周玉俊

(江蘇省東臺(tái)市教師發(fā)展中心 224200)

2019年，教育部考試中心發(fā)布了《中國高考評價(jià)體系》，作為未來指導(dǎo)高考內(nèi)容和命題工作的綱領(lǐng)性文件，高考評價(jià)體系確立了“一核、四層、四翼”的理論體系框架[1](圖1)．其中作為教學(xué)引導(dǎo)的“一核——立德樹人、服務(wù)選材”和作為考查內(nèi)容的“四層——核心價(jià)值、學(xué)科素養(yǎng)、關(guān)鍵能力和必備知識(shí)”為我們的日常教學(xué)明確了具體要求和目標(biāo)方向．

圖1 “一核四層四翼”的 高考評價(jià)體系

作為日常教學(xué)的一種重要課型，單元復(fù)習(xí)課承載著幫助學(xué)生梳理知識(shí)、完善結(jié)構(gòu)、發(fā)展思維、提升素養(yǎng)等諸多教學(xué)功能，一直以來存在“大容量”“快節(jié)奏”和“高難度”等傾向，教師講得多，學(xué)生活動(dòng)少且往往疲于應(yīng)付，學(xué)習(xí)效果不佳．本文試圖結(jié)合“一核、四層”教學(xué)要求，以“勾股定理”單元復(fù)習(xí)教學(xué)為例，以學(xué)習(xí)進(jìn)階理論為依托，搭建以“問題鏈”為載體的進(jìn)階層級(jí)，探尋適合學(xué)生單元復(fù)習(xí)課教學(xué)實(shí)施的路徑和有效策略．

1 “學(xué)習(xí)進(jìn)階”的內(nèi)涵

學(xué)習(xí)進(jìn)階(Learning Progressions,簡稱Lps)也稱學(xué)習(xí)進(jìn)程，是近幾年美國科學(xué)教育改革中一個(gè)新興的概念，是對學(xué)生在一定時(shí)間跨度內(nèi)學(xué)習(xí)和探究某一主題時(shí)依次進(jìn)階、逐級(jí)深化的思維方式和學(xué)習(xí)路徑的描述，其本質(zhì)是圍繞學(xué)科中對某個(gè)學(xué)習(xí)主題的認(rèn)知發(fā)展過程，構(gòu)建基于學(xué)生認(rèn)知發(fā)展的學(xué)習(xí)進(jìn)階路徑．學(xué)習(xí)進(jìn)階理論認(rèn)為，學(xué)生對某一主題的學(xué)習(xí)不是一蹴而就的，需要經(jīng)歷進(jìn)階起點(diǎn)、許多個(gè)不同的中間水平從而到達(dá)進(jìn)階的終點(diǎn)．學(xué)習(xí)進(jìn)階定量描述了學(xué)生在學(xué)習(xí)某一主題時(shí)不同的思考階段，重視學(xué)生的深度思考，進(jìn)而尋求最佳的教學(xué)模式，以促進(jìn)各水平“階”的發(fā)生．[2]

新修訂的2020年《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》(以下簡稱“新課標(biāo)”)指出：在教學(xué)活動(dòng)中，教師應(yīng)合理設(shè)計(jì)教學(xué)目標(biāo)，通過相應(yīng)的教學(xué)實(shí)施，在學(xué)生掌握知識(shí)技能的同時(shí)，促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的提升及水平的達(dá)成．教師應(yīng)結(jié)合相應(yīng)的教學(xué)內(nèi)容，落實(shí)“四基”，培養(yǎng)“四能”，促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)達(dá)到相應(yīng)水平的要求．[3]在學(xué)習(xí)進(jìn)階理論視域下，學(xué)生在學(xué)習(xí)和探究某一主題時(shí)，比如初中數(shù)學(xué)單元復(fù)習(xí)課，教師能否準(zhǔn)確把握學(xué)生不同學(xué)習(xí)階段的水平層次，采取科學(xué)合理的方法和手段幫助學(xué)生有效實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)進(jìn)階是值得學(xué)習(xí)和研究的課題，這對包括新授課在內(nèi)的其他課型也有現(xiàn)實(shí)的借鑒意義．

