洪 濤，王國(guó)剛，杜 斌

(1. 中國(guó)西安衛(wèi)星測(cè)控中心，陜西 西安 710000；2. 長(zhǎng)光衛(wèi)星技術(shù)有限公司， 吉林 長(zhǎng)春 130000)

1 引言

隨著時(shí)代的發(fā)展，空間任務(wù)的復(fù)雜性越來(lái)越高，單憑一顆或者幾顆大衛(wèi)星已不能滿(mǎn)足某些領(lǐng)域的任務(wù)要求，因此采用小衛(wèi)星星座來(lái)完成單星完成不了的任務(wù)，小衛(wèi)星星座包含少則幾十顆多則上百顆衛(wèi)星，衛(wèi)星的數(shù)量之多，增加了衛(wèi)星間的碰撞風(fēng)險(xiǎn)系數(shù)，碰撞預(yù)測(cè)和規(guī)避控制是防止小衛(wèi)星碰撞的有效且可行的手段[1-2]。若忽視碰撞安全問(wèn)題，可能會(huì)導(dǎo)致衛(wèi)星碰撞而造成災(zāi)難性后果。

由于衛(wèi)星長(zhǎng)期在軌運(yùn)行空間碎片環(huán)境中，以及任何的外部攝入和內(nèi)部故障都會(huì)引發(fā)衛(wèi)星發(fā)生碰撞[3]，從而導(dǎo)致任務(wù)失敗，所以要對(duì)星座構(gòu)形控制過(guò)程中的碰撞預(yù)測(cè)和碰撞規(guī)避進(jìn)行研究。目前碰撞預(yù)測(cè)的研究方法非常多，如區(qū)域法碰撞預(yù)警[4]、差分GPS載波相位碰撞檢測(cè)[5]、位置協(xié)方差計(jì)算碰撞概率[6]、衛(wèi)星碰撞預(yù)報(bào)并行算法[7]等，但是規(guī)避碰撞措施的研究比較少。文獻(xiàn)[8]提出了基于粒子群優(yōu)化(PSO)算法的在線軌跡優(yōu)化算法， 并將其應(yīng)用于衛(wèi)星編隊(duì)保持控制系統(tǒng)之中， 實(shí)現(xiàn)了高精度、低能耗的快速穩(wěn)定控制，避免了編隊(duì)衛(wèi)星間的碰撞。文獻(xiàn)[9]采用有界概率橢球理論計(jì)算碰撞概率，提出一種自主在線碰撞規(guī)避方法。針對(duì)小衛(wèi)星星座來(lái)說(shuō)，存在應(yīng)用約束和攜帶燃料的約束，考慮在原有的構(gòu)形基礎(chǔ)上進(jìn)行碰撞規(guī)避控制非常有必要。

以上的碰撞規(guī)避控制研究中，未考慮實(shí)際的工程應(yīng)用約束，本文考慮了載荷約束、測(cè)控資源約束、星座構(gòu)形約束等，采用數(shù)學(xué)表征法建立各約束的數(shù)學(xué)模型，針對(duì)帶有約束的軌道動(dòng)力學(xué)模型，設(shè)計(jì)了一種能量最優(yōu)的碰撞規(guī)避控制算法。結(jié)合實(shí)際的工程應(yīng)用需求和現(xiàn)有的地面站資源條件以及在軌衛(wèi)星的構(gòu)形約束，采用最優(yōu)霍曼理論，實(shí)現(xiàn)多約束下的能量最優(yōu)碰撞規(guī)避。

2 軌道動(dòng)力學(xué)建模

2.1 軌道建模

兩顆衛(wèi)星d和g正常在軌飛行，當(dāng)t時(shí)刻，衛(wèi)星d與衛(wèi)星g相交于空間某一點(diǎn)，兩顆衛(wèi)星即發(fā)生碰撞。設(shè)衛(wèi)星d當(dāng)前的位置和速度為r1和v1，衛(wèi)星g當(dāng)前的位置和速度為r2和v2，則衛(wèi)星碰撞圖如圖1所示。

圖1 衛(wèi)星碰撞示意圖

ρ=r1-r2

(1)

當(dāng)|ρ|≤ρm時(shí)，ρm為兩顆衛(wèi)星間允許的距離，需要提前將規(guī)避星施加某一個(gè)方向的推力，使規(guī)避星避開(kāi)目標(biāo)星，防止兩顆衛(wèi)星碰撞。假設(shè)兩個(gè)航天器都受到與距離平方成反比的中心引力作用，且目標(biāo)航天器不施加主動(dòng)軌道控制，則有

(2)

