何昱霖，韓云濤，郭 浩

(哈爾濱工程大學自動化學院，黑龍江 哈爾濱 150001)

1 引言

超空泡航行體相較于傳統(tǒng)的水下航行體在速度上有著極大的提升，使其具有廣闊的應用前景[1]。但是，在運動過程中超空泡航行體將會產(chǎn)生大的非線性滑行力?；辛Ξa(chǎn)生的原因是高速運動過程中航行體尾部與空泡壁接觸，由此為航行體建模和機動控制帶來了極大的困難[2]。對超空泡航行體建模的研究，研究人員提出了不同的建模方法[3-5]。其中文獻[5]和文獻[6]建立了一種以空化器和尾舵作為控制輸入的控制模型，被學術(shù)界廣泛引用[7-9]。

超空泡航行體在縱平面運動的過程中會受到強非線性滑行力和外界干擾的影響，進而會導致航行體不穩(wěn)定。因此魯棒穩(wěn)定性能和干擾抑制性能成為了控制器設計的重點。H∞控制對解決魯棒穩(wěn)定性能有良好的作用，H2控制方法對于處理隨機噪聲、干擾等很有效果。于是結(jié)合H∞控制和H2控制的優(yōu)點，使系統(tǒng)同時具有良好的魯棒穩(wěn)定性能和干擾抑制性能的H2/H∞控制方法被越來越多的研究人員關(guān)注[10-13]。因此，考慮超空泡航行體縱平面運動時存在的外界干擾為噪聲干擾時，提出了一種H2/H∞狀態(tài)反饋魯棒控制器。

2 超空泡航行體建模

2.1 航行體數(shù)學模型

本文選用文獻[5]和文獻[6]所提出的控制模型。該模型表示如下

(1)

(2)

(3)

R′=(Rc-R)/R；浸入角α和浸入深度h′分別為

(4)

(5)

其中，空泡收縮率為

(6)

2.2 模型變換

航行體控制模型狀態(tài)空間表達式可描述為

(7)

通過滑行力機理可知，縱向速度w是唯一對其產(chǎn)生影響的狀態(tài)變量，為了將系統(tǒng)模型(7)轉(zhuǎn)換成LPV系統(tǒng)

(8)

圖1 p(w)和w的關(guān)系

(9)

考慮噪聲干擾，系統(tǒng)(9)又可寫為

(10)

B1∈R4為噪音干擾矩陣；w為噪聲干擾。

(11)

(12)

由于系統(tǒng)矩陣是關(guān)于時變參數(shù)p(w)的，且p(w)有界，因此可以將LPV系統(tǒng)轉(zhuǎn)化成多胞LPV系統(tǒng)，其中多胞系統(tǒng)矩陣如下

(13)

3 H2/H∞控制器設計

由式(12)和選擇的被調(diào)輸出，則航行體系統(tǒng)描述如下H2/H∞

(14)

本文的目標是設計H2/H∞狀態(tài)反饋控制器K(w)，即

(15)

將上式代入(14)中，得閉環(huán)系統(tǒng)

(16)

圖2 H2/H∞控制框圖

其中，Acl=A(w)+B2K(w)，C1cl=C1+D12K(w)，C2cl=C2+D22K(w)。

系統(tǒng)(16)具有以下性質(zhì)：

1)Acl是二次穩(wěn)定的；

定理1[14]：對于閉環(huán)LPV系統(tǒng)(16)，給定γ>0，則以下條件是等價的：

2)存在對稱正定矩陣P，滿足以下線性矩陣不等式

P=PT>0

(17)

證明 對式(17)的矩陣分別左乘和右乘diag{γ1/2I，γ1/2I，γ-1/2I}，令L=γP，易得當存在對稱矩陣P>0，使得式(17)成立當且僅當存在一個對稱矩陣L>0，使得

(18)

(19)

根據(jù)Schur補性質(zhì)，式(19)等價于

(20)

對任意T>0，考慮

(21)

在零初始狀態(tài)即V(xe(0))=0的條件下

(22)