2 “學(xué)習(xí)進(jìn)階”的學(xué)情分析

2.1 進(jìn)階起點(diǎn)

“勾股定理”是平面幾何中一個(gè)極其重要的定理，它揭示了直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系，是“數(shù)形結(jié)合”的重要橋梁和紐帶．根據(jù)課標(biāo)要求，蘇科版八上第三章《勾股定理》[4]的學(xué)習(xí)，學(xué)生要能準(zhǔn)確、系統(tǒng)、清晰地把握勾股定理及逆定理的內(nèi)涵和相互關(guān)系，并能應(yīng)用定理解決簡單的實(shí)際問題，這是各級(jí)學(xué)業(yè)水平考試的基本要求，也是本節(jié)課教學(xué)的進(jìn)階起點(diǎn)．

2.2 進(jìn)階目標(biāo)

一級(jí)目標(biāo)：在準(zhǔn)確把握勾股定理內(nèi)涵的基礎(chǔ)上，能結(jié)合具體情境解決簡單的實(shí)際問題；二級(jí)目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生在綜合情境中解決復(fù)雜問題的能力，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，感悟“數(shù)形結(jié)合”“化歸”和“方程”等數(shù)學(xué)思想方法，發(fā)展學(xué)科核心素養(yǎng)；三級(jí)目標(biāo)：通過課題學(xué)習(xí)，讓學(xué)生經(jīng)歷了解勾股定理歷史，講古今中外數(shù)學(xué)家研究勾股定理有趣的故事，收集整理勾股定理的各種證法等過程，培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)精神和愛國情懷，落實(shí)“立德樹人”目標(biāo)．

2.3 進(jìn)階障礙分析

由于新課教學(xué)時(shí)間偏緊，沒有對勾股定理歷史及證明的學(xué)習(xí)充分展開，加之后續(xù)又學(xué)習(xí)了實(shí)數(shù)等內(nèi)容，對原有知識(shí)的遺忘在所難免，造成部分學(xué)生對定理的證明不甚了解，只能是“知其然”而不“知其所以然”；技能方面，不少學(xué)生對在相對復(fù)雜情境中發(fā)現(xiàn)隱含的數(shù)學(xué)關(guān)系，進(jìn)而找到合適的目標(biāo)三角形意識(shí)和能力不強(qiáng)，這是本課學(xué)習(xí)進(jìn)階的難點(diǎn)，也是主要障礙；還有一些學(xué)生對定理、逆定理?xiàng)l件與結(jié)論之間的邏輯關(guān)系不清，缺乏有條理地思考和表達(dá)的能力；在解決立體圖形表面“最短路徑”問題中，通過空間想象和圖形展開折疊構(gòu)建目標(biāo)三角形也是學(xué)生能力的障礙點(diǎn).另外，如何通過專題學(xué)習(xí)，加深學(xué)生對定理豐富內(nèi)涵的認(rèn)識(shí)，培養(yǎng)科學(xué)精神和愛國情懷，對學(xué)生的合作意識(shí)和實(shí)踐能力也提出了較高要求．

3 基于“學(xué)習(xí)進(jìn)階”的教學(xué)設(shè)計(jì)

3.1 環(huán)節(jié)1：情境創(chuàng)設(shè)

問題1如圖2，這是矗立在薩摩斯島上的雕像，它給你帶來怎樣的數(shù)學(xué)聯(lián)想？

圖2

生：我能從圖中抽象出一個(gè)直角三角形．

師(追問)：直角三角形的角和邊有哪些性質(zhì)？

由此引入課題．

教學(xué)意圖以問題1為載體引導(dǎo)學(xué)生回顧知識(shí)、建構(gòu)體系，為本節(jié)課教學(xué)設(shè)置基礎(chǔ)的知識(shí)臺(tái)階和思維起點(diǎn)，進(jìn)而明確進(jìn)階目標(biāo)和進(jìn)階路徑．同時(shí)，問題1也是很好的數(shù)學(xué)史素材，為學(xué)生更好地了解勾股定理埋下了伏筆．

