基于新型趨近律的永磁直線同步電動(dòng)機(jī)全局滑?？刂?/h1>
2021-11-16 05:49:58宮海濤鄭如霞趙希梅
微特電機(jī) 2021年11期
宮海濤，徐 馳，鄭如霞，趙希梅
(1.遼寧泛適達(dá)科技有限公司，沈陽 110004； 2.沈陽工業(yè)大學(xué) 電氣工程學(xué)院，沈陽 110870)
0 引 言
近年來，人們對機(jī)械加工精度的要求日益提高，在傳統(tǒng)工業(yè)領(lǐng)域，通過旋轉(zhuǎn)電機(jī)實(shí)現(xiàn)直線驅(qū)動(dòng)已無法適應(yīng)現(xiàn)代工業(yè)對驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的需求，因此，直接驅(qū)動(dòng)技術(shù)受到了人們的廣泛關(guān)注。與“旋轉(zhuǎn)電機(jī)+滾珠絲杠”的傳統(tǒng)傳動(dòng)方式不同的是，永磁直線同步電動(dòng)機(jī)(以下簡稱PMLSM)利用電磁效應(yīng)，無需中間傳動(dòng)環(huán)節(jié)，直接驅(qū)動(dòng)執(zhí)行機(jī)構(gòu)做直線運(yùn)動(dòng)，且具有推力大、響應(yīng)速度快等優(yōu)點(diǎn)，在數(shù)控機(jī)床、醫(yī)療器械、軌道交通等重要場合得到廣泛應(yīng)用[1]。但在實(shí)際運(yùn)行過程中，PMLSM是一個(gè)非線性、多變量、耦合度高的復(fù)雜系統(tǒng)，且在運(yùn)行過程中會受到內(nèi)部參數(shù)攝動(dòng)、外部負(fù)載擾動(dòng)、摩擦阻力及端部效應(yīng)阻力等多方面影響，故對其控制的難度也相應(yīng)增加[2]。
近幾年來，滑?？刂?以下簡稱SMC)在許多對可靠性要求較高的運(yùn)動(dòng)控制場合中得到了廣泛的應(yīng)用[3]。SMC最大的特點(diǎn)是其控制作用具有不連續(xù)性，根據(jù)控制目標(biāo)所設(shè)計(jì)的切換面對外界干擾和參數(shù)變化等因素具有魯棒性[4]。SMC的不連續(xù)開關(guān)特性會引起抖振，而系統(tǒng)狀態(tài)軌跡趨近于滑模面的快速性與抖振程度相矛盾[5]。因此，縮短趨近時(shí)間、削弱抖振現(xiàn)象成為了SMC研究的主要方向。
國內(nèi)外許多學(xué)者對SMC進(jìn)行了廣泛研究[6-8]。文獻(xiàn)[9]在傳統(tǒng)指數(shù)趨近律的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)了一種變指數(shù)趨近律，通過引入變指數(shù)項(xiàng)函數(shù)，提高了系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)品質(zhì)以及抑制抖振的能力，達(dá)到了全局收斂，但控制律對參數(shù)變化適應(yīng)性低，調(diào)節(jié)速率較低，響應(yīng)速度較慢。為了提高系統(tǒng)的收斂速度。文獻(xiàn)[10]針對一類二階非線性系統(tǒng)提出了一種雙冪次型趨近律，既可削弱抖振現(xiàn)象，又能加快系統(tǒng)的收斂速度，但由于引入大量參數(shù)，加大了計(jì)算的復(fù)雜程度，占用計(jì)算內(nèi)存變高。文獻(xiàn)[11]將傳統(tǒng)符號函數(shù)替換為具有邊界層的飽和函數(shù)，對輸入不連續(xù)函數(shù)進(jìn)行連續(xù)化處理，削弱了抖振。但由于傳統(tǒng)的飽和函數(shù)邊界層固定，系統(tǒng)狀態(tài)軌跡無法漸近收斂至切換面，同時(shí)在邊界層內(nèi)系統(tǒng)的魯棒性也有所降低，影響了系統(tǒng)的位置跟蹤精度。文獻(xiàn)[12]提出了一種自適應(yīng)趨近律，可以根據(jù)系統(tǒng)狀態(tài)變量與滑模面的距離自適應(yīng)調(diào)整系統(tǒng)狀態(tài)向滑模面趨近時(shí)的速度，從而削弱了SMC固有的抖振現(xiàn)象，提高了系統(tǒng)的穩(wěn)定性，但系統(tǒng)的平衡點(diǎn)難以判斷，加大了系統(tǒng)的復(fù)雜性并降低了可應(yīng)用性。
