陳 晶，水青娜，王俊智，田光輝，王心義

（1.河南理工大學(xué) 資源環(huán)境學(xué)院，河南 焦作 454000；2.上海亞新建設(shè)工程有限公司，上海 201900；3.天津地?zé)峥辈殚_發(fā)設(shè)計院，天津 300250）

0 引言

地下水水位作為指示地下水資源時空變化的關(guān)鍵要素，其依據(jù)監(jiān)測資料進(jìn)行的精準(zhǔn)擬合一直是水文地質(zhì)領(lǐng)域關(guān)注的熱點(diǎn)［1］。但受氣象、水文、地貌、地質(zhì)和人為活動的影響，精確模擬地下水位是比較困難的［2］。

目前，模擬地下水水位變化的常用方法有數(shù)值模 擬 法［3-5］、時 間 序 列 分 析 法［6］、神 經(jīng) 網(wǎng) 絡(luò) 模 型［7-11］、灰色系統(tǒng)GM（2，1）模型［12］、泊松曲線模型［13］、指數(shù)曲線模型［14］等。數(shù)值模擬法具有精細(xì)化仿真和快速自動計算的優(yōu)點(diǎn)，但由于擬合時需要的參數(shù)多，在資料欠缺的情況下，難以精確刻畫地下水位；時間序列分析法需要較多的數(shù)據(jù)，且操作難度高、計算量大；神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型模擬法需要的擬合周期比較長，計算時收斂速度慢，工作效率低，且存在局限性［15］?；疑碚撃Ｐ湍M法對數(shù)據(jù)長度要求相對不高，因此當(dāng)?shù)叵滤荒觌H變化較大時，該模型的準(zhǔn)確度也不太高［16］。灰色系統(tǒng)GM（2，1）模型模擬法的初期擬合結(jié)果具有較高的擬合度，但中后期擬合結(jié)果精確度顯著降低；指數(shù)曲線模型模擬法擬合結(jié)果與灰色系統(tǒng)GM（2，1）模型相反。

Bates針對各種地下水水位模擬方法的局限性，以航空客運(yùn)數(shù)據(jù)為例，構(gòu)建了客運(yùn)預(yù)測的組合模型，經(jīng)計算，組合模型的均方誤差遠(yuǎn)小于單一模型的［17］。筆者綜合灰色GM（2，1）模型和指數(shù)曲線模型的優(yōu)點(diǎn)，基于最優(yōu)賦權(quán)法，構(gòu)建了地下水水位擬合的加權(quán)組合模型，并以鞏義市某煤礦長觀孔地下水水位監(jiān)測資料為樣本，應(yīng)用3種模型進(jìn)行了水位擬合，以期為地下水水位的精準(zhǔn)擬合提供技術(shù)支持。

1 模型構(gòu)建

1.1 數(shù)曲線模型

地下水水位具有自相關(guān)性，因此常用指數(shù)曲線模型來擬合，其基本方程為式（1）［18］。

式中：t為觀測時間，d；St為t時的擬合水位，m；S∞、a和b為待定系數(shù)。

選取3個時間點(diǎn)t1、t2和t3，且t3-t2=t2-t1=Δt，可列式（2）。

當(dāng)Δt盡可能大時，可得出3個待定系數(shù)的表達(dá)式如式（3）所示。

計算出S∞、a和b，即可得到指數(shù)曲線模型的表達(dá)式。

1.2 M（2，1）模型

灰色擬合模型是針對擬合對象的不確定性，根據(jù)少量已知信息進(jìn)行二次開發(fā)，實(shí)現(xiàn)對系統(tǒng)運(yùn)行規(guī)律的正確描述和有效控制的數(shù)學(xué)模型［19］。GM（2，1）模型是一個包含二階方程和一個未知量的灰色模型，它基于一組有明顯指數(shù)規(guī)律的生成數(shù)來構(gòu)建二階微分方程，再利用方程通解來描述生成數(shù)的變化規(guī)律，這一過程通常稱為白化過程［20］。

1.2.1 本理論

設(shè) X（0）=｛x（0）（1），x（0）（2），…，x（0）（N）｝為GM（2，1）模型的原始數(shù)列，對其進(jìn)行一次累加，結(jié)果如式（4）所示［21-22］。

將累加生成的序列X（1）分別作兩次累減，一次累減結(jié)果如式（5）所示，二次累減結(jié)果如式（6）所示。構(gòu)建如式（7）和式（8）所示的矩陣X（A，B）和YN。

基于系數(shù)向量構(gòu)建的系統(tǒng)響應(yīng)方程如式（10）所示，其解為式（11）。

令Δ=a12-4a2。

1.2.2 靠性分析

構(gòu)建的GM（2，1）模型是否可靠，可以通過對擬合值的檢驗(yàn)來確定。一般的檢驗(yàn)方法有關(guān)聯(lián)度檢驗(yàn)法、后驗(yàn)差檢驗(yàn)法和殘差檢驗(yàn)法，通常使用后驗(yàn)差法進(jìn)行檢驗(yàn)［25-26］。后驗(yàn)差法的檢驗(yàn)步驟為：