3.2 環(huán)節(jié)2：自主測評

共5小題，限于篇幅，題目略．

教學(xué)意圖讓學(xué)生養(yǎng)成自主整理知識(shí)的習(xí)慣，指導(dǎo)科學(xué)的復(fù)習(xí)方法是復(fù)習(xí)課教師的重要職責(zé)．課前教師布置學(xué)生進(jìn)行自主復(fù)習(xí)，在此基礎(chǔ)上完成自我檢測，經(jīng)教師批閱后，自主訂正，課上教師針對性地提問、引導(dǎo)，將知識(shí)梳理和小題解析相融合．在題目設(shè)置上，第1小題前兩空是定理的直接應(yīng)用，第3空考查了定理的幾何意義；第2小題考查了勾股定理逆定理和“勾股數(shù)”；第3小題強(qiáng)調(diào)了定理的本質(zhì)內(nèi)涵是“兩直角邊的平方和等于斜邊的平方”，同時(shí)滲透了分類討論的思想；第4小題是綜合應(yīng)用定理和逆定理求四邊形的面積，意在讓學(xué)生明確定理和逆定理的邏輯關(guān)系，進(jìn)行有條理的思考和表達(dá)；第5小題是用“趙爽弦圖”證明定理，目的在于強(qiáng)化邏輯推理，提高學(xué)生思維品質(zhì)，同時(shí)也是進(jìn)行德育滲透、落實(shí)“立德樹人”目標(biāo)的具體體現(xiàn)．

3.3 環(huán)節(jié)3：問題解決

問題2《九章算術(shù)》中的“折竹抵地”問題：如圖3，一根竹子，原高一丈(一丈等于10尺)，一陣風(fēng)將竹子折斷，其竹稍恰好抵地，抵地處離竹子底部6尺遠(yuǎn)，問折斷處離地面的高度是多少？

圖3 圖4 圖5

問題3(變式1) 《九章算術(shù)》中的“引葭赴岸”問題：如圖4，有一個(gè)池塘，其截面是邊長為10尺的正方形，一棵蘆葦AB生長在它的中央，高出水面部分BC為一尺．如果把該蘆葦沿與水池邊垂直的方向拉向岸邊，蘆葦?shù)捻敳緽恰好碰到岸邊，那么水深和蘆葦長各多少尺？

問題4如圖5，一塊直角三角形的紙片，兩直角邊AC=6 cm，BC=8 cm，現(xiàn)將直角邊AC沿直線AD折疊，使它落在斜邊AB上，且與AE重合，求CD的長．

問題5(變式2) 如圖6，在長方形ABCD中，AB=16，BC=8，將矩形沿AC折疊，點(diǎn)D落在點(diǎn)E處，且CE與AB交于點(diǎn)F，求線段AF的長．

圖6

問題6如圖7，測得長方體的木塊長4 cm，寬3 cm，高4 cm．一只蜘蛛潛伏在木塊的一個(gè)頂點(diǎn)A處，一只蒼蠅在這個(gè)長方體上和蜘蛛相對的頂點(diǎn)B處，蜘蛛究竟應(yīng)該沿著怎樣的路線爬上去，所走的路程會(huì)最短？請求最短路徑的長．

圖7

問題7(變式3) 求螞蟻在圓柱表面從一點(diǎn)爬行到另一點(diǎn)的最短路徑長．(題目略)

問題8(變式4) 一只螞蟻在一個(gè)三級(jí)臺(tái)階上沿著臺(tái)階面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B，求最短線路的長．(題目略)

