李慶文，鄭明陽，喬 蘭，隋智力

1) 北京科技大學(xué)土木與資源工程學(xué)院，北京 100083 2) 北京科技大學(xué)城市地下空間工程北京市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100083 3) 中鐵第四勘察設(shè)計(jì)院集團(tuán)有限公司，武漢 430061 4) 北京城市學(xué)院城市建設(shè)學(xué)部，北京 100083

能源樁是一種新型的地源熱泵系統(tǒng)，它是將換熱器埋于建筑結(jié)構(gòu)的混凝土樁基中，通過樁基礎(chǔ)與周圍土體進(jìn)行換熱進(jìn)而實(shí)現(xiàn)對(duì)建筑供暖或制冷的目的[1]. 在20世紀(jì)80年代，奧地利的學(xué)者創(chuàng)造性的將換熱系統(tǒng)埋于建筑結(jié)構(gòu)樁基中，利用樁基混凝土的高導(dǎo)熱性能和較大的換熱截面以強(qiáng)化換熱效率，這是有關(guān)能源樁的最早報(bào)道[2]，而后逐漸推廣到瑞士和德國[3]. 1994年，日本學(xué)者M(jìn)orino正式提出了“能源樁”的概念[4]. 能源樁因?yàn)槠涔?jié)能環(huán)保，且較傳統(tǒng)的地源熱泵系統(tǒng)換熱效率更高、施工成本更低、服役時(shí)間更長(zhǎng)等優(yōu)點(diǎn)而被廣泛應(yīng)用[5]. 當(dāng)前，在美國、澳大利亞和日本等發(fā)達(dá)國家，能源樁已被廣泛采用，并且在其埋管形式、換熱機(jī)制、熱力響應(yīng)和實(shí)際應(yīng)用等方面都取得了豐碩成果[6?11]. 在我國，能源樁研究起步較晚，但在國家重視地?zé)豳Y源開發(fā)的大背景下，政府通過資金激勵(lì)和相關(guān)法規(guī)來鼓勵(lì)和扶持可再生能源開發(fā)與利用，我國的淺層地溫開發(fā)與利用得到了長(zhǎng)足的發(fā)展，一系列行業(yè)規(guī)范和標(biāo)準(zhǔn)相繼出臺(tái)，如《地源熱泵系統(tǒng)工程技術(shù)規(guī)范》（GB 50366—2005）、《地?zé)崮荛_發(fā)利用白皮書》和《樁基地?zé)崮芾靡?guī)范》（JGJ/T 438—2018）等. 大量使用能源樁的典型工程也相繼建設(shè)，如浙江溫州雙井小區(qū)、上海世博會(huì)城市最佳實(shí)踐區(qū)漢堡館、南京朗詩國際街區(qū)等[12].

目前普遍采用的能源樁埋管形式主要有U型、W型、螺旋埋管以及多種形式并聯(lián)等. 其中，U型埋管形式是從地源熱泵換熱體系過渡而來，但因樁基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)普遍不長(zhǎng)，U型管路在樁體內(nèi)的換熱路徑不足導(dǎo)致?lián)Q熱效率偏低[13]. W型埋管在樁內(nèi)出現(xiàn)局部最高點(diǎn)，頂端容易集氣形成氣阻影響使用. 螺旋管換熱器可調(diào)節(jié)螺距，使樁基礎(chǔ)內(nèi)可利用埋管長(zhǎng)度增加，使用安全、高效[14]. 因此螺旋埋管已逐步成為能源樁埋管的主要形式.

傳熱模型的研究一直是國內(nèi)外有關(guān)能源樁的研究的重點(diǎn). Eskilsion和Claesson[15]基于線熱源模型提出Eskilsion模型. Kavanaugh[16]將豎直埋管換熱器看作圓柱體熱源而建立圓柱熱源模型，提高了模型計(jì)算的精確性. 國內(nèi)對(duì)能源樁的研究起步較晚但成果豐富，刁乃仁等[17]和曾義和等[18]提出豎直埋管換熱器的二維模型和三維模型；石磊等[19]和武丹[20]提出實(shí)心圓柱熱源模型，并分析了圓柱面熱源模型各自的適用性；李新等[21]針對(duì)螺旋埋管能源樁，提出線圈熱源模型；Man等[22]將單位樁長(zhǎng)能源樁視為恒定熱源，提出螺旋埋管能源樁的溫度場(chǎng)解析解. 這些傳熱模型在其特定的能源樁結(jié)構(gòu)和工況下具有很好的適用性，但在普遍適用性上有待進(jìn)一步發(fā)展與提高. 本文針對(duì)螺旋埋管能源樁，對(duì)熱源做更精確的簡(jiǎn)化假設(shè)，以傅里葉變換矢量法瞬時(shí)溫度場(chǎng)解為基礎(chǔ)，運(yùn)用格林函數(shù)和第一型曲線積分知識(shí)對(duì)三維螺旋埋管能源樁溫度場(chǎng)進(jìn)行求解，以期求得精確的螺旋埋管能源樁溫度場(chǎng)解析解.

