周雯婷

“螺旋式上升”的課程設計和教材編排起源于“螺旋式課程”。“螺旋式課程”理論是美國著名教育學家、心理學家布魯納在20世紀60年代提出的，它是指根據(jù)某一學科知識的“概念結(jié)構”，實現(xiàn)促進學生們認知能力得到發(fā)展為目標的一種在課程上面的設計。螺旋式上升的基本假設是，任何一種教材都能夠用一種相對合理的方式來教給某一發(fā)展階段的學生。

在上海二期課改中，初中數(shù)學幾何教學內(nèi)容按“螺旋式上升”的方式編排，六年級為幾何直觀認識的階段；七年級為實驗幾何階段；八年級面臨著由實驗幾何到論證幾何的轉(zhuǎn)折；九年級真正進入幾何論證和幾何計算階段。教材的編排應服務于教學目標，而在我踏上教師崗位的最初幾年卻無從了解這兩者之間的緊密聯(lián)系，甚至懷疑教材有些內(nèi)容的編排是否過于碎片化，有些知識點在六、七年級淺嘗過，卻戛然而止，而到了八九年級又重拾這一部分的知識，這樣缺失連續(xù)性的教學模式，真的能提高學生的思維，鍛煉學生的能力嗎？

這個疑問雖然不至于影響我對教材的使用程度，但卻一直盤旋在我腦海中，直到我上了那一課，然后又遇見了那一題，我突然有種醍醐灌頂?shù)挠X悟，我感覺自己在那時才學會如何去“教”。

開端——那一課，結(jié)合特殊圖形與圖形的旋轉(zhuǎn)運動，我培養(yǎng)了學生的化歸思想

在七年級第一學期學生已經(jīng)學過圖形的三種基本運動：平移、翻折與旋轉(zhuǎn)的基礎下，滬教版七年級第二學期數(shù)學教材第114頁上有這樣一個例題：

如圖1，在等邊三角形ABC的邊BC上任取一點D，以CD為邊向外作等邊三角形CDE，聯(lián)結(jié)AD、BE，試說明BE=AD的理由。

我當時是這樣設計并實施教學的：

（一）以題改題，激起學生思維火花

學生根據(jù)演繹推理的指導方法，獲得了“通過證明兩個三角形全等從而證明全等三角形對應線段相等”的解題思路。

而后我提出問題：“剛才我們在三角形ABC的邊BC上任取一點D，這個點D還可能在三角形的什么位置？”

給予學生適當思考時間后，學生找到了點D的另外兩個位置：1.點D可能在三角形ABC內(nèi)部；2.點D可能在三角形ABC的外部。

接著，學生小組合作，把書本上的原始題目改為兩個變式題，如下所示：

如圖2，在等邊三角形ABC的內(nèi)部任取一點D，以CD為邊作等邊三角形CDE，聯(lián)結(jié)AD、BE，試說明BE=AD的理由。

如圖3，D是等邊三角形ABC外部一點，以CD為邊作等邊三角形CDE，聯(lián)結(jié)AD、BE，試說明BE=AD的理由。

（二）以題比題，培養(yǎng)學生歸納能力

讓學生改題，是為了讓學生經(jīng)歷自己編寫條件、結(jié)論和作圖過程了解題目的條件與結(jié)論之間的聯(lián)系。接著我提問：“剛才三道題目，有哪些相同點和不同點？”

經(jīng)過小組充分的討論，學生得到了初步的結(jié)論，整理如下：

相同點：

1.三個題目都是在兩個等邊三角形的背景下；

2.都是證明線段相等；

3.都能利用全等三角形證明，而且都是證明△ACD≌△DCE；

4.都用了S.A.S的判定定理；

5.證明全等時三個條件完全一樣：AC=BC、∠ACD=∠BCE、DC

=EC。

不同點：

1.三道題目中D的位置不同，從而圖形不一樣；

2.雖然書寫過程都是∠ACD=∠BCE，但是三道題目中這個條件的證明方法有所不同。

經(jīng)過討論，學生更深層次的觀察到三道題目的表象，當然數(shù)學問題的研究要從表象深入到本質(zhì)，所以我又提問：“這些相同點或不同點產(chǎn)生的原因是什么？”經(jīng)過引導和啟發(fā)，學生發(fā)現(xiàn)可以把這三個題目的變化看做：將△DCE繞著點C旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)的過程中，兩組對應邊的長度沒有發(fā)生改變，但是對應的夾角發(fā)生了如下改變：