其中，aT為規(guī)避航天器的推力加速度。

2.2 約束建模

2.2.1 有效載荷約束

遙感衛(wèi)星的載荷與高度密切相關(guān)，當(dāng)軌道高度越高，載荷的分辨率將會(huì)下降，不滿(mǎn)足用戶(hù)需求；當(dāng)軌道高度越低，衛(wèi)星的軌道衰減越快，使用壽命大大減少。

成像載荷設(shè)計(jì)的分辨率為fl，分辨率允許偏差值為fp，可運(yùn)行在軌道高度為H，則衛(wèi)星軌道允許的高度為

(3)

軌道高度偏差就是載荷對(duì)軌道高度的約束，軌道半長(zhǎng)軸滿(mǎn)足

H+ae≤Hp+ae

(4)

2.2.2 測(cè)控資源約束

首先確定可利用的測(cè)控站，盡量選擇在測(cè)控弧段內(nèi)進(jìn)行軌道規(guī)避調(diào)整，當(dāng)可以預(yù)測(cè)到碰撞位置和時(shí)刻后，選擇可利用的測(cè)控站進(jìn)行控制指令發(fā)送，執(zhí)行規(guī)避控制。

(5)

碰撞時(shí)刻為t，則控制約束為

t-T>TL

(6)

其中，TL為規(guī)避控制提前時(shí)間，TL>4Tz，Tz為規(guī)避星的軌道周期，當(dāng)最接近TL的測(cè)控站資源被占用，調(diào)用次接近TL的測(cè)控站資源，依次遞推，得出適合的測(cè)控站資源。

2.2.3 控制策略約束

遙感小衛(wèi)星質(zhì)量輕，攜帶的燃料少，因此采用能量最優(yōu)規(guī)避控制。當(dāng)跟蹤星進(jìn)入目標(biāo)星的安全范圍后，給出跟蹤星控制標(biāo)志，制定控制策略，將碰撞點(diǎn)作為軌道轉(zhuǎn)移的遠(yuǎn)地點(diǎn)，控制點(diǎn)火時(shí)刻選擇在轉(zhuǎn)移軌道的近地點(diǎn)時(shí)刻，選擇合適的測(cè)控站上注指令，最優(yōu)控制量指標(biāo)為

Δr=az-ag

(7)

其中，az為以碰撞點(diǎn)為轉(zhuǎn)移軌道的遠(yuǎn)地點(diǎn)的軌道半長(zhǎng)軸，ag為規(guī)避星的軌道半長(zhǎng)軸。

2.2.4 星座能力約束

對(duì)于商業(yè)遙感星座，重訪和覆蓋是客戶(hù)最為關(guān)心的能力，相位分布情況直接影響重訪能力，因此，相位分布的保持尤為重要，若同一個(gè)軌道面上的衛(wèi)星高度相差較大，幾天時(shí)間就會(huì)超出允許相位差，因此控后盡量回到原來(lái)的高度或百米級(jí)的高度差。

假設(shè)速度增量為u，衛(wèi)星角速度為n，則半長(zhǎng)軸變化量Δa為

(8)

衛(wèi)星軌道周期為T(mén)，軌道控制后周期為T(mén)h，則每天的相位漂移速度為

(9)

(10)

3 碰撞規(guī)避控制設(shè)計(jì)

3.1 控制策略

對(duì)于碰撞規(guī)避，通過(guò)改變相對(duì)半長(zhǎng)軸來(lái)實(shí)現(xiàn)星間的安全飛行。假設(shè)兩顆衛(wèi)星，一顆為在軌正常運(yùn)行的目標(biāo)衛(wèi)星，另一顆變軌衛(wèi)星不斷靠近目標(biāo)星，采用主動(dòng)控制策略，假設(shè)變軌星從A點(diǎn)到B點(diǎn)的軌跡路徑的任意一點(diǎn)到目標(biāo)星的距離為r(t)，目標(biāo)星的安全球半徑為rs，則定義

Δr(t)=r(t)-rs

(11)

其中，Δr(t)為變軌星在路徑上與安全球的距離。其最小值Δr(t)min可以作為用來(lái)判斷是否發(fā)生碰撞的準(zhǔn)則。判斷準(zhǔn)則為：

(12)

當(dāng)Δr(t)min>0時(shí)，變軌星與目標(biāo)星不會(huì)發(fā)生碰撞的風(fēng)險(xiǎn)；當(dāng)Δr(t)min=0時(shí)，變軌星與目標(biāo)星存在碰撞的風(fēng)險(xiǎn)；當(dāng)Δr(t)min<0時(shí)，變軌星與目標(biāo)星會(huì)發(fā)生碰撞的風(fēng)險(xiǎn)。rs=rs1+rΔ，其中rΔ為預(yù)留距離，即準(zhǔn)備啟控時(shí)間。

