徐 政，張哲任

（浙江大學(xué) 電氣工程學(xué)院，杭州 310027）

0 引言

隨著海上風(fēng)電開(kāi)發(fā)向深遠(yuǎn)海方向發(fā)展，近年來(lái)海上低頻輸電技術(shù)越來(lái)越受到學(xué)術(shù)界和工業(yè)界的關(guān)注。對(duì)于海底電纜，采用低頻輸電方案的根本優(yōu)勢(shì)是可以降低電纜的并聯(lián)電容效應(yīng)，從而可以擴(kuò)展海上交流輸電的距離。比如，對(duì)于220 kV電壓等級(jí)，工頻50 Hz 下的合理輸電距離大約為80 km[1]，如果海上風(fēng)電場(chǎng)的離岸距離超過(guò)80 km，那么可選的輸電方案主要是2 種，一種是直流輸電方案，另一種就是低頻輸電方案。由于直流輸電在換流站成本以及構(gòu)網(wǎng)后的故障開(kāi)斷方面還存在不足，因此低頻輸電在遠(yuǎn)海風(fēng)電送出以及海上風(fēng)電場(chǎng)構(gòu)網(wǎng)方面具有競(jìng)爭(zhēng)優(yōu)勢(shì)。

采用低頻方案進(jìn)行遠(yuǎn)距離海底電纜輸電的設(shè)想已有相當(dāng)長(zhǎng)的歷史，至少1950 年在論證瑞典本土到哥特蘭島的輸電方案（輸電距離100 km）時(shí)已進(jìn)行過(guò)技術(shù)經(jīng)濟(jì)比較[2-3]。當(dāng)時(shí)比較了25 Hz，和直流3 種方案，最終還是采用了直流輸電方案。陸上采用低頻方案進(jìn)行遠(yuǎn)距離大容量架空線路輸電的設(shè)想是由王錫凡院士在1994 年提出的[4-5]，同樣，陸上低頻輸電方案的主要競(jìng)爭(zhēng)對(duì)手也是直流輸電方案。近年來(lái)隨著電力電子技術(shù)的發(fā)展，特別是MMC（模塊化多電平換流器）技術(shù)的發(fā)展，低頻輸電技術(shù)已進(jìn)入到了一個(gè)新的發(fā)展階段，其在能源轉(zhuǎn)型和構(gòu)建新型電力系統(tǒng)方面有可能發(fā)揮重要作用。

低頻輸電方案的一個(gè)關(guān)鍵環(huán)節(jié)是低頻系統(tǒng)與工頻系統(tǒng)之間的接口，完成此功能的設(shè)備被稱為變頻器。實(shí)現(xiàn)變頻器的電路拓?fù)溆卸喾N，其中一種具有良好工程應(yīng)用前景的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)是M3C（模塊化多電平矩陣變流器）。M3C 是在2001 年提出的[6-7]，跟MMC 為同一年提出[8]。經(jīng)過(guò)20 年來(lái)的研究和改進(jìn)，M3C 的理論已趨于成熟，其主要應(yīng)用在電機(jī)調(diào)速領(lǐng)域，在高電壓大容量輸電領(lǐng)域還沒(méi)有得到實(shí)際工程應(yīng)用。

為了將M3C 應(yīng)用于高電壓大容量輸電領(lǐng)域，需要解決主回路參數(shù)設(shè)計(jì)、過(guò)電壓與絕緣配合設(shè)計(jì)、控制器設(shè)計(jì)以及設(shè)備制造等多方面的技術(shù)問(wèn)題，以往文獻(xiàn)對(duì)M3C 的數(shù)學(xué)建模和控制策略已有較多研究[9-13]，但對(duì)主回路參數(shù)設(shè)計(jì)、過(guò)電壓與絕緣配合設(shè)計(jì)以及控制保護(hù)系統(tǒng)設(shè)計(jì)等涉及較少。本系列文章的目的是系統(tǒng)總結(jié)以往文獻(xiàn)和本研究團(tuán)隊(duì)在M3C 數(shù)學(xué)建模和控制策略等方面已取得的成果，用一種便于理解且步步可追溯的方式將數(shù)學(xué)建模、主回路參數(shù)設(shè)計(jì)以及控制器設(shè)計(jì)的具體過(guò)程完整展示出來(lái)。期望本系列文章能對(duì)理解M3C 的運(yùn)行原理有所幫助。