1.當點D在邊BC上時，∠ACD=∠BCE=60°；

2.當點D在△ABC內(nèi)部時，∠ACD=∠BCE=60°-∠BCD；

3.當點D在△ABC外部時，∠ACD=∠BCE=60°+∠BCD。

我繼續(xù)提問到：“通過這三個題目，同學們有沒有獲得什么經(jīng)驗？”這是一個開放度很大的問題，給予學生自由發(fā)言的空間，我從中截取幾個精彩的、典型的經(jīng)驗作為小結(jié)：

1.當題目以等邊三角形為背景時，我們要善于抓住等邊三角形邊相等和角等于60°的共性，為證明全等提供條件；

2.在圖形繞著某個點旋轉(zhuǎn)的過程中，邊長沒有改變，角度發(fā)生了規(guī)律性的變化。

在三道題目的對比過程中，通過這樣一連串的問題鏈，我引導學生層層遞進的扒去題目的粉飾，深入到問題的根源，再抽絲剝繭地讓題目展露“真顏”，學生獲得了較好的學習感受，并把一道看似極為簡單的證明題活化為解決這類題目的方法和思路，培養(yǎng)了學生邊學習邊歸納的良好習慣。

（三）以題生題，促進學生發(fā)散思維

為了檢驗學生經(jīng)歷了前兩個環(huán)節(jié)后獲得了哪些經(jīng)驗，我又發(fā)問：“如果按照剛才小結(jié)的結(jié)論，我們能不能把等邊三角形換成其他圖形？”一問既出，課堂氛圍再次熱烈不已。最后，在各小組的激烈討論和教師的引導中，又拓展出了許多典型題目，整理如下：

題組一：

如圖4，在等腰Rt△ABC的邊BC上任取一點D，以CD為邊作等腰Rt△CDE，聯(lián)結(jié)AD、BE，試說明BE=AD的理由。

如圖5，在等腰RT△ABC的內(nèi)部任取一點D，以CD為邊作等腰 Rt△CDE，聯(lián)結(jié)AD、BE，試說明BE與AD的數(shù)量關系和位置關系.

如圖6，D是等腰RT△ABC外部一點，以CD為邊作等腰Rt△CDE，聯(lián)結(jié)AD、BE，試說明BE與AD的數(shù)量關系和位置關系。

題組二：

如圖7，在正方形ABCD的邊BC上任取一點E，以CE為邊作正方形CEFG，聯(lián)結(jié)AE、BG，試說明BE=BG的理由。

如圖8，在正方形ABCD的內(nèi)部任取一點E，以CE為邊作正方形CEFG，聯(lián)結(jié)AE、BG，試說明AE、BG的數(shù)量關系和位置關系。

如圖9，E是正方形ABCD的外部一點，以CE為邊作正方形CEFG，聯(lián)結(jié)AE、BG，試說明AE、BG的數(shù)量關系和位置關系。

由以上兩個題組可知，學生知道了這類題目的形成過程是將特殊圖形和圖形的旋轉(zhuǎn)運動結(jié)合在一起，并抓住了此類題的解題策略：兩條對應邊和一個對應夾角相等。把握好這一點，學生自然會用等腰直角三角形和正方形這樣的特殊圖形去取代例題中的等邊三角形，因為等腰直角三角形和正方形與等邊三角形一樣，具有邊相等，角都相等的共性?；仡欉@節(jié)課，學生們發(fā)現(xiàn)這些看似不盡相同的圖片，原來他們的條件有著特殊之處，解題方法也遵循著一定的規(guī)律，在變化無窮的題目中，找到了其中不變的規(guī)律，自然就能以不變應萬變。同時，學生在以題改題、以題比題和以題生題的過程中，體會到自己是如何將題目歸納小結(jié)，建構自己的知識體系，令自己的知識體系有機健康的發(fā)展壯大。

一節(jié)課上完，師生的收獲都頗豐，達到了預期的教學目標，我覺得這節(jié)課的完整度很高，最大限度地概括了這類題目的特征，基本完成了從特殊到一般的抽象過程，不會再有什么引申題組了。我，信心滿滿。

發(fā)展——那一題，我結(jié)合相似圖形與圖形的旋轉(zhuǎn)、縮放運動，培養(yǎng)了學生的抽象能力

時光荏苒，學生在九年級又學習了圖形的第四種基本運動：放縮運動，以及相似形。在上“相似形三角形”這一章內(nèi)容時，在課本第32頁的課后練習中出現(xiàn)了這樣一題：