3.2 多約束下最優(yōu)控制策略

設(shè)有以地心為中心的圓軌道1和橢圓軌道2，半徑分別為r1和r2，設(shè)r2>r1，航天器在軌道1上的K點(diǎn)施加與當(dāng)?shù)厮俣葀c1同方向的速度增量Δv1，進(jìn)入橢圓轉(zhuǎn)移軌道2，橢圓軌道H點(diǎn)為遠(yuǎn)地點(diǎn)，具體見(jiàn)圖2。

圖2 軌道轉(zhuǎn)移過(guò)程圖

根據(jù)軌道的能量公式可知，軌道1的機(jī)械能為

(13)

由軌道1到軌道2需要增加軌道能量，假設(shè)在K點(diǎn)的速度增量Δv1不是沿著vc1的方向，而是與vc1存在夾角θ，如圖3所示。

圖3 速度增量施加方向的影響

則在K點(diǎn)的機(jī)械能的變化為

(14)

由上式可知，要想增加機(jī)械能ΔE，當(dāng)θ=0時(shí)，Δv1最小，相當(dāng)于最省能量。此時(shí)所有的能量都用來(lái)增加軌道的動(dòng)能，不存在僅改變速度方向的分量Δv12。由此可定性的理解霍曼轉(zhuǎn)移的最優(yōu)性。

θ=0意味著K點(diǎn)和H點(diǎn)為轉(zhuǎn)移軌道的近地點(diǎn)和遠(yuǎn)地點(diǎn)，將兩顆衛(wèi)星的碰撞點(diǎn)選擇在L點(diǎn)，點(diǎn)火點(diǎn)選擇在近地點(diǎn)K點(diǎn)，這樣一來(lái)，兩顆即將碰撞的衛(wèi)星在遠(yuǎn)地點(diǎn)L處的距離最大。假設(shè)兩顆衛(wèi)星間的安全距離為r2-r1，在軌道面內(nèi)調(diào)整軌道來(lái)規(guī)避衛(wèi)星間的碰撞，在加入機(jī)械能ΔE時(shí)，兩顆衛(wèi)星在H點(diǎn)處達(dá)到最大距離。

橢圓轉(zhuǎn)移軌道的半長(zhǎng)軸ra=(r1+r2)/2，因此軌道的能量為

(15)

在K點(diǎn)，航天器由初始軌道進(jìn)入轉(zhuǎn)移軌道，需要的能量增量為

(16)

在K點(diǎn)處，機(jī)械能的改變都是動(dòng)能的改變，因此有

(17)

記nT=r2/r1，由式(1)和(2)可得

(18)

因此，霍曼轉(zhuǎn)移的特征速度為

(19)

霍曼轉(zhuǎn)移的時(shí)間為橢圓軌道周期的一半，即

(20)

霍曼轉(zhuǎn)移是共面圓軌道間、時(shí)間自由的沖量全局最優(yōu)轉(zhuǎn)移。實(shí)際控制中，將遠(yuǎn)地點(diǎn)作為碰撞位置，在近地點(diǎn)進(jìn)行點(diǎn)火，即燃料最省，也可以有效地規(guī)避碰撞。

4 算例分析

4.1 仿真輸入

1)選擇二體遞推模型進(jìn)行遞推；

2)軌道初始值和控制策略參數(shù)如表1和表2；

表1 衛(wèi)星初始軌道參數(shù)

表2 控制策略參數(shù)

3)最小安全距離設(shè)置為300m，小于300m時(shí)即發(fā)出預(yù)警，并進(jìn)行碰撞規(guī)避。

根據(jù)有效載荷，星座構(gòu)性約束、測(cè)控資源約束等數(shù)學(xué)模型，可知，

當(dāng)有效載荷分辨率為1m(@500km)，允許分辨率上限為1.002m，則允許調(diào)整的軌道高度不高于501km；

當(dāng)規(guī)避星軌道有兩顆衛(wèi)星，以180°等相位分布，允許相位偏置7°，當(dāng)調(diào)整50m時(shí)，相位差飄出0.059°/天，則118天飄出應(yīng)用需求允許范圍，因此允許調(diào)整的軌道高度范圍±50m以?xún)?nèi)，要求比較苛刻，因此，第一次在轉(zhuǎn)移軌道近地點(diǎn)處，衛(wèi)星飛行方向施加速度增量，第二次仍在近地點(diǎn)處，衛(wèi)星飛行反方向施加相同的速度增量，使規(guī)避衛(wèi)星回到原來(lái)軌道；