1 傅里葉變換矢量法中的瞬時(shí)點(diǎn)熱源溫度場(chǎng)

2 螺旋埋管能源樁傳熱模型

2.1 模型假設(shè)條件

綜合考慮能源樁樁基的空間位置、能源樁的內(nèi)部結(jié)構(gòu)、能源樁的工作環(huán)境和工作時(shí)間等因素，提出傳熱解析模型的假設(shè)條件如下：（1）能源樁周圍巖土體或回填材料為半無限大均勻傳熱介質(zhì)，初始溫度場(chǎng)為均布溫度場(chǎng)，令其值為 θ0，能源樁鉆孔周圍介質(zhì)的熱物性為常物性，不受時(shí)間、溫度等參數(shù)的影響. （2）能源樁處于自然地面以下一定深度處，因此視能源樁上土體溫度不變，恒等于初始溫度 θ0. （3）將螺旋埋管簡(jiǎn)化為一個(gè)均勻發(fā)熱的螺旋線熱源與一個(gè)均勻發(fā)熱的直線熱源. 加熱時(shí)間從 τ =0開始. （4）不考慮地下水滲流的影響. （5）能源樁傳熱涉及交換液、混凝土和巖土體等多種介質(zhì)，為簡(jiǎn)化計(jì)算，取統(tǒng)一的熱物性參數(shù)進(jìn)行計(jì)算.

2.2 幾何模型及數(shù)學(xué)推導(dǎo)

考慮能源樁工作環(huán)境，結(jié)合3.1節(jié)中所述假設(shè)條件，將能源樁簡(jiǎn)化為如圖1（a）所示的工作系統(tǒng).并以樁頂截面中心為原點(diǎn)，能源樁軸線為z軸，埋深方向?yàn)檎较蚪⒅鴺?biāo)系，其中A1和A2為線熱源上的任意點(diǎn)，如圖1（b）所示.

圖1 計(jì)算的幾何模型示意圖Fig.1 Schematic of a geometric used in calculation

2.3 溫度響應(yīng)時(shí)間效應(yīng)

為了便于分析，下文中取 α =0，在螺旋熱源qc的作用下，樁體和土體溫度響應(yīng)會(huì)隨時(shí)間改變，該效應(yīng)反映了時(shí)間效應(yīng). 取L=30且n=10，距離樁軸線 3倍半徑，Z=2，5，10，15和 20 處溫度如圖2（a）所示. 取L=30，Z=15，n=10，得到半徑為R=2，3，4，5 處溫度如圖2（b）所示.

圖2 溫升隨時(shí)間變化曲線Fig.2 Rise in temperature curves for different time periods

圖2顯示，能源樁時(shí)間效應(yīng)表現(xiàn)為：隨能源樁工作時(shí)間增加，溫度隨之迅速上升. 當(dāng)工作時(shí)間增長(zhǎng)至特定值后，溫度的增長(zhǎng)速率變緩至趨于穩(wěn)態(tài).這個(gè)時(shí)間稱之為穩(wěn)態(tài)初始時(shí)間tou，換言之，當(dāng)ttou，溫度響應(yīng)變化速率極小，能源樁溫度場(chǎng)近似視為穩(wěn)態(tài).

2.4 溫度響應(yīng)空間分布

2.4.1 能源樁樁體溫度場(chǎng)分布

當(dāng)R∈[0,1]且Z∈[0,L]時(shí)，溫度場(chǎng)T表征的是能源樁樁體溫度場(chǎng)，取L=30，n=10，t=1，10 和300，R=0，0.5，能源樁樁體溫度如圖3所示.

圖3 能源樁樁體溫升曲線Fig.3 Temperature rise curves of an energy pile

由圖3可知，能源樁樁體溫度隨時(shí)間逐漸上升；地面邊界以及樁埋深以下部分對(duì)能源樁溫度場(chǎng)衍化也會(huì)產(chǎn)生影響，地面邊界與空氣流體直接接觸，熱通量大. 埋深以下部分巖土體能為換熱介質(zhì)提供的散熱空間大，熱流更高，導(dǎo)致能源樁樁體溫度場(chǎng)分布為兩端溫度低，樁身中部位置溫度高；在樁軸線位置上，溫度函數(shù)在埋深方向分布較均勻，在1/2半徑處，即R=0.5位置處，溫度繞樁軸線處溫度值呈類三角函數(shù)波動(dòng)，波峰數(shù)和螺旋熱源轉(zhuǎn)數(shù)相等. 說明能源樁樁體溫度場(chǎng)受埋管形式的影響，其分布方式與埋管形勢(shì)具有關(guān)聯(lián)性. 具體表現(xiàn)為，在能源樁軸線以外位置處能源樁樁身的溫度場(chǎng)分布不均，受到熱源形狀的影響.

