黃雅華，陳建恩*，葛為民，劉 軍

(1. 天津理工大學(xué)天津市先進(jìn)機(jī)電系統(tǒng)設(shè)計(jì)與智能控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300384；2. 天津理工大學(xué)機(jī)電工程國(guó)家級(jí)實(shí)驗(yàn)教學(xué)示范中心，天津 300384)

1 引言

裂紋是工程結(jié)構(gòu)最典型的損傷形式，它的出現(xiàn)會(huì)影響結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能，其發(fā)展演化更是會(huì)為工程結(jié)構(gòu)的安全帶來(lái)嚴(yán)重隱患和危害。諸如超聲波、紅外線等局部檢測(cè)技術(shù)，僅適用于靜態(tài)結(jié)構(gòu)的裂紋檢測(cè)，對(duì)于復(fù)雜結(jié)構(gòu)損傷或結(jié)構(gòu)內(nèi)部損傷，這些檢測(cè)手段往往無(wú)法適用?；谡駝?dòng)特性的整體檢測(cè)技術(shù)通過(guò)探測(cè)裂紋對(duì)結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)的影響識(shí)別裂紋位置和深度。相比局部檢測(cè)技術(shù)，該類(lèi)技術(shù)更加高效且具有更強(qiáng)的適應(yīng)性，此外，基于振動(dòng)特性的裂紋識(shí)別方法可以對(duì)裂紋進(jìn)行實(shí)時(shí)檢測(cè)，在不影響工程結(jié)構(gòu)正常運(yùn)行的情況下完成檢測(cè)工作。

任何結(jié)構(gòu)都可以看作是由質(zhì)量、剛度、阻尼所組成的力學(xué)系統(tǒng)，裂紋的出現(xiàn)必然會(huì)影響結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性。目前，基于固有頻率[1，2]、模態(tài)振型[3]、頻響函數(shù)、柔度矩陣、振動(dòng)功率流等[4，5]振動(dòng)信息的裂紋識(shí)別方法得到了不同程度的發(fā)展，然而，每類(lèi)方法均存在各自的缺點(diǎn)[6，7]。一些非線性振動(dòng)特征被逐步用于裂紋識(shí)別，這些方法往往可以在裂紋形成前期就可以對(duì)其動(dòng)態(tài)特性進(jìn)行有效的描述，諧波響應(yīng)是應(yīng)用最為廣泛的非線性損傷指標(biāo)[8]。此外，基于結(jié)構(gòu)分岔特性、非線性強(qiáng)弱程度及非線性模態(tài)的裂紋識(shí)別方法也取得了一定的進(jìn)展[9，10]，但由于非線性問(wèn)題的復(fù)雜性，這些方法在工程應(yīng)用上仍需進(jìn)一步開(kāi)發(fā)。理論上講，任何能夠反映裂紋特征的模態(tài)參數(shù)或振動(dòng)信號(hào)變化都可以用來(lái)進(jìn)行裂紋檢測(cè)，構(gòu)建更為豐富的裂紋識(shí)別指標(biāo)，尤其是針對(duì)微小裂紋的識(shí)別指標(biāo)，仍是一個(gè)重要的研究方向。

點(diǎn)陣夾芯結(jié)構(gòu)[11]是一種在航空航天領(lǐng)域有了一定應(yīng)用的基礎(chǔ)材料，其線性和非線性動(dòng)力學(xué)特性的研究已較為深入[12，13]。Li等[14]利用有限元軟件對(duì)具有桿件損傷的點(diǎn)陣夾芯板的動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行了研究。Tian等[15]基于振動(dòng)信號(hào)對(duì)點(diǎn)陣夾芯板的蒙皮剝離進(jìn)行了探測(cè)。對(duì)于點(diǎn)陣夾芯結(jié)構(gòu)的損傷識(shí)別仍是一個(gè)亟待解決的問(wèn)題。

相圖是非線性分析中常用的分析手段，包含了豐富的振動(dòng)信息。相圖中的軌道在橫坐標(biāo)上的投影體現(xiàn)了位移的信息，在縱坐標(biāo)上的投影體現(xiàn)了速度的信息，整個(gè)軌道也表示出位移與速度之間的關(guān)系。裂紋的出現(xiàn)和演化必然會(huì)對(duì)相圖軌道產(chǎn)生影響，目前，有較多文獻(xiàn)利用相圖軌道的變化對(duì)裂紋參數(shù)進(jìn)行定性分析[16，17]。其中，文獻(xiàn)[16]通過(guò)分析相圖形狀隨裂紋參數(shù)的變化規(guī)律，研究了含蒙皮裂紋夾芯梁的振動(dòng)特性，指出了相圖幾何特征在裂紋識(shí)別方面的潛力，然而在相圖特征的定量分析方面仍有待突破。Andreaus 等[18，19]提出利用相圖中軌道的偏心率和偏移量差作為損傷指標(biāo)的裂紋識(shí)別方法，使相圖信息能夠用于裂紋的定量分析，而這兩個(gè)指標(biāo)均只用到軌道的位移信息。本文中，對(duì)相圖的幾何特征進(jìn)行深入的挖掘，提出基于軌道包含面積的裂紋識(shí)別方法，并對(duì)含蒙皮裂紋點(diǎn)陣夾芯梁的動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行了分析。