1 M3C 標(biāo)準(zhǔn)結(jié)構(gòu)和變量命名

恰當(dāng)?shù)闹骰芈方Y(jié)構(gòu)展示形式和變量命名對(duì)于學(xué)習(xí)和應(yīng)用M3C 技術(shù)是十分重要的。對(duì)于已接觸過(guò)MMC 技術(shù)的讀者，采用如圖1 所示的M3C 主回路結(jié)構(gòu)展示形式，而不采用原始的模塊化多電平矩陣形主回路結(jié)構(gòu)形式是更適合的。因?yàn)椴捎萌鐖D1 所示的M3C 主回路結(jié)構(gòu)展示形式，就可以把M3C 看作是MMC 拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的擴(kuò)展，而不是一個(gè)完全陌生的電路。圖1 中的M3C 主回路結(jié)構(gòu)，可以看作是在MMC 的上、下各3 個(gè)橋臂結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上又增加了中間3 個(gè)橋臂；進(jìn)而使MMC 的從上橋臂公共母線到下橋臂公共母線之間輸出直流電壓變成了M3C 的從上橋臂公共母線、中間橋臂公共母線和下橋臂公共母線輸出三相交流電壓；進(jìn)而達(dá)到了從輸入端三相交流電壓到輸出端三相交流電壓的變換，且這個(gè)變換包含了三相電壓幅值的變換和三相電壓頻率的變換；進(jìn)而達(dá)到了交-交變頻器的功能。

圖1 M3C 拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)示意

對(duì)于如圖1 所示的三相M3C 拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，輸入側(cè)電氣量的下標(biāo)用大寫(xiě)字母（A，B，C）和字母i表示，輸出側(cè)電氣量的下標(biāo)用小寫(xiě)字母（a，b，c）和字母o 表示，橋臂電抗器和橋臂子模塊的命名規(guī)則采用普遍接受的命名規(guī)則[14]，例如，uCa表示橋臂Ca 上所有子模塊合成的電壓，而ucCa1表示橋臂Ca 上第1 子模塊的電容電壓。需要特別注意：“V”和“v”是表示位置的符號(hào)，“V”表示輸入側(cè)的閥側(cè)，“v”表示輸出側(cè)的閥側(cè)，而“EVA，EVB，EVC”表示輸入側(cè)各相3 個(gè)橋臂的公共聯(lián)接點(diǎn)，而“Eva，Evb，Evc”表示輸出側(cè)各相3 個(gè)橋臂的公共聯(lián)接點(diǎn)。

2 M3C 的基本數(shù)學(xué)模型推導(dǎo)

2.1 abc 三相坐標(biāo)系中的數(shù)學(xué)模型

根據(jù)基爾霍夫電壓定律，可以得到M3C 微分方程數(shù)學(xué)模型：

將上面9 個(gè)方程從上到下按行排列成3×3 的矩陣形式，有：

同時(shí)，根據(jù)基爾霍夫電流定律，M3C 輸入側(cè)交流電流與橋臂電流之間的關(guān)系為：

M3C 輸出側(cè)交流電流與橋臂電流之間的關(guān)系為：

定義輸入側(cè)共模電壓：

定義輸出側(cè)共模電壓：

2.2 αβ0 正交坐標(biāo)系中的數(shù)學(xué)模型

由于abc 三相物理量可以看作是一個(gè)旋轉(zhuǎn)空間向量在abc 3 個(gè)靜止坐標(biāo)軸上的投影，但abc 3個(gè)靜止坐標(biāo)軸互差120°，不是一個(gè)正交坐標(biāo)系，因而在abc 三相坐標(biāo)系中不可能做到三相物理量之間的相互解耦。而對(duì)于M3C 的分析計(jì)算和控制器設(shè)計(jì)，在各坐標(biāo)軸物理量相互解耦的坐標(biāo)系中實(shí)施一定是更加簡(jiǎn)便的。正交坐標(biāo)系天然就有各坐標(biāo)軸上物理量相互解耦的特性，因而就自然想到用正交坐標(biāo)系來(lái)代替abc 坐標(biāo)系，然后基于正交坐標(biāo)系中的物理量進(jìn)行計(jì)算的思路。這種思路早已被想到，最著名并被廣泛應(yīng)用的正交坐標(biāo)系就是αβ0 坐標(biāo)系，而從abc 坐標(biāo)系到αβ0 坐標(biāo)系的變換矩陣被稱為Clarke 變換[15]。利用正交坐標(biāo)系進(jìn)行分析的另一個(gè)優(yōu)勢(shì)是可以使描述數(shù)學(xué)模型的方程數(shù)目減少。在正交坐標(biāo)系中，只有相互獨(dú)立的數(shù)學(xué)方程會(huì)被呈現(xiàn)出來(lái)，不獨(dú)立的冗余方程自然地會(huì)被消去。例如，對(duì)于abc 三相對(duì)稱系統(tǒng)，三相電壓和三相電流的零序分量等于零，這樣將三相電壓和三相電流變換到αβ0 正交坐標(biāo)系中后，只有描述α 軸和β 軸物理量的方程是有意義的，0 軸上的方程是冗余方程，自然地就消失了，這樣就將描述abc 三相物理量的3 個(gè)方程減少成為2 個(gè)方程。以下推導(dǎo)M3C 在αβ0 坐標(biāo)系中的數(shù)學(xué)模型。