2.4.2 能源樁樁周巖土體溫度場(chǎng)分布

當(dāng)R?[0,1]或者當(dāng)R∈[0,1]且Z?[0,L]時(shí)，此時(shí)溫度函數(shù)表征的是能源樁回填巖土體的溫度場(chǎng).如圖4 所示，圖4（a）為L(zhǎng)=30，n=10，t=300 時(shí)，半徑R=2，3，4，5位置處溫度隨樁埋深Z變化曲線圖.圖4（b）為L(zhǎng)=30，n=10，t=5，10，50，300 時(shí)R=2 位置的溫度隨埋深Z變化曲線圖.

圖4（a）顯示，與樁體溫度場(chǎng)分布相似，相同半徑處，能源樁周圍巖土體的溫度隨著埋深先增大，后減小；受三維螺旋熱源的影響，巖土體溫度沿埋深方向上也呈現(xiàn)出螺旋狀分布，為方便說明，將這種現(xiàn)象稱為形狀效應(yīng)；并且，圖4（a）中顯示，這種效應(yīng)隨半徑增大逐漸減小直到消失；同時(shí)，圖4（b）顯示，隨著時(shí)間的積累，相同半徑位置處巖土體的溫度持續(xù)上升，但是始終保持螺旋狀分布，說明時(shí)間對(duì)形狀效應(yīng)的影響很小. 綜合以上結(jié)果，可以推斷：在其他條件都保持不變的前提下，形狀效應(yīng)存在固定的影響范圍. 即在這個(gè)空間范圍內(nèi)，能源樁的溫度場(chǎng)受到能源樁埋管形狀的影響；在此空間范圍之外，埋管形狀對(duì)溫度場(chǎng)的影響可以忽略不計(jì).

圖4 巖土體溫升曲線Fig.4 Temperature rise curves of a rock mass

根據(jù)式（13）可知，當(dāng)能源樁結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)參數(shù)L、n、工作時(shí)間t已經(jīng)確定的情況下，巖土體中一點(diǎn)的溫度與半徑R呈雙射關(guān)系. 取L=30，n=10，t=300，Z分別取2，5，15和25. 計(jì)算得到溫度隨半徑變化曲線圖如圖5所示.

圖5 溫升隨半徑變化曲線Fig.5 Temperature rise curves plotted against the radius

圖5顯示，在其他條件保持不變時(shí)，巖土體內(nèi)部的溫升都隨半徑的增大而減小，最終趨近于0.這表明能源樁對(duì)巖土體原始溫度場(chǎng)的影響范圍是有限的. 為了界定溫度場(chǎng)的作用范圍，根據(jù)公式（14）給出的溫升表達(dá)式，通過計(jì)算對(duì)于溫升值小于10%最大溫升值的土體范圍認(rèn)定為能源樁溫度響應(yīng)場(chǎng)半徑，用Rm表示. 如：取L=30，t=200，n=10，代入式（14）得溫度場(chǎng)分布如圖6.

圖6 能源樁溫度場(chǎng)Fig.6 Temperature field of an energy pile

從圖5中可知，最大溫升值TMax為25，根據(jù)圖6計(jì)算的能源樁溫度場(chǎng)，取臨界溫升值Tδ=2.43，黏土導(dǎo)熱系數(shù) 1.3 W?m?1?K?1，單位螺旋管熱源值5 W?m?1，換算為開氏溫度為 0.82 K，在溫度場(chǎng)圖中找到值為2.43的等溫線，作其平行于橫軸線的切線與縱軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)值即為能源樁作用半徑Rm，在圖6工況下，能源樁溫度場(chǎng)作用半徑約為13.5倍的樁體半徑.

3 數(shù)值模擬與解析驗(yàn)證

3.1 數(shù)值模擬分析參數(shù)設(shè)置

為了驗(yàn)證解析模型的準(zhǔn)確性，本文采用COMSOL Multiphysics三維模型對(duì)螺旋埋管能源樁的溫度場(chǎng)做模擬分析. 模擬中，假定巖土體的初始溫度場(chǎng)是均勻溫度場(chǎng)，初始溫度設(shè)為288.15 K；地面邊界為虛擬熱匯，設(shè)為Dirichlet邊界條件，地面邊界為恒溫邊界，側(cè)面邊界和底面邊界為恒熱流密度邊界.熱物理參數(shù)如表1所示.