2 裂紋梁的動(dòng)力學(xué)方程

圖1(a)為點(diǎn)陣夾芯梁芯層的一個(gè)單胞，其中rc表示桿件半徑，α表示桿件的傾角，l表示桿件長(zhǎng)度。此外，h表示梁的總厚度，hc=lsinα表示芯層的厚度，hf表示蒙皮的厚度。

本文基于Allen的經(jīng)典夾芯梁理論展開(kāi)研究[20]。圖1(b)為一段含裂紋簡(jiǎn)支夾芯梁的示意圖，蒙皮裂紋位于上面板距離z軸L0的位置，裂紋深度為a，梁長(zhǎng)度為L(zhǎng)。夾芯梁的等效模型如圖1(c)所示，其中μ和m分別表示系統(tǒng)的等效阻尼和等效質(zhì)量。

圖1 含裂紋點(diǎn)陣夾芯梁模型

在振動(dòng)過(guò)程中，等效剛度隨裂紋位置和深度的變化而變化，且被描述成一個(gè)隨時(shí)間變化的周期函數(shù)，用下式表示

k(t)=ko+kΔC[1+cos(ωt)]

(1)

其中ko為夾芯梁在裂紋完全張開(kāi)時(shí)的等效剛度，kΔC為等效剛度變化的幅度?？紤]系統(tǒng)承受簡(jiǎn)諧激勵(lì)，獲得外激勵(lì)作用下單自由度含蒙皮裂紋簡(jiǎn)支點(diǎn)陣夾芯梁的動(dòng)力學(xué)方程為[16]

(2)

其中，f為激勵(lì)幅值，ω為激勵(lì)頻率。對(duì)上述方程進(jìn)行無(wú)量綱化處理，獲得含蒙皮呼吸裂紋點(diǎn)陣夾芯梁的無(wú)量綱動(dòng)力學(xué)方程如下[16]，具體過(guò)程詳見(jiàn)參考文獻(xiàn)。

3 裂紋參數(shù)對(duì)夾芯梁振動(dòng)響應(yīng)的影響

3.1 裂紋參數(shù)對(duì)夾芯梁相圖的影響

取夾芯梁蒙皮和芯層的材料參數(shù)及夾芯梁的結(jié)構(gòu)參數(shù)為：材料密度ρ=2770kg/m3，彈性模量E=71GPa，泊松比ν=0.33，芯層桿件半徑r=1mm，桿件傾斜角α=45°，芯層高度hc=15mm，蒙皮厚度hf=1.5mm，夾芯梁長(zhǎng)度方向取25個(gè)單胞，單胞的底邊長(zhǎng)取a=28mm。將芯層等效為連續(xù)均勻的材料，其相對(duì)密度和等效剪切模量由文獻(xiàn)[21]給出。利用龍格庫(kù)塔法對(duì)方程(3)進(jìn)行數(shù)值仿真，取μ=0.2，f=6。采用主共振頻率ω=4作為激勵(lì)頻率，將夾芯梁振動(dòng)的位移與速度看作裂紋位置比(β=Lo/ L)和裂紋深度比(ξ=a / hf)的函數(shù)，得到夾芯梁在不同裂紋參數(shù)下的相圖。

圖2 激振頻率為ω=4，裂紋位置比為β=0.5時(shí)，夾芯梁在不同裂紋深度比下的相圖

圖2表示裂紋位置比β=0.5時(shí)，夾芯梁在不同裂紋深度比下的相圖。相圖曲線呈較規(guī)則的單環(huán)形，且裂紋參數(shù)的變化必然導(dǎo)致相圖面積的變化。在主共振頻率激勵(lì)下，梁的振幅隨著裂紋深度的增加而增加。由于相圖同時(shí)包含了位移和速度的豐富信息，可利用相圖的幾何特征進(jìn)行裂紋識(shí)別。