由式(20)可得

(23)

進一步由零初始條件，可得

(24)

(25)

將式(17)展開有

(26)

對式(26)分別左乘和右乘矩陣diag{P-1，I，I}，并令X1=P-1和W=KX1可得

(27)

定理 2[14]對于閉環(huán)LPV系統(tǒng)(16)，給定η>0，則以下條件是等價的

2)存在對稱正定矩陣X2和Z，使得

(28)

(29)

Trace(Z)<η2

(30)

證明：假定系統(tǒng)(16)中的輸入w是獨立零均值的白噪聲過程。因此在零初始條件下，系統(tǒng)的狀態(tài)方差矩陣為

(31)

因此

(32)

當D22=0時，輸出方差為

(33)

(34)

(35)

Trace[(C2+D22K)X2(C2+D22K)T]<η2

(36)

引入對稱矩陣Z，若

(C2+D22K)X2(C2+D22K)T

(37)

則式(36)等價于

Trace(Z)<η2

(38)

利用Schur補性質(zhì)整理式(36)和(37)，定義W=KX2，則

(39)

(40)

由式(42)、(43)和(44)可得定理結(jié)論。證畢。

為了使系統(tǒng)(16)同時具有H2/H∞的性能指標，則定理1和定理2需同時滿足，即同時滿足式(27)、(38)、(39)和(40)。在以上4式中，有兩個不同的Lyapunov矩陣X1和X2。而且這兩個矩陣耦合在一起，為求解帶來了極大的困難。因此為方便求解，令X=X1=X2。

根據(jù)多面體理論，若式(27)、(38)、(39)和(40)成立，則下列各式也成立。

(41)

(42)

(43)

Trace(Z)<η2

(44)

定義J=αγ+βη，其中α和β為設定的權(quán)值，通過求解以下凸優(yōu)化過程，最終得到滿足要求的控制器

s.tto(45)-(48)

(45)

4 仿真分析

則仿真中控制器為

在本文所設計的H2/H∞狀態(tài)反饋控制器下，圖3～6為系統(tǒng)各狀態(tài)變量零初始狀態(tài)下跟蹤期望值的響應曲線，圖7～8為跟蹤期望值時，空化器及尾舵偏轉(zhuǎn)角的響應曲線。圖9為整個仿真過程中，滑行力的響應曲線。其中實線表示響應曲線，虛線表示期望值曲線。

圖3 航行體深度響應曲線

圖4 縱向速度響應曲線

圖5 俯仰角響應曲線

圖6 俯仰角速度響應曲線

圖7 空化器偏轉(zhuǎn)角響應曲線

圖8 尾舵偏轉(zhuǎn)角響應曲線

圖9 滑行力響應曲線

從圖7和圖8可以看出，仿真開始時，空化器和尾舵的偏轉(zhuǎn)角是飽和的，但在短時間內(nèi)能夠恢復到正常幅值內(nèi)。仿真過程中，系統(tǒng)各狀態(tài)變量均能快速跟蹤期望值的響應曲線。穩(wěn)態(tài)時，空化器最大偏轉(zhuǎn)角為-9度，尾舵最大偏轉(zhuǎn)角為28度，均滿足執(zhí)行器的限幅要求。如圖9所示，整個仿真過程中，滑行力均為零，這表明了在縱平面運動過程中，航行形體尾部沒有擺動出空泡內(nèi)部，因此并沒有和空泡壁有接觸，沒有出現(xiàn)尾拍現(xiàn)象。

5 結(jié)論

本文針對超空泡航行體的強非線性滑行力及外部噪聲干擾等問題，通過將基準控制模型轉(zhuǎn)換成LPV模型，結(jié)合H2和H∞控制的優(yōu)點提出了一種H2/H∞從仿真結(jié)果來看，本文所設計的H2/H∞控制器在超空泡航行體縱平面運動時存在噪聲干擾的情況下，依然可以快速、準確地跟蹤期望值信號，且響應時間短，同時具有良好的魯棒穩(wěn)定性能和干擾抑制性能。