這是我從教以來第二次擔任九年級教學任務。我清楚的記得上一輪教到相似三角形這一節(jié)課時，學生在攻克這一題上出現(xiàn)了很大的問題，具體表現(xiàn)在：第一次做時，大部分學生不會把已知的相似三角形的兩組對應邊的比轉(zhuǎn)化為目標的相似三角形的對應邊的比，但是我只要稍加提示，學生又能很快反應過來，快速的完成這道題的證明，怪就怪在，隔一段時間如果再次做到這一題，原本那些學會的學生又會回到最初的迷茫狀態(tài)，完全看不出圖形中的邊是如何轉(zhuǎn)化的。上一次我并沒有找到改進的措施，所以這一次這個問題亟待解決。

我一講學生就會，說明這個題目并不是什么難題，可為什么過一段時間學生會遺忘呢？問題到底出在哪里？這種感覺似曾相識，仿佛曾經(jīng)也遇到過類似的題目，一講就會，可一過就忘。突然，我想起了七年級的那一節(jié)變式訓練課，之所以有那節(jié)課的生成，就是因為也出現(xiàn)了我一講學生就會，可過一段時間學生就忘記的情況，于是才誘導我引導學生展開了那次深入的探究活動。而學生之所以一講就會，一過就忘，是因為他們被題目的表象蒙蔽，看不見題目的本質(zhì)啊。我幡然醒悟，再一次審閱這道題目，突然，一道靈光乍現(xiàn)，這道題目，不就是七年級那道例題的又一組變式題嗎？只不過把具有鄰邊相等的特殊的多邊形拓展到邊沒有特殊關系的多邊形，再在單一的旋轉(zhuǎn)運動中加入了新學的放縮運動，然而刨去這些花哨的變化，它固有的規(guī)律卻沒有變：從旋轉(zhuǎn)中心出發(fā)，各取兩個初始圖形的一條邊，組成兩個新的圖形。我知道該怎么教這道題了！

在講這道課后題目前，我?guī)ьI學生回顧了七年級的那一堂課，沒想到學生也和我一樣，對那堂課的幾組變式記憶猶新，果然不是機械記憶，而是理解型記憶。等學生的已有知識儲備的差不多時，我知道支架已搭成。于是再讓學生解決這道課后習題。一部分學生能輕松完成，有小部分學生有困難。于是我發(fā)動學生組內(nèi)結(jié)對子，但是我要求學生在教同學時先教會他怎么將這道題目與前面的題目進行類比，說清楚異同點。最后，我請同學們談談感受。學生總結(jié)出了兩條結(jié)論：

1.將任意一個三角形繞著它的一個頂點旋轉(zhuǎn)α（0°<α< 360°），并放縮一定比例，將得到兩個新的相似三角形；

2.將任意一個三角形繞著它的一個頂點旋轉(zhuǎn)α（0°<α< 360°），將得到兩個新的相似的等腰三角形；

那一堂課小結(jié)中的“特殊圖形”最終被這一道題小結(jié)中的“任意三角形”取代，從特殊到任意，學生完成了“從特殊到一般”的思維飛躍，這不就是數(shù)學核心素養(yǎng)的養(yǎng)成記嗎？值得一提的是，這兩條結(jié)論對于中考題的18題也具有一定的價值。原來數(shù)學題還可以這么“玩”改變！

小結(jié)——那一課、那一題，我刷新了自己的教學策略

我曾經(jīng)懷疑過教材編排的科學性，而經(jīng)歷了那一課與那一題，我才明白我起初的懷疑恰恰是教材的合理之處。試想，如果放縮運動與另外三種運動同時間呈現(xiàn)給學生，那么學生在作圖時不僅要搞清每種運動的運動過程，還要兼顧邊長的變化，對于七年級剛剛接觸幾何的學生而言，這個難度已經(jīng)違背了學生對事物認知水平的發(fā)展規(guī)律，根本不利于學生自身知識體系的建構，而如果按照教材的編排，先學三種基本運動，再由三種運動的組合得到全等三角形，使得學生能明晰每組全等三角形通過怎么樣的運動可以重合，再加以辨別對應角和對應邊就是水到渠成的事情。而后，利用前期的學習成果為后期內(nèi)容搭建支架，在學生已有水平的基礎上，再去學習放縮運動的相似形，為學生自主構建知識體系提供了助力，這不就是從特殊到一般的數(shù)學抽象能力嗎？時間的跨度可能略長，思維的深度卻在潛移默化中拓寬加深，教書育人焉能拔苗助長，給學生成長的時空，才是教育的精髓所在。

猶記得數(shù)學家丘成桐將數(shù)學史的目的歸納為三點：求因、明變、評論。其中，求因和明變是指尋求事物變化的原因，找到事物變化的規(guī)律，幾何學習正當如此。螺旋式上升，不急于求成，對于知識這片沃土，我們不必挖得多快，但是我們盡量挖得夠深。

那一課，那一題，教會了我如何去教。