教學(xué)意圖本環(huán)節(jié)共設(shè)置7個(gè)問題，分為三個(gè)不同層級(jí).問題2和問題3為第一層級(jí)，選取的是兩道我國古代問題，一道作為例題、一道作為變式練習(xí)，兩題的共同之處在于把生活情境轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題后，都可以用勾股定理構(gòu)建方程模型解決問題，區(qū)別在于問題3轉(zhuǎn)化的難度比問題2稍大；第二層級(jí)是問題4和問題5，兩題都是以幾何圖形為背景，通過“邏輯推理”尋找目標(biāo)三角形解決問題，難度上問題5的圖形和關(guān)系稍難于問題4，相對于題組一，這兩題要求學(xué)生能有條理、符合邏輯地思考和表達(dá)，是培養(yǎng)學(xué)生良好思維品質(zhì)和理性精神的好的載體；第三組題是問題6～問題8，都屬于求立體圖形表面“最短路徑”問題，為發(fā)展學(xué)生直觀想象能力，讓學(xué)生課前制作相應(yīng)模型，課上自主進(jìn)行操作探究，通過展開與折疊在同一平面內(nèi)尋求關(guān)系解決問題．三組題雖然看似形式各異，但從數(shù)學(xué)本質(zhì)上看都是在直角三角形中“知二求一”，用勾股定理來解決，一條主線，一個(gè)模型，讓整個(gè)環(huán)節(jié)環(huán)環(huán)緊扣，一氣呵成！實(shí)際教學(xué)時(shí)問題2、4、6作為例題處理，其他題目作為相應(yīng)變式練習(xí)讓學(xué)生當(dāng)堂鞏固，問題8可視課堂時(shí)間備用，也可作為當(dāng)天班級(jí)的“每日一題”使用．

3.4 環(huán)節(jié)4：課堂測評

限于篇幅，略．

3.5 環(huán)節(jié)5：課題學(xué)習(xí)

可安排課外時(shí)間實(shí)施．

問題9勾股定理形式簡單，寓意深刻，你希望更多了解勾股定理嗎？3～5人一組，選擇下面一個(gè)感興趣的課題進(jìn)行研究：(1)閱讀有關(guān)書籍或查閱有關(guān)資料，了解有關(guān)勾股定理的歷史；(2)閱讀有關(guān)書籍或查閱有關(guān)資料，收集整理勾股定理的各種證明方法．

問題10圍繞以下話題進(jìn)行交流，并分組制作一張專題手抄報(bào)：(1)說說你所知道的古今中外的數(shù)學(xué)家有關(guān)研究勾股定理的有趣故事；(2)介紹你搜集的驗(yàn)證勾股定理的一種方法；(3)談?wù)勗谏鲜稣n題學(xué)習(xí)活動(dòng)中你的收獲和困惑；(4)手抄報(bào)評比交流．

教學(xué)意圖《勾股定理》一章包含極為豐富的德育滲透點(diǎn)，為充分發(fā)揮其育人功能，實(shí)現(xiàn)“立德樹人”價(jià)值追求，上述環(huán)節(jié)讓學(xué)生有機(jī)會(huì)通過小組合作和研究性學(xué)習(xí)的方式，更多地了解勾股定理發(fā)展史，了解我國古代在這方面取得的成就以及古今中外的數(shù)學(xué)家研究勾股定理的故事，搜集勾股定理的不同證法，最后通過制作手抄報(bào)的形式進(jìn)行成果展示，以潛移默化地培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)精神和愛國情懷．限于課堂容量，本環(huán)節(jié)也可以安排課外時(shí)間專門進(jìn)行實(shí)施．

4 關(guān)于學(xué)習(xí)進(jìn)階路徑設(shè)計(jì)與實(shí)施策略的幾點(diǎn)思考

4.1 實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)進(jìn)階，在目標(biāo)達(dá)成上必須以“立德樹人”核心價(jià)值的落實(shí)為統(tǒng)領(lǐng)

2020年新修訂的普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)再次明確了堅(jiān)持正確的育人方向，落實(shí)“立德樹人”根本任務(wù)的要求．當(dāng)前，樹立以人為本立德樹人的教育觀，并在具體學(xué)科教學(xué)中加以有效落實(shí)，理應(yīng)成為我們每個(gè)學(xué)校和教師的自覺行動(dòng)．