3.2 相圖的定量分析

本文采取“像素法”計(jì)算相圖上各閉合曲線的面積。為獲得分辨率一致的相圖，保持圖形中XY軸的區(qū)間刻度一致，然后在MATLAB默認(rèn)窗口截取圖像。激振力f=6時(shí)將X軸的橫坐標(biāo)區(qū)間設(shè)為[-8， 8]，Y軸縱坐標(biāo)區(qū)間設(shè)為[-30， 30]。保持裂紋深度比或位置比不變，用主共振頻率ω=4作為激勵(lì)頻率繪制夾芯梁的相圖，在默認(rèn)成圖窗口截取只含X軸、Y軸和相圖曲線的圖片。

圖3 MATLAB對(duì)相圖的處理過(guò)程

圖3是MATLAB對(duì)相圖的處理過(guò)程。用MATLAB讀取圖像，對(duì)其進(jìn)行二值化處理，對(duì)封閉區(qū)域進(jìn)行邊緣檢測(cè)，去除邊界，對(duì)封閉區(qū)域標(biāo)號(hào)，并提取各連通封閉區(qū)域?yàn)榘咨珔^(qū)域，分別得到相圖在各個(gè)象限分布的區(qū)域如圖3(b)所示，計(jì)算白色區(qū)域的像素。

本文采用主共振激振頻率(激振頻率ω=4)對(duì)夾芯梁進(jìn)行激勵(lì)，研究夾芯梁在不同裂紋參數(shù)下相圖面積的變化情況。

3.2.1 裂紋深度ξ變化對(duì)參數(shù)η的影響

由圖2可以看出隨著裂紋深度的變化，相圖面積呈現(xiàn)緩慢變化的趨勢(shì)。并且，具有不同裂紋參數(shù)的點(diǎn)陣夾芯梁的相圖面積比較接近。為形象描述這種“微小變化量”且使識(shí)別指標(biāo)更具有區(qū)分度，本文采用“準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)差”處理相圖面積，給出下式

圖4 裂紋位置比β=0.4，裂紋深度比和激振力變化對(duì)參量η的影響

M表示不含裂紋的相圖面積；xn表示裂紋位置比β不變時(shí)，裂紋深度比ξ在0.2～0.8范圍內(nèi)變化的相圖面積(即x1，x2…x7分別表示ξ=0.2， 0.3， …， 0.8的相圖面積)。定義相圖面積參量η，該參量表示當(dāng)裂紋深度比ξ由0.2到0.8變化時(shí)，含裂紋相圖面積和無(wú)裂紋相圖面積的差值與準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)差的比值，即

(5)

圖4是主共振發(fā)生時(shí)，在裂紋位置比β=0.4處，激振力f與裂紋深度比ξ的變化對(duì)相圖面積參量η的影響。圖4中可以看出，隨著裂紋深度比ξ的增加，η呈逐漸上升趨勢(shì)；隨著激振力的增加，參量η的變化不明顯。

3.2.2 裂紋位置β變化對(duì)參數(shù)η′的影響

x′n表示裂紋深度比ξ不變，裂紋位置比β在0.1～0.5范圍內(nèi)變化時(shí)相圖的面積(即x′1，x′2， …，x′5分別表示β=0.1， 0.2， …， 0.5的相圖面積)，準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)差記為

(6)

η′表示當(dāng)裂紋位置比β由0.1到0.5變化時(shí)，含裂紋相圖面積和無(wú)裂紋相圖面積的差值與準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)差的比值，得到下式：

(7)

圖5 裂紋深度比ξ=0.5時(shí)激振力與裂紋位置比的變化對(duì)參量η′的影響

圖5是主共振發(fā)生時(shí)，在裂紋深度比ξ=0.5處，激振力與裂紋位置比β的變化對(duì)相圖面積參量η′的影響。圖5中可以看出，隨著裂紋位置比β的增加，η′的值逐漸上升；隨著激振力的增加，參量η′的變化同樣不明顯。外力作用對(duì)η和η′的影響極小，這有利于利用參量η和η′的關(guān)系來(lái)識(shí)別并確定裂紋參數(shù)。

