吳遠(yuǎn)麗，劉立勝，賴 欣，劉齊文

(武漢理工大學(xué)新材料力學(xué)理論與應(yīng)用湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北 武漢 430070)

1 引言

陶瓷/金屬復(fù)合結(jié)構(gòu)是陶瓷復(fù)合裝甲的典型結(jié)構(gòu)。該結(jié)構(gòu)在受到?jīng)_擊后的力學(xué)行為一般可分為8個(gè)階段：初始開坑階段、陶瓷裂紋擴(kuò)展階段、陶瓷錐形成階段、陶瓷錐運(yùn)動(dòng)消蝕階段、彈體沖擊金屬背板階段、定常侵徹階段、貫穿階段和完全貫穿階段。Wilkins[1]和江怡[2]的研究指出在復(fù)合結(jié)構(gòu)中，陶瓷面板會(huì)在與彈丸接觸處產(chǎn)生陶瓷錐，陶瓷錐在彈丸作用下向前運(yùn)動(dòng)，使得金屬背板受力范圍增大，減小了彈丸對(duì)背板的沖擊作用，金屬背板則起到了支撐陶瓷面板，避免了陶瓷板過早的破碎與飛濺，能更充分地耗散彈丸的動(dòng)能，從而起到有效的防護(hù)作用。由于陶瓷復(fù)合裝甲服役中面臨的都是高速?zèng)_擊載荷，在這些載荷的作用結(jié)構(gòu)的損傷和破壞過程難以觀察，在過去的很長一段時(shí)間里，陶瓷復(fù)合裝甲的設(shè)計(jì)常采用實(shí)驗(yàn)和經(jīng)驗(yàn)的方法來進(jìn)行設(shè)計(jì)。在上世紀(jì)90年代后，隨著計(jì)算機(jī)的高速發(fā)展，高速侵徹問題數(shù)值模擬理論和技術(shù)逐漸涌現(xiàn)出來，并被用于復(fù)合裝甲的設(shè)計(jì)中，取得了很好的效果[2-4]。

相比于實(shí)驗(yàn)，數(shù)值模擬技術(shù)可以有效再現(xiàn)侵徹的全過程，從而能夠更深入研究陶瓷/金屬復(fù)合靶板受到高速?zèng)_擊載荷過程的破壞機(jī)理。該方法操作簡便，避免了過多的簡化，結(jié)果簡單直觀，能定性定量的分析所需的結(jié)果，因此數(shù)值分析方法已成為研究復(fù)合裝甲侵徹問題的主要手段。目前用于侵徹仿真的數(shù)值模擬方法主要有：有限元法(FEM)、光滑粒子流體動(dòng)力學(xué)方法(SPH)與近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)方法(PD)。有限元法可有效的計(jì)算出侵徹過程中靶板吸收的能量等信息，Goh[5]利用有限元法對(duì)復(fù)合靶板的侵徹與破壞過程進(jìn)行仿真，得到通過提高背板硬度進(jìn)而可以改善靶板性能的結(jié)論。但是，目前有限元算法為了解決在侵徹過程中因彈體與靶板大變形引起的網(wǎng)格畸變問題[5]，引入了侵蝕算法刪除畸變單元，但是這種操作會(huì)給體系的質(zhì)量、能量和精度帶來損失，這些都會(huì)導(dǎo)致結(jié)果失真[6]。光滑粒子流體動(dòng)力學(xué)方法(SPH)與近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)方法(PD)都屬于無網(wǎng)格方法，這就避免了網(wǎng)格畸變問題。SPH方法利用核積分將一組離散粒子近似合并成一個(gè)連續(xù)場(chǎng)，然而這種處理方式可能會(huì)導(dǎo)致結(jié)果出現(xiàn)不穩(wěn)定性和不一致性[7]，而使用近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)理論可有效的避免這個(gè)問題。

Silling[8]于2000年提出了近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)理論，該理論通過考慮材料點(diǎn)的相互作用來描述材料的力學(xué)行為。近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)方法是一個(gè)以非局域積分公式為基礎(chǔ)的無網(wǎng)格法，其空間的離散化是通過材料的粒子(或點(diǎn))而達(dá)到的。由于其無網(wǎng)格的性質(zhì)以及非局域的性質(zhì)，近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)尤其適合模擬材料損傷，斷裂和碎裂。Ning Liu[9]采用基于鍵的近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)方法研究了帶有偏心缺口的梁的沖擊損傷，廣泛用于研究脆性材料中I-II混合裂紋的擴(kuò)展，證明了使用近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)研究脆性材料侵徹問題的有效性。Henke與Shanbhag[10]討論了基于態(tài)的近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)理論的網(wǎng)格敏感性對(duì)于單層板沖擊過程的影響，認(rèn)為近場(chǎng)作用范圍為4倍粒子間距時(shí)結(jié)果較為穩(wěn)定。近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)方法的計(jì)算具有強(qiáng)烈的網(wǎng)格依賴性，當(dāng)影響函數(shù)與近場(chǎng)作用范圍共同作用時(shí)對(duì)于結(jié)果的影響很大，故而討論近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)理論對(duì)于復(fù)合靶板沖擊過程的適用性問題非常有研究價(jià)值。