為解決上述問題，實(shí)現(xiàn)PMLSM的高精度位置跟蹤控制，本文設(shè)計(jì)了一種基于新型趨近律的全局滑?？刂?以下簡稱GSMC)方法，在滑模面方程中引入非線性因子項(xiàng)來實(shí)現(xiàn)GSMC，保證系統(tǒng)穩(wěn)定運(yùn)行的同時(shí)，可以消除滑?？刂频牡竭_(dá)階段，使系統(tǒng)具有全局魯棒性。此外，引入具有動(dòng)態(tài)邊界層飽和函數(shù)的新型趨近律替代等速趨近律，使?fàn)顟B(tài)軌跡平穩(wěn)收斂至切換面上，削弱了輸出抖振，提升了系統(tǒng)控制性能。
1 PMLSM數(shù)學(xué)模型
在d-q坐標(biāo)系下，PMLSM的電磁推力方程可以表示:
(1)
式中:Fe表示電磁推力；pn表示極對數(shù)；ψf表示永磁體磁鏈；id，iq表示d，q軸電流；τ表示極距；Ld，Lq表示d，q軸電感。
采用矢量控制方法，取id=0，為方便設(shè)計(jì)，其中Ld=Lq，Kf=3πpψf/(2τ)，電磁推力方程簡化:
(2)
式中:Kf為電磁推力系數(shù)。
PMLSM的機(jī)械運(yùn)動(dòng)方程:
(3)
式中:M表示PMLSM的動(dòng)子總質(zhì)量；B為粘滯摩擦系數(shù)；v為動(dòng)子速度；F為總擾動(dòng)項(xiàng)，其中包括系統(tǒng)內(nèi)部參數(shù)攝動(dòng)、外部負(fù)載擾動(dòng)、摩擦阻力和端部效應(yīng)阻力等。
考慮F時(shí)，直線電機(jī)的動(dòng)態(tài)方程表示:
(Cn+ΔC)F
(4)
式中:x(t)為動(dòng)子位置；An=-B/M；Bn=Kf/M；Cn=-1/M；ΔA、ΔB、ΔC表示系統(tǒng)參數(shù)變化引起的不確定量，且是有界的。系統(tǒng)的不確定性總和D表示如下:
(5)
假設(shè)D有界，即|D|≤δ，其中δ為正常數(shù)。
2 系統(tǒng)設(shè)計(jì)
2.1 系統(tǒng)組成
采用基于新型趨近律GSMC的PMLSM系統(tǒng)框圖如圖1所示，將變邊界層飽和函數(shù)和新型趨近律應(yīng)用其中，消除了滑動(dòng)模態(tài)到達(dá)滑模面的快速性和抖振之間的矛盾，保證PMLSM伺服系統(tǒng)在受到不確定性因素影響時(shí)，仍能準(zhǔn)確跟蹤位置給定信號。
圖1 基于新型趨近律GSMC的PMLSM系統(tǒng)控制框圖
2.2 GSMC
滑模控制器的設(shè)計(jì)首先要構(gòu)造滑模面函數(shù)，隨后求解滑模控制律。為了使系統(tǒng)具有全局魯棒性，消除到達(dá)階段，加快收斂速度，系統(tǒng)采用GSMC方法。
設(shè)系統(tǒng)期望運(yùn)動(dòng)軌跡為xd，定義位移跟蹤誤差:
e=xd-x
(6)
全局滑模面函數(shù)設(shè)計(jì):
(7)
式中：c>0；f(t)滿足下列三個(gè)條件[13]:
(2)t→0時(shí)，f(t)→0；
(3)f(t)具有一階導(dǎo)數(shù)。
當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)滿足上述條件時(shí)，可確保s→0始終成立，使系統(tǒng)具備全局魯棒性，即實(shí)現(xiàn)GSMC,跟蹤誤差從任意狀態(tài)收斂到零。
根據(jù)上述條件，將函數(shù)f(t)定義:
(8)
因此，將式(7)改寫:
(9)