數(shù)學(xué)承載著思想和文化，是人類文明的重要組成部分．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)科同樣承載著落實(shí)立德樹人根本任務(wù)的重要職責(zé)．不同版本的數(shù)學(xué)教材每個(gè)章節(jié)(單元)都或多或少包含進(jìn)行愛國主義教育、培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)精神的內(nèi)容，對此教師要充分關(guān)注，教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)要有意識(shí)以此為“孕育點(diǎn)”和“生長點(diǎn)”，結(jié)合特定教學(xué)任務(wù)進(jìn)行滲透和強(qiáng)化．單元復(fù)習(xí)課教學(xué)時(shí)，教師要充分挖掘教材中鮮活的德育素材，并及時(shí)進(jìn)行“畫龍點(diǎn)睛”式的引導(dǎo)，以提升課堂的育人價(jià)值．

勾股定理被稱為“人類最偉大的十個(gè)科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一”，其中蘊(yùn)含極為豐富的德育題材，是進(jìn)行德育滲透、培養(yǎng)學(xué)生理性精神和愛國情懷不可多得的“孕育點(diǎn)”“生長點(diǎn)”．本節(jié)課以課題學(xué)習(xí)為組織形式，讓學(xué)生閱讀有關(guān)書籍或查閱有關(guān)資料了解有關(guān)勾股定理的歷史、收集整理勾股定理的各種證明方法、講古今中外數(shù)學(xué)家有關(guān)研究勾股定理的有趣故事、制作專題手抄報(bào)以及交流自己在活動(dòng)中的收獲和困惑等，這樣做的用意就在于遵循學(xué)生身心發(fā)展規(guī)律，用文化的力量厚植他們的愛國情懷，提升核心素養(yǎng)．

4.2 實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)進(jìn)階，在路徑設(shè)計(jì)上要從“顯性”和“隱性”兩個(gè)不同維度分層進(jìn)行設(shè)計(jì)

確定“雙目標(biāo)”主線，幫助學(xué)生完善知識(shí)結(jié)構(gòu)、提升思維能力和學(xué)科素養(yǎng)水平，實(shí)現(xiàn)認(rèn)知能力的螺旋式上升是單元復(fù)習(xí)課設(shè)計(jì)的高層次追求．[5]教師須從“顯性”的知識(shí)技能層級(jí)和“隱性”的學(xué)科素養(yǎng)水平層級(jí)分別設(shè)計(jì)相應(yīng)的進(jìn)階路徑，做到“顯性”和“隱性”的有機(jī)融合和辯證統(tǒng)一．

在學(xué)習(xí)進(jìn)階理論視域下，本文從知識(shí)與技能的角度把勾股定理的應(yīng)用劃分為四個(gè)水平層級(jí)．自主測評的第1小題是最為簡單的“在直角三角形中知二求一”，屬于直接運(yùn)用知識(shí)，我們把它標(biāo)記為水平一；問題2及其變式數(shù)學(xué)本質(zhì)是“已知一邊及另兩邊的關(guān)系”，解題時(shí)需要用方程來解決，屬于間接運(yùn)用知識(shí)，我們把它標(biāo)記為水平二；問題3及其變式要求學(xué)生能在綜合情境中發(fā)現(xiàn)隱含的數(shù)學(xué)關(guān)系，進(jìn)而找到合適的直角三角形來解決問題，推理和表達(dá)的要求也略高于問題2，屬于靈活運(yùn)用知識(shí)，我們把它標(biāo)記為水平三；問題4屬于立體圖形表面兩點(diǎn)間的“最短路徑”問題，需要學(xué)生進(jìn)行直觀想象，在平面圖形中構(gòu)建直角三角形解決問題，屬于綜合運(yùn)用知識(shí)，我們把它標(biāo)記為水平四．

各水平層級(jí)之間的進(jìn)階路徑如圖8所示．從學(xué)科素養(yǎng)水平層級(jí)看，本節(jié)課的進(jìn)階路徑設(shè)計(jì)如圖9所示．