分析以上國內(nèi)外研究現(xiàn)狀可知，目前使用近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)方法計(jì)算沖擊問題的研究較少，特別是復(fù)合靶板的侵徹問題。本文利用基于態(tài)的近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)方法對(duì)彈體侵徹陶瓷/金屬復(fù)合結(jié)構(gòu)問題進(jìn)行計(jì)算，證明了其計(jì)算高速?zèng)_擊問題的有效性。討論了近場(chǎng)作用范圍及影響函數(shù)對(duì)于結(jié)果的影響，給出了計(jì)算高速?zèng)_擊復(fù)合靶板得到可信結(jié)果的最小近場(chǎng)作用范圍，及其適用的影響函數(shù)。

2 近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)的態(tài)理論

2.1 常規(guī)態(tài)理論

基于態(tài)的近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)理論較傳統(tǒng)的近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)理論有更多的本構(gòu)模型，不同于鍵理論只適用于脆性材料，態(tài)理論可以同時(shí)計(jì)算脆性、彈塑性、粘塑性等多種材料，故而適用于模擬復(fù)合靶板的沖擊問題。

態(tài)理論是用一個(gè)非局域的微分積分方法，通過考察組成物質(zhì)體的材料點(diǎn)間的相互作用而描述某一連續(xù)體的動(dòng)力學(xué)行為[11]。確定某一物質(zhì)體Β∈R3，材料點(diǎn)x位于該物質(zhì)體Β內(nèi)，近場(chǎng)作用范圍為以δ為半徑的球體Hx，則材料點(diǎn)在該近場(chǎng)作用范圍中與其它材料點(diǎn)相互作用，如圖1。則有參考位置矢量態(tài)

圖1 粒子間相互作用

(1)

其中x′為x的近場(chǎng)作用范圍中的某一點(diǎn)。

經(jīng)過時(shí)間t的運(yùn)動(dòng)過后，該材料點(diǎn)的位置矢量為:

y=x+u(x，t)

(2)

其中u為位移矢量。在變形后，當(dāng)前坐標(biāo)系下的成鍵可由變形態(tài)矢量表達(dá)為

(3)

在基于態(tài)的近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)理論中，其運(yùn)動(dòng)方程為

(4)

為了滿足動(dòng)量守恒定律，在物質(zhì)體B中，需滿足

(5)

由上式可看出，在近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)理論中，沒有求導(dǎo)項(xiàng)，也不要求位移一定連續(xù)，故而應(yīng)用于基本方程求解時(shí)，解決了有限單元法不適用于求解裂紋等問題的缺陷。

近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)中標(biāo)量擴(kuò)展態(tài)與加權(quán)體積的計(jì)算結(jié)合了本構(gòu)模型與標(biāo)量擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)e。態(tài)理論中的本構(gòu)方程與其息息相關(guān)。

標(biāo)量擴(kuò)展態(tài)為

(6)

加權(quán)體積為

(7)

膨脹

(8)

在介紹上述兩個(gè)方程時(shí)引入了一個(gè)新的態(tài)ω，表示影響函數(shù)，H為近場(chǎng)作用范圍?？煽闯觯绊懞瘮?shù)與近場(chǎng)作用范圍對(duì)于計(jì)算過程中各值的影響較大。此時(shí)加權(quán)體積和膨脹的定義引入了兩種狀態(tài)之間的點(diǎn)積。點(diǎn)積中的每一個(gè)態(tài)都是在一個(gè)點(diǎn)上定義的，與點(diǎn)積相關(guān)的積分是在這個(gè)點(diǎn)的鄰域上。因此點(diǎn)積會(huì)產(chǎn)生一個(gè)依賴于點(diǎn)的量(在這兩種情況下是標(biāo)量)。

偏擴(kuò)展態(tài)為

(9)

普通材料的矢量力狀態(tài)定義為

(10)

2.2 本構(gòu)模型

本文計(jì)算的靶板材料為氧化鋁陶瓷與高強(qiáng)度鋼，對(duì)應(yīng)的本構(gòu)分別為彈性本構(gòu)與彈塑性本構(gòu)。

2.2.1 彈性本構(gòu)