對于在不確定性因素影響下的系統(tǒng)，為保證系統(tǒng)狀態(tài)收斂至滑模面上，且具有魯棒性，滑模控制律可分為等效控制律ueq和切換控制律uvss兩個(gè)部分，因此，設(shè)計(jì)GSMC的控制律可表示:
u=ueq+uvss
(10)
(11)
(12)
因此，切換控制表達(dá)式:
(13)
(14)
式中：φ>0，為邊界厚度。
因此，將式(10)改寫:
(15)
選取李雅普諾夫函數(shù):
(16)
對式(16)求導(dǎo)得:
s[-δsgn(s)-D]=
-δ|s|-Ds≤0
(17)
因此，系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。
2.3 基于可變邊界層飽和函數(shù)的新型趨近律
由于系統(tǒng)在飽和函數(shù)邊界層內(nèi)部為線性化控制，魯棒性能較差，且系統(tǒng)狀態(tài)無法漸近收斂至切換面上，到達(dá)時(shí)間較長，影響了系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)。因此，本節(jié)設(shè)計(jì)了一種新型趨近律。
SMC通過選擇合適的趨近律來削弱抖振，通過引入開關(guān)函數(shù)來抑制參數(shù)變化以及外部擾動(dòng)的影響。等速趨近律的表達(dá)式：
(18)
等速趨近律的缺點(diǎn)是趨近速度單一，ρ值的大小決定系統(tǒng)的抗干擾性以及抖振大小，在sgn(s)的作用下，ρ值越大，系統(tǒng)抗擾性越強(qiáng)，但也使輸出的抖振更嚴(yán)重。因此，為削弱SMC中固有的抖振現(xiàn)象，在等速趨近律的基礎(chǔ)上予以改進(jìn)，提出了一種新型趨近律。
(19)
式中：x為系統(tǒng)的位置變量；s為滑模面；ε，η，δ均為大于零的常數(shù)。由式(19)可知，新型趨近律中起到切換作用的符號函數(shù)由飽和函數(shù)取代，以此實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)滑?？刂?，在一定程度上抑制了抖振，eq(x,s)是一個(gè)與系統(tǒng)狀態(tài)變量有關(guān)的函數(shù)，根據(jù)系統(tǒng)狀態(tài)與滑模面間的距離自適應(yīng)地調(diào)節(jié)向滑模面趨近的速度，|s|取值越大，即狀態(tài)點(diǎn)距離滑模面越遠(yuǎn)時(shí)，速度越快；|s|取值越小，即狀態(tài)點(diǎn)距離滑模面越近時(shí)，利用反正切函數(shù)的有界性，保證了系統(tǒng)的速度不會過大，讓狀態(tài)點(diǎn)不斷地向原點(diǎn)趨近，穿越滑模面后的幅值逐漸減小，加速系統(tǒng)趨于穩(wěn)定狀態(tài)，從而抑制了系統(tǒng)的抖振。
傳統(tǒng)飽和函數(shù)的邊界范圍為一定值，當(dāng)邊界層范圍較小時(shí)，在狀態(tài)軌跡趨向滑模面速度加快的同時(shí)，也加強(qiáng)了系統(tǒng)的抖振。為了抑制抖振，邊界層厚度取較大值，但在減小抖振幅度的同時(shí)也影響了系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)。因此，為了解決這個(gè)問題，設(shè)計(jì)了變邊界層飽和函數(shù)，其表達(dá)式:
(20)
將常數(shù)β(β>0)與位置狀態(tài)變量絕對值的反正切函數(shù)的乘積定義為該飽和函數(shù)的邊界層，利用反正切函數(shù)值域有界的特點(diǎn)，保證了邊界層厚度范圍不會隨著狀態(tài)變量與原點(diǎn)間的距離的增大而無限增大。邊界層的范圍隨著狀態(tài)變量收斂至零而逐漸縮減為零，保證了狀態(tài)軌跡漸近收斂到切換平面，從而實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)在原點(diǎn)的穩(wěn)定性。
將式(15)中的傳統(tǒng)等速趨近律替換為新型趨近律，滑?？刂坡杀硎?