3.2.3 裂紋位置β和裂紋深度ξ同時(shí)變化對(duì)參量η、η′的影響

圖6 裂紋參數(shù)變化對(duì)參量η和η′的影響

圖6是裂紋參數(shù)變化對(duì)相圖面積參量η和η′的影響。為便于觀察參量的數(shù)值分布情況，在圖6(a)、(b)中標(biāo)出七條等高線。圖6(a)是分別在β=0.1， 0.2， …，0.5的五個(gè)裂紋位置上，裂紋深度比ξ在0.2～0.8之間變化得到的參量η的等高線圖。例如，在圖6(a)中，過(guò)β=0.2作垂直于橫坐標(biāo)的輔助線，在該輔助線上，裂紋位置比β=0.2保持不變。可以看到隨著裂紋深度比ξ增大，η呈逐漸增加的趨勢(shì)。圖3(b)是分別在ξ=0.2， 0.3， …， 0.8的七個(gè)裂紋深度中，裂紋位置比β在0.1～0.5之間變化得到的參量η′的等高線圖。例如，在圖6(b)中，過(guò)ξ=0.4作垂直于縱坐標(biāo)的輔助線，在該輔助線上裂紋深度比ξ=0.4保持不變?？梢钥吹诫S著裂紋位置比β增大，η′呈逐漸增加的趨勢(shì)。等高線的存在表明在相同的η或η′值處會(huì)存在不同的裂紋參數(shù)，因此需要在相同條件下同時(shí)獲得一組η和η′值來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)裂紋參數(shù)(位置、深度)的識(shí)別。

為了驗(yàn)證該方法的合理性，現(xiàn)選取四種不同的裂紋情況，利用像素法求得不同裂紋參數(shù)的相圖面積參數(shù)η和η′如下表1所示。

表1 不同裂紋參數(shù)下η和η′的值

圖7 裂紋參數(shù)識(shí)別

在圖6(a)、(b)上分別找到對(duì)應(yīng)于表1中不同裂紋參數(shù)的相圖面積參量η和η′的等高線，將η曲線和η′曲線置于同一圖中，進(jìn)而可利用η和η′曲線對(duì)裂紋位置比和裂紋深度比進(jìn)行識(shí)別。例如，已知裂紋位置比β=0.4，裂紋深度比ξ=0.8時(shí)，η=1.549、η′=1.404，在圖6(a)上找到η=1.549的等高線，并在圖6(b)上找到η′=1.404的等高線，將η=1.549曲線和η′=1.404曲線置于同一圖中，其交點(diǎn)對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)分別為裂紋位置和深度。同理可得到β=0.4、ξ=0.6， 0.4， 0.2時(shí)，η和η′曲線的組合圖，如圖7所示。故憑借η和η′的數(shù)據(jù)可以實(shí)現(xiàn)對(duì)裂紋參數(shù)的準(zhǔn)確定位。

4 結(jié)論

本文提出了利用相圖幾何特征進(jìn)行裂紋識(shí)別的方法。采用“像素法”獲得主共振頻率激勵(lì)下含裂紋與不含裂紋的相圖面積，利用“準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)差公式”研究了主共振發(fā)生時(shí)，夾芯梁在不同激振力作用下，其相圖面積受裂紋深度或裂紋位置影響而變化的情況。定義相關(guān)的相圖面積參量為η和η′。研究結(jié)果顯示，在裂紋參數(shù)相同時(shí)，激振力大小對(duì)參量η和η′的影響極小。在同一激振頻率下，裂紋參數(shù)是影響相圖面積參量變化的主要因素。

隨著裂紋位置或者裂紋深度的增加，參量η和η′都呈現(xiàn)逐漸增大的趨勢(shì)。參量η的等高線近似水平方向分布，η′的等高線近似豎直方向分布，等高線的存在表明，對(duì)于相同的相圖面積參量，往往會(huì)對(duì)應(yīng)不同的裂紋參數(shù)。找到η和η′這兩條關(guān)系曲線，可以得到與裂紋位置和裂紋深度有關(guān)的唯一交點(diǎn)。該方法的識(shí)別精度取決于相圖面積比的測(cè)算精度。

本文通過(guò)定量分析相圖的幾何特征，利用不同參量的等高線交點(diǎn)識(shí)別裂紋參數(shù)，取得了較為滿意的理論結(jié)果。該方法還可擴(kuò)展為提取相圖的局部幾何特征來(lái)識(shí)別裂紋參數(shù)。但獲取“準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)差”的前提是需要獲得每組裂紋參數(shù)下夾芯梁振動(dòng)的相圖面積，要獲得某組裂紋參數(shù)對(duì)應(yīng)的等高線交點(diǎn)的前提也是需要預(yù)先計(jì)算出每組裂紋參數(shù)所對(duì)應(yīng)的η和η′數(shù)值。換言之，只有預(yù)先通過(guò)理論計(jì)算或?qū)嶒?yàn)得到如圖6的等高線圖，才能進(jìn)一步對(duì)裂紋進(jìn)行識(shí)別。因此，目前本方法僅適用于簡(jiǎn)單結(jié)構(gòu)的裂紋識(shí)別，對(duì)于復(fù)雜工程結(jié)構(gòu)的裂紋參數(shù)識(shí)別仍需做進(jìn)一步的研究。