表1 數(shù)值模型參數(shù)Table 1 Parameters of numerical simulation

3.2 數(shù)值分析與數(shù)學(xué)模型結(jié)果對(duì)比分析

通過數(shù)值模擬計(jì)算，L=30，t=200，n=10 時(shí)能源樁溫度場(chǎng)分布云圖如圖7（a）所示. 模擬結(jié)果顯示能源樁溫度場(chǎng)范圍隨距離的逐步擴(kuò)大并逐漸趨于穩(wěn)定；距離能源樁較近的區(qū)域，溫度沿埋深方向呈螺旋分布，即存在形狀效應(yīng)，這與數(shù)學(xué)模型的結(jié)果一致. 同等工況下能源溫度場(chǎng)的解析模型如圖7（b）所示. 通過對(duì)比分析可知，數(shù)值模型與數(shù)學(xué)模型計(jì)算得到的能源樁準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)溫度場(chǎng)分布形狀大致相同，數(shù)值模型與數(shù)學(xué)模型結(jié)果基本一致.

圖7 數(shù)值解與解析解對(duì)比圖. （a）數(shù)值模擬結(jié)果；（a）解析解結(jié)果Fig.7 Comparison between the numerical and analytical solutions: (a) numerical result; (b) analytical result

為了驗(yàn)證解析模型在分析溫度隨時(shí)間變化規(guī)律時(shí)的準(zhǔn)確性，本文同樣采用上述數(shù)值模型，對(duì)Z=15，R=2和3的溫度?時(shí)間規(guī)律進(jìn)行了模擬分析，數(shù)值模擬提取出的溫度?時(shí)間曲線與解析計(jì)算給出同工況下的溫度?時(shí)間曲線如圖8所示. 由圖8可以看出，數(shù)值模型和解析模型計(jì)算得出溫度?時(shí)間的變化規(guī)律大致相同，溫度都是隨時(shí)間增加先快速增加，而后增速逐漸變緩直至趨于穩(wěn)定；因解析計(jì)算中未考慮溫度變化對(duì)材料熱阻變化的影響，解析解結(jié)果值略大于數(shù)值結(jié)果，但保持在10%誤差范圍以內(nèi)，表明了數(shù)學(xué)模型的解算精度比較符合螺旋形能源樁溫度場(chǎng)的實(shí)際.

圖8 溫度隨時(shí)間變化曲線Fig.8 Temperature curves for different time periods

4 結(jié)論

（1）螺旋型埋管能源樁換熱結(jié)構(gòu)復(fù)雜，而現(xiàn)有的溫度場(chǎng)解析模型因簡(jiǎn)化過多導(dǎo)致分析準(zhǔn)確性受限，為此文章將螺旋埋管等效為三維螺旋線熱源，運(yùn)用格林函數(shù)和第一型曲線進(jìn)行積分，推導(dǎo)給出了螺旋埋管能源樁的溫度場(chǎng)解析解，建立高精度三維螺旋埋管能源樁的傳熱模型.

（2）通過模型分析得到關(guān)于時(shí)間、空間位置、埋管參數(shù)以及巖土體熱物理性質(zhì)相關(guān)的螺旋埋管能源樁的瞬態(tài)溫度場(chǎng). 采用上述四個(gè)因素所對(duì)應(yīng)的參數(shù)或變量就能夠計(jì)算分析能源樁的溫度場(chǎng)特征. 并驗(yàn)證了能源樁穩(wěn)態(tài)初始時(shí)間tou概念，并給出其判定方法. 當(dāng)t>tou，溫度場(chǎng)趨于穩(wěn)態(tài)，意味著溫度場(chǎng)所激發(fā)的溫度應(yīng)力場(chǎng)也趨于穩(wěn)定，是能源樁承載力設(shè)計(jì)時(shí)的重要依據(jù).

（3）分析得到能源樁作用半徑Rm概念和定義，并提出了其判定方法. 給出了螺旋埋管能源樁單樁溫度場(chǎng)的最大作用半徑與其求解方法，同時(shí)給出了其判別的圖解方法. 研究結(jié)果可為能源的溫度場(chǎng)影響范圍和接下來的能源樁的布樁間距等提供參考.

（4）采用COMSOL軟件建立了螺旋埋管能源樁的數(shù)值模型，并對(duì)螺旋線熱源模型解析解進(jìn)行了驗(yàn)證，驗(yàn)證結(jié)果表明：數(shù)值仿真模擬結(jié)果與螺旋線熱源模型解析解結(jié)果相對(duì)誤差小于10%，說明所建立的數(shù)學(xué)模型解算精度符合螺旋形能源樁溫度場(chǎng)的實(shí)際.