（1）根據(jù)式（14）計算離差［27］。

（2）根據(jù)式（15）計算殘差的離差。

其中，q（0）（i）=x（0）（i）-＾x（0）（i）。

（3）根據(jù)式（16）計算后驗(yàn)差c及小誤差概率p［28］。

c值越小，說明擬合誤差離散越?。籶值越大，說明模型誤差較小的概率越大。GM（2，1）模型可靠性評價標(biāo)準(zhǔn)列于表1。

表1 GM（2，1）模型可靠性分級Tab.1Reliability classification of GM（2，1）model

1.3 權(quán)組合模型

加權(quán)組合模型是指針對同一擬合對象，利用不同的權(quán)重將各單一模型結(jié)合起來［29］，以充分利用單一模型的優(yōu)點(diǎn)，提高模型的擬合度和精確度。

1.3.1 型構(gòu)建

假設(shè)某一擬合對象為f=y（f1，f2…，fk），第i種方法在t時刻的擬合結(jié)果為fit（i=1，2，…，k），k種方法在組合模型中所占的權(quán)重系數(shù)向量W=（w1，w2，…，wk）T，則組合模型擬合結(jié)果為式（17）［30］。

確定組合權(quán)重系數(shù)常用的方法有遞歸方差倒數(shù)法、最優(yōu)加權(quán)法、方差-協(xié)方差法，本文采用最優(yōu)加權(quán)法（擬合誤差平方和最小）來獲得權(quán)重系數(shù)向量［31］。

記組合模型的擬合誤差為et，其平方和為J，則有式（18）所示的聯(lián)立方程。

組合模型的加權(quán)系數(shù)可利用最小二乘法求得，如式（19）所示。

其中，e1t和e2t分別是單個模型的擬合誤差。

1.3.2 法比對

通常采用誤差平方和SSE、平均絕對誤差MAE、平均絕對百分比誤差MAPE3種參數(shù)評價擬合方法的優(yōu)劣［32］。3種參數(shù)的計算式如式（20）～式（22）所示。其中，frt為實(shí)際測試的t時刻值，fjt為某種方法擬合的t時刻值。

2 模型應(yīng)用

2.1 合結(jié)果

以鞏義市某煤礦水文觀測孔2012～2018年的水位觀測值為樣本，并以6個月為一個周期，分別采用指數(shù)曲線模型、GM（2，1）模型和加權(quán)組合擬合模型（基于最優(yōu)加權(quán)法，得到的加權(quán)組合模型為：fj=0.31j1+0.69j2）進(jìn)行水位擬合。由于地下水水位是負(fù)值，為便于計算，采用水位埋深來表征水位變化。擬合結(jié)果及誤差如表2和圖1所示。

由表2可知，GM（2，1）模型的誤差最大值和平均值分別為3.98 和1.93 ，指數(shù)曲線模型的誤差最大值和平均值分別為2.08 和-0.63 ，加權(quán)組合模型的誤差最大值和平均值分別為1.46 和0.13 m。顯然，組合模型誤差小于單一模型。

由圖1可以看出，GM（2，1）模型擬合結(jié)果在前期與實(shí)際水位曲線保持一致，但是后期與實(shí)際水位曲線偏差較大；指數(shù)曲線模型擬合結(jié)果不能真實(shí)反映水位的實(shí)際變化；組合擬合模型擬合結(jié)果曲線與水位實(shí)際曲線變化趨勢基本一致，擬合精度較高。

圖1 模型的模擬值與實(shí)測值對比Fig.1Comparison of simulation values and measured values of model

2.2 果討論

利用式（20）～式（22）可分別計算3種擬合方法的誤差平方和SSE、平均絕對誤差MAE、平均絕對百分比誤差MAPE，結(jié)果如表3所示。

表3 不同模型的擬合誤差Tab.3Fitting errors of different models

表3顯示，相較于指數(shù)曲線模型和GM（2，1）模型，組合擬合模型的誤差平方和SSE降低了50.65 和11.01 平均絕對誤差MAE降低了1.27 0.42平均絕對百分比誤差MAPE降低了0.87 和0.33 。這表明，組合模型的精度最高。組合模型綜合了單一模型的優(yōu)點(diǎn)，降低了擬合誤差，為地下水位擬合提供了一種新方法。

3 結(jié)語

綜上所述，筆者針對地下水位埋深的時空多變性和自相關(guān)性，以灰色系統(tǒng)GM（2，1）模型和指數(shù)曲線模型為基礎(chǔ)，基于最優(yōu)加權(quán)法構(gòu)建了組合模型。實(shí)例證明，組合模型擬合結(jié)果與實(shí)際水位曲線變化趨勢基本一致，擬合精度高于單一模型。組合模型克服了單一擬合模型的局限性，為提高地下水水位的精準(zhǔn)擬合提供了可借鑒的方法。