在近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)理論中彈性材料在能量平衡方面有與經(jīng)典理論中彈性材料相似的性質(zhì)，陶瓷是典型的彈脆性材料，故而使用該本構(gòu)能很好地模擬陶瓷在侵徹過程中的破壞問題。

若存在可微標(biāo)量函數(shù)W(·)：Β→R3，有

(11)

(12)

式(12)分別代表總動(dòng)能，總對(duì)外做功及總應(yīng)變能。并有

U(t)=K(t)+Φ(t)

(13)

對(duì)于彈性材料，標(biāo)量力態(tài)可表示為

(14)

其中k是體積模量，α是剪切模量的標(biāo)量倍，ω是影響方程。雖然上述關(guān)系分別與θ和ed呈線性關(guān)系，但仍與位移呈非線性關(guān)系。

2.2.2 彈塑性模型

對(duì)于彈塑性模型，該近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)模型遵循與率無關(guān)的J2塑性理論。適用于模擬金屬在受到?jīng)_擊后產(chǎn)生的大變形問題。在局部塑性理論(LTP)中，狀態(tài)變量是必需的，而在近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)中，該值是一個(gè)標(biāo)量的偏塑性變形狀態(tài)。由于LTP與近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)的彈塑性本構(gòu)模型有密切的相似性，許多用于積分LTP速率方程的邏輯被引入本構(gòu)模型。

近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)塑性本構(gòu)模型的一個(gè)關(guān)鍵組成部分是將標(biāo)量擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)分解為膨脹和偏曲部分，以及將偏曲狀態(tài)加性分解為彈性ede和塑性edp部分。雖然偏差擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)的本質(zhì)與局部理論有本質(zhì)上的不同，但從概念上講，這兩種分解都用于LTP。將式(9)中給出的總偏差擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)加和分解為彈塑性兩部分

ed=ede+edp

(15)

由于觀察到許多延性材料塑性變形與壓力無關(guān)，將式(14)中給出的各向同性彈性本構(gòu)模型用加法分解為

(16)

其中p=-kθ為近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)壓力，k是體積模量。上述方程的率形式為：

(17)

2.3 影響函數(shù)

本文主要采取三種影響函數(shù)以研究其對(duì)于結(jié)果的影響，分別為“一”型影響函數(shù)函數(shù)、拋物線衰變影響函數(shù)與高斯影響函數(shù)。

1)“一”型影響函數(shù)為最基礎(chǔ)的影響函數(shù)，其表達(dá)式為

(18)

2)拋物線衰變影響函數(shù)為

(19)

3)高斯影響函數(shù)為

(20)

2.4 損傷模型

近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)理論考慮兩材料點(diǎn)的相互作用，當(dāng)材料點(diǎn)x′處于材料點(diǎn)x的近場(chǎng)作用范圍中時(shí)其相互作用。經(jīng)過時(shí)間t后；兩材料點(diǎn)經(jīng)過一定的相對(duì)位移，點(diǎn)對(duì)的伸長率為s，當(dāng)s大于臨界伸長率sc時(shí)，兩材料點(diǎn)不再相互作用。使用μ(ξ，t)來表征材料點(diǎn)對(duì)的破壞情況，即

(21)

對(duì)于態(tài)理論中的三維問題[11]，臨界伸長率可表示為

(22)

其中G0c為材料的斷裂能，G為材料的剪切模量。

2.5 計(jì)算模型與參數(shù)選取

模型由三種不同材料組成，彈頭直徑為7.62mm，總重量9.6g，速度v=850m/s。陶瓷板材料為氧化鋁，尺寸為50mm*50mm*5mm，金屬背板使用的是4340鋼，長寬與陶瓷板尺寸相同，高H=8mm。

2.5.1 近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)理論計(jì)算參數(shù)選取

氧化鋁陶瓷使用彈性本構(gòu)模型，4340鋼使用彈塑性本構(gòu)模型。由于重點(diǎn)在于觀察靶板破壞情況，故而僅將損傷模型用于陶瓷面板與金屬背板，即僅陶瓷面板與金屬背板具有斷裂極限。

現(xiàn)建立模型，由彈頭、陶瓷板與金屬背板組成，如表1。

表1 PD理論的計(jì)算參數(shù)

模型粒子間距Δx=0.00025m，近場(chǎng)作用范圍δ=3.16Δx。其中密度與運(yùn)動(dòng)方程有關(guān)，彈性模量與泊松比是計(jì)算力態(tài)所用的一部分，計(jì)算臨界伸長率的斷裂能由斷裂韌性等得出，見下式

(23)

