結(jié)構(gòu)方法為單自由度磁懸浮小球的控制問題設(shè)計了準滑??刂品桨?,分析結(jié)果顯示:

        1)給出的PID、切換變結(jié)構(gòu)滑模SMC1和連續(xù)滑動結(jié)構(gòu)準滑模SMC2三種方案均實現(xiàn)了對目標位置的穩(wěn)定、快速跟蹤。

        2)采用連續(xù)滑動結(jié)構(gòu)的準滑??刂票惹纷枘酨ID控制具有更平穩(wěn)的過渡過程,比切換變結(jié)構(gòu)滑模控制具有更平滑的穩(wěn)態(tài)輸出。

        3)在滑動階段采用連續(xù)控制律的SMC2抖振較小,具有更強的抗干擾能力。

        材料技術(shù)的成熟和快速處理器的不斷出現(xiàn)為復(fù)雜算法的實時應(yīng)用提供了基礎(chǔ)。所得結(jié)論為后續(xù)研究及實證試驗測試提供了參考方案。

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