可用的測(cè)控站位長(zhǎng)春站、三亞站和喀什站，啟控時(shí)刻盡量選擇在可利用的較近的測(cè)控弧段內(nèi)，可選擇境外啟控。

4.2 數(shù)值仿真

采用Mmatlab進(jìn)行數(shù)值仿真，仿真時(shí)間24小時(shí)，設(shè)置目標(biāo)星安全距離為300m，兩顆衛(wèi)星2018.7.11 03：59：45開(kāi)始發(fā)生碰撞，則燃料最優(yōu)規(guī)避控制策略仿真如下。

選擇有效載荷約束，星座構(gòu)性約束、考慮測(cè)控資源約束，進(jìn)行燃料最優(yōu)規(guī)避控制。假設(shè)載荷允許衛(wèi)星軌道的最大高度調(diào)整范圍為200m以?xún)?nèi)；星座構(gòu)形約束衛(wèi)星軌道最大高度調(diào)整范圍50m以?xún)?nèi)；選擇合適的測(cè)控站為長(zhǎng)春站，上注延時(shí)控制指令，選擇轉(zhuǎn)移軌道的近地點(diǎn)時(shí)刻為點(diǎn)火時(shí)刻，點(diǎn)火方向和控制量見(jiàn)圖4所示。

圖4 燃料最優(yōu)控制

從圖4可知，規(guī)避星在轉(zhuǎn)移軌道的近地點(diǎn)處沿著飛行方向進(jìn)行點(diǎn)火控制，轉(zhuǎn)換到慣性系下的三軸的速度增量為X軸：0.0002m/s2，Y軸：0.0001m/s2，Z軸：0.0018m/s2。將碰撞點(diǎn)選擇為遠(yuǎn)地點(diǎn)，在載荷約束的情況下，則在碰撞點(diǎn)處兩顆星的距離最大達(dá)到300m，超出了碰撞距離，控制前后的半長(zhǎng)軸差在轉(zhuǎn)移軌道的遠(yuǎn)地點(diǎn)處為200m，誤差在2m以?xún)?nèi)，慣性系下的衛(wèi)星軌道如圖5-7所示。

圖5 慣性系下衛(wèi)星軌道

圖6 規(guī)避星控前控后軌道半長(zhǎng)軸

圖7 第二次軌道半長(zhǎng)軸控制量

由圖5-7可知，當(dāng)兩顆衛(wèi)星距離小于300m時(shí)，衛(wèi)星將要碰撞，至少提前2.5個(gè)軌道周期在長(zhǎng)春站內(nèi)上注指令，在近地點(diǎn)處開(kāi)始進(jìn)行軌道碰撞控制，在遠(yuǎn)地點(diǎn)時(shí)兩顆星的距離達(dá)到200m，再回到近地點(diǎn)時(shí)第兩次點(diǎn)火，半長(zhǎng)軸控制量不超過(guò)100.8m，第二次控后的軌道半長(zhǎng)軸為6913.527km，控前軌道半長(zhǎng)軸為6913.487km，控制前和控制后軌道半長(zhǎng)軸差為40m，在星座構(gòu)形約束范圍內(nèi)，滿(mǎn)足控制約束要求，兩顆衛(wèi)星碰撞規(guī)避如圖8所示。

圖8 碰撞規(guī)避圖

圖9 碰撞規(guī)避局部放大圖

從圖8和9可知，當(dāng)2018.7.11 03：59：45時(shí)，兩顆衛(wèi)星的距離小于300m，碰撞規(guī)避控制后的兩顆衛(wèi)星最小距離為2300m，在星座構(gòu)形約束和載荷約束的條件下，完成規(guī)避控制，半長(zhǎng)軸變化40m，因此以最優(yōu)燃料控制規(guī)避了兩星碰撞。

仿真效果可知，在存在約束和不存在約束的情況下，采用設(shè)計(jì)的自主碰撞規(guī)避算法很好的實(shí)現(xiàn)了衛(wèi)星的自主碰撞規(guī)避，證明了最優(yōu)碰撞規(guī)避算法的有效可行。

5 結(jié)論

本文設(shè)計(jì)了一種多約束下的能量最優(yōu)的碰撞規(guī)避控制解決了小衛(wèi)星間近距離碰撞問(wèn)題。

1)采用軌道力學(xué)和數(shù)學(xué)表征法建立了慣性系下的小衛(wèi)星軌道動(dòng)力學(xué)模型和約束模型；

2)根據(jù)帶有約束的動(dòng)力學(xué)模型，制定了碰撞規(guī)避策略；

3)通過(guò)數(shù)值分析了給出最優(yōu)的控制方向和控制時(shí)刻，采用霍曼變軌理論給出了最優(yōu)條件下的速度增量，實(shí)現(xiàn)了衛(wèi)星間的碰撞規(guī)避。

最后通過(guò)數(shù)學(xué)仿真給出有約束的碰撞規(guī)避軌跡，證明了設(shè)計(jì)的控制算法的有效性和可行性。