定義abc 到αβ0 的變換矩陣Tabc-αβ0為[16]：

對(duì)應(yīng)地從αβ0 到abc 的變換矩陣Tαβ0-abc為：

注意Tabc-αβ0和Tαβ0-abc為正交矩陣，（Tabc-αβ0）-1=（Tαβ0-abc）T。

將輸入側(cè)ABC 坐標(biāo)系中的各變量變換到αβ0 坐標(biāo)系，其變換式如下，注意矩陣表達(dá)式可以按列分開(kāi)理解。

需注意不要將式（10）中u0a，u0b，u0c與圖1 中uoa，uob，uoc混淆。

而根據(jù)式（3）和式（9）有：

根據(jù)式（5）和式（10）有：

另外，對(duì)于輸出側(cè)abc 坐標(biāo)系中的各變量，進(jìn)行abc 坐標(biāo)系到αβ0 坐標(biāo)系的變換后，有如下關(guān)系式：

在式（2）兩側(cè)左乘Tabc-αβ0可以得到：

將式（18）拆分成描述輸入側(cè)關(guān)系和輸出側(cè)關(guān)系的2 個(gè)方程，描述輸入側(cè)關(guān)系的方程為：

描述輸出側(cè)關(guān)系的方程為：

由式（9）知：

由式（10）知：

則式（20）可以變?yōu)椋?/p>

整理后有：

將輸出側(cè)abc 坐標(biāo)系中的各變量變換到αβ0 坐標(biāo)系，得到：

在式（24）兩側(cè)左乘Tabc-αβ0可以得到：

若輸入和輸出系統(tǒng)三相對(duì)稱，則有iV0=0，ui0=0，iv0=0，uo0=0，根據(jù)式（28）的最后一行有：

此外，根據(jù)式（14）和式（26）的最后一行以及式（22）的關(guān)系，可以得到usum0=ucom0，從而得到：

去掉式（28）的最后一行后，式（28）可以降階為：

再將式（19）按列拆分成3 個(gè)方程：

將式（32）、式（33）、式（34）相加有：

根據(jù)式（13）和式（14），式（35）變?yōu)椋?/p>

分別將式（33）、式（34）減去式（32），并且定義：

式（37）—（40）中，iαcir1和iβcir1被稱為環(huán)流1 的αβ分量；iαcir2和iβcir2被稱為環(huán) 流2 的αβ 分 量；uαcir1和uβcir1被稱為環(huán)流電壓1 的αβ 分量；uαcir2和uβcir2被稱為環(huán)流電壓2 的αβ 分量。

從而可以得到描述環(huán)流特性的微分方程為：

顯然，環(huán)流特性只由M3C 內(nèi)部的橋臂電壓和橋臂電抗決定，與M3C 的輸入側(cè)和輸出側(cè)沒(méi)有直接關(guān)系。

式（30）、式（31）、式（36）、式（41）和式（42）構(gòu)成了對(duì)稱運(yùn)行時(shí)M3C 在αβ 坐標(biāo)系中的9 階數(shù)學(xué)模型，后面的相關(guān)分析和控制器設(shè)計(jì)將主要基于這個(gè)9 階數(shù)學(xué)模型進(jìn)行。

3 M3C 的等效電路推導(dǎo)

根據(jù)在αβ 坐標(biāo)系中描述輸入側(cè)和輸出側(cè)動(dòng)態(tài)特性的微分方程式（36）和式（31），可以得到：

可以得到αβ 坐標(biāo)系中描述M3C 輸入側(cè)和輸出側(cè)特性的等效電路如圖2 所示。

圖2 αβ 坐標(biāo)系中描述M3C 輸入側(cè)和輸出側(cè)特性的等效電路

同樣，根據(jù)在αβ 坐標(biāo)系中描述環(huán)流特性的微分方程式（41）和式（42），可以得到αβ 坐標(biāo)系中描述M3C 環(huán)流特性的等效電路如圖3 所示。

圖3 αβ 坐標(biāo)系中描述M3C 環(huán)流特性的等效電路

4 結(jié)語(yǔ)

本文針對(duì)低頻輸電中的關(guān)鍵設(shè)備M3C，給出了一種方便學(xué)習(xí)和應(yīng)用的主回路拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)展示形式和變量命名規(guī)則，推導(dǎo)了M3C 的完整數(shù)學(xué)模型和M3C 在αβ 坐標(biāo)系中等效電路，可以為后續(xù)的M3C 主回路參數(shù)設(shè)計(jì)以及控制器設(shè)計(jì)奠定基礎(chǔ)。