2.5.2 有限元計(jì)算參數(shù)選取

氧化鋁陶瓷材料選用JH-2模型，JH-2模型是可以模擬損傷的一種材料模型，如圖1損傷通過一個(gè)損傷量D來控制，D的范圍為0-1：當(dāng)D=0時(shí)，材料內(nèi)無損傷，即為完整材料，當(dāng)D=1時(shí)，即材料完全破壞。如圖1所示。4340金屬背板使用的是JC模型，該模型能夠很好地描述金屬材料在大變形下的動(dòng)態(tài)力學(xué)行為，因此在金屬材料沖擊爆炸問題的數(shù)值分析中得到了廣泛應(yīng)用。

圖2 含損傷的強(qiáng)度模型[13]

表2 Al2O3陶瓷材料JH-2模型參數(shù)[14]

表3 背板4030鋼JC模型參數(shù)[15]

3 結(jié)果與討論

3.1 對(duì)比驗(yàn)證

基于近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)態(tài)理論，現(xiàn)對(duì)于該復(fù)合靶板的沖擊問題進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證。

在沖擊陶瓷復(fù)合靶板的過程中，控制損傷演化的失效機(jī)制是復(fù)雜的，但可以用四種常見的失效模式來描述彈丸對(duì)陶瓷的沖擊，即晶格塑性、微裂紋、徑向裂紋和錐形裂紋。在準(zhǔn)靜態(tài)變形下，當(dāng)彈頭對(duì)純彈性脆性材料施加載荷時(shí)，會(huì)形成錐形裂紋，稱為赫茲錐，圓盤外的徑向應(yīng)力為拉伸應(yīng)力，圓周應(yīng)力為壓縮應(yīng)力。當(dāng)彈頭的壓縮載荷逐漸增大時(shí)，接觸圓半徑逐漸增大，直到接觸圓半徑達(dá)到一個(gè)臨界值，該臨界值與材料的斷裂韌性有關(guān)，形成一個(gè)臨界半徑的表面環(huán)裂紋。圖2為PD、有限元與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的對(duì)比，可以看到PD計(jì)算的結(jié)果比較好的吻合了實(shí)驗(yàn)結(jié)果，且較于有限元計(jì)算的結(jié)果更符合理論上的裂紋擴(kuò)展。

圖2 (a)為近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)計(jì)算結(jié)果；(b)為有限元程序計(jì)算結(jié)果；(c)為實(shí)驗(yàn)結(jié)果[16]

圖3 彈頭沖擊后的復(fù)合靶板剖面圖

陶瓷面板的主要破壞形式為陶瓷錐破壞，Woodward[17]通過實(shí)驗(yàn)測(cè)得當(dāng)靶板受侵徹速度在220-1000m/s時(shí)陶瓷錐角度θ 的變化范圍，并給出經(jīng)驗(yàn)公式

(24)

其中，θ的單位為角度。即可算出速度為850m/s時(shí)，陶瓷錐角應(yīng)為60.1度。使用近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)理論計(jì)算結(jié)果顯示陶瓷錐角為57.35度，如圖4。圖5給出了使用近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)計(jì)算的剩余速度與使用有限元程序計(jì)算的速度變化的對(duì)比，可以看到兩條速度曲線在下降時(shí)均出現(xiàn)拐點(diǎn)，此時(shí)彈頭穿過陶瓷板接觸到金屬背板繼續(xù)向下沖擊，使用PD計(jì)算的速度較有限元方法計(jì)算的速度下降趨勢(shì)緩略慢，但相差不大，證明了PD計(jì)算沖擊問題的有效性。

圖4 陶瓷錐角

圖5 PD與有限元計(jì)算彈頭的速度變化

3.2 不同近場(chǎng)作用范圍與影響函數(shù)計(jì)算結(jié)果對(duì)比

表4 陶瓷板正面損傷圖

表5 不同近場(chǎng)作用范圍下的影響函數(shù)

4 結(jié)論

本文使用近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)方法建立了陶瓷/金屬復(fù)合靶板受彈體侵徹的離散模型，模擬了陶瓷/金屬靶板的侵徹過程，并得出了以下結(jié)論：

1)通過模擬獲得了彈頭在侵徹過程中的速度隨時(shí)間的變化曲線、靶板的裂紋擴(kuò)展情況與粒子飛濺模式。并將PD仿真結(jié)果與實(shí)驗(yàn)及有限元結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比。對(duì)比結(jié)果表明，當(dāng)采用合適的本構(gòu)描述、影響函數(shù)和近場(chǎng)作用范圍時(shí)，近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)方法可以有效、準(zhǔn)確地模擬陶瓷/金屬復(fù)合結(jié)構(gòu)受彈體侵徹的問題。