圖8 知識(shí)技能的 圖9 學(xué)科素養(yǎng)水平 進(jìn)階路徑 進(jìn)階路徑

本節(jié)課教者從“顯性”的知識(shí)技能層面和“隱性”的學(xué)科素養(yǎng)層面精心設(shè)計(jì)了兩條由低到高、漸次提升的進(jìn)階路徑，一明一暗，互相交融，共同服務(wù)學(xué)生學(xué)習(xí)進(jìn)階的整個(gè)過程．

4.3 實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)進(jìn)階，在教法選擇上要重視采用“問題鏈”的形式展開教學(xué)

“問題鏈”教學(xué)法是指在教學(xué)中，教師依據(jù)教學(xué)目標(biāo)將教學(xué)內(nèi)容設(shè)置成以問題為紐帶、以知識(shí)形成發(fā)展和培養(yǎng)學(xué)生思維能力為主線、以師生合作互動(dòng)為基本形式的新型教學(xué)模式．問題鏈教學(xué)著力提高學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和參與度，增強(qiáng)課堂教學(xué)的思維層次，對于促進(jìn)課堂教學(xué)提質(zhì)增效具有重要意義．[6]

實(shí)施“問題鏈”教學(xué)，關(guān)鍵在設(shè)置問題，要領(lǐng)在問題成“鏈”．精心選題是設(shè)計(jì)“問題鏈”的基礎(chǔ)，進(jìn)行單元復(fù)習(xí)教學(xué)，教師要認(rèn)真研讀教材，領(lǐng)會(huì)每道例、習(xí)題的設(shè)置意圖和教學(xué)功能，圍繞學(xué)習(xí)進(jìn)階目標(biāo)精心選題，并可作適當(dāng)改編，作為教學(xué)的主要題源，同時(shí)，近幾年全國各地好的中考題也是選題的重要資源．在初步選題的基礎(chǔ)上，教師要仔細(xì)研題，弄清每道題包含的數(shù)學(xué)內(nèi)涵，圍繞教學(xué)主線，按照不同層級(jí)，選取一些形式上有異而本質(zhì)關(guān)聯(lián)的題目以“問題鏈”形式加以呈現(xiàn)，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行變式拓展，幫助學(xué)生舉一反三、觸類旁通，加深對知識(shí)本質(zhì)的理解，促進(jìn)深度學(xué)習(xí)．

本節(jié)課在問題解決環(huán)節(jié)設(shè)置了自然、流暢的“問題鏈”，包括三道例題及同類變式題，三道例題之間以定理模型的運(yùn)用相互關(guān)聯(lián)，串聯(lián)成“鏈”．問題2是以實(shí)際問題為背景，在抽象成數(shù)學(xué)模型后，可以用方程來求解；問題3以幾何圖形形式呈現(xiàn)，學(xué)生需要在相對復(fù)雜的圖形中，通過推理尋找一個(gè)目標(biāo)三角形，用勾股定理列方程來解；問題4可以直接用勾股定理來計(jì)算，但前提是要將立體圖形轉(zhuǎn)化成平面圖形，再構(gòu)建一個(gè)合適的直角三角形．

除了在大的教學(xué)環(huán)節(jié)設(shè)置“問題鏈”外，在每道題的教學(xué)過程中，“問題鏈(串)”的設(shè)計(jì)也十分必要．比如問題4的教學(xué)，可以設(shè)計(jì)如下幾個(gè)問題：(1)你打算如何求CD的長？(2)為什么要這樣求解？(3)你是怎樣想到這樣做的？(4)以上的思考過程包含怎樣的數(shù)學(xué)思想方法？(轉(zhuǎn)化化歸、方程(模型)、數(shù)形結(jié)合等)；(5)通過本題的解答你積累了哪些解題經(jīng)驗(yàn)？這樣在大的“問題鏈”框架之下，再配以小的“問題鏈(串)”，通過系列問題引領(lǐng)，讓學(xué)生充分暴露真實(shí)的思維過程，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的思想和方法，讓學(xué)科素養(yǎng)在潛移默化中不斷得到提升！