(21)
選取李雅普諾夫函數(shù):
(22)
對式(22)求導(dǎo)得:
(23)
3 系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)分析
本實(shí)驗(yàn)采用TMS320F2812A型號DSP作為控制核心單元，對基于新型趨近律的GSMC進(jìn)行系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。PMLSM控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖2所示，系統(tǒng)由IPM模塊、PMLSM、PC+DSP控制單元、光電耦合器、電流傳感器、光柵尺等部分構(gòu)成。IPM用于進(jìn)行整流及逆變，輸出控制信號；光電耦合電路用于隔離強(qiáng)弱電信號，從而保護(hù)PWM輸出；電流傳感器采用霍爾傳感器，將檢測得到的電流信號輸出到DSP的A/D轉(zhuǎn)換電路；采用分辨率為1 μm的直線光柵檢測動(dòng)子實(shí)時(shí)位置，并將位置信號傳輸?shù)紻SP的正交編碼電路。
圖2 PMLSM控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖及實(shí)驗(yàn)裝置圖
為驗(yàn)證本控制方法的有效性，分別對基于式(15)和式(21)的GSMC方法進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)研究。其中，實(shí)驗(yàn)采用的PMLSM主要參數(shù)：p=3，Rs=2.1 Ω，ψf=0.09 Wb，Ld=Lq=41.4 mH，B=8.0 N·s/m，τ=32 mm，M=16.4 kg。電流PI控制器的參數(shù)設(shè)定：Kp=520，Ki=4000；在GSMC中，參數(shù)選?。篶=5，α=130,ρ=500；在新型趨近律中，參數(shù)選?。害?500，η=0.5，δ=0.5，β=0.5；動(dòng)子初始位置為0.2 mm。
位置信號給定幅值為1 mm的階躍信號，基于傳統(tǒng)飽和函數(shù)的GSMC和基于新型趨近律的GSMC的PMLSM控制系統(tǒng)的位置跟蹤曲線和位置誤差曲線如圖3所示。從圖3(a)中可以看出，兩種控制方法沒有明顯的超調(diào)量，均能在較短時(shí)間內(nèi)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，在3 s時(shí)刻，加入100 N的負(fù)載擾動(dòng)，從局部放大圖可以看出，基于普通飽和函數(shù)的GSMC在受到干擾后的波動(dòng)幅度明顯大于基于新型趨近律的GSMC波形波動(dòng)幅度。圖3(b)顯示，受到干擾后，基于傳統(tǒng)飽和函數(shù)的GSMC的最大位置跟蹤誤差為-0.37 μm，而基于新型趨近律的GSMC的最大位置跟蹤誤差僅為-0.18 μm，說明改進(jìn)后的控制方法具有更強(qiáng)的抗干擾能力。
圖3 階躍信號作用下PMLSM的位置跟蹤曲線和誤差曲線
兩種控制方法的輸入控制u曲線如圖4所示。從圖4中可以看出，基于傳統(tǒng)飽和函數(shù)的GSMC誤差收斂到零的速度較慢，時(shí)間較長，而且抖振現(xiàn)象明顯；而基于新型趨近律的GSMC收斂速度更快，且曲線較為平滑，沒有明顯的抖振現(xiàn)象。這是由于新型趨近律中采用邊界層可變的飽和函數(shù)替換了傳統(tǒng)的邊界層固定的飽和函數(shù)，邊界層隨著狀態(tài)點(diǎn)向滑模面的趨近逐漸減少至零，提高了系統(tǒng)在邊界層的魯棒性，削弱了抖振現(xiàn)象。因此，本文的新型趨近律在提高收斂速度和抑制抖振方面更加優(yōu)越。
圖4 控制輸入曲線
為進(jìn)一步驗(yàn)證本文的控制方法抗干擾性能，在電機(jī)運(yùn)行過程中，負(fù)載不斷變化。負(fù)載變化曲線如圖5(a)所示，基于傳統(tǒng)飽和函數(shù)的GSMC和基于新型趨近律的GSMC的PMLSM控制系統(tǒng)的位置跟蹤曲線和位置誤差曲線如圖5(b)和圖5(c)所示。電機(jī)運(yùn)行達(dá)到穩(wěn)態(tài)后，在2 s時(shí)，負(fù)載由20 N突變到50 N，從中可以看出，基于飽和函數(shù)的GSMC位置跟蹤誤差由-0.28 μm變化為-0.61 μm；而基于新型趨近律的GSMC無明顯波動(dòng)，位置跟蹤誤差由-0.16 μm變化為-0.31 μm。4 s時(shí)，負(fù)載由50 N突減到30 N，基于飽和函數(shù)的GSMC位置跟蹤誤差在-0.61 μm～-0.36 μm之間變化；而基于新型趨近律的GSMC的位置跟蹤誤差在-0.31 μm～-0.18 μm之間變化。6 s時(shí)，負(fù)載由30 N突變到40 N，基于飽和函數(shù)的GSMC位置跟蹤誤差由-0.36 μm變化為-0.5 μm，位置誤差增大了0.14 μm；而基于新型趨近律的GSMC的位置跟蹤誤差由-0.18 μm變化為-0.25 μm，位置誤差只增大了0.07 μm，誤差變化僅為基于飽和函數(shù)的GSMC的一半。8 s時(shí)，負(fù)載由40 N突減到10 N，基于飽和函數(shù)的GSMC最大位置跟蹤誤差為-0.49 μm；而基于新型趨近律的GSMC的最大位置跟蹤誤差僅為-0.25 μm。進(jìn)一步驗(yàn)證了基于新型趨近律的GSMC抗干擾能力更強(qiáng)，可提高系統(tǒng)的跟蹤性能。
圖5 變負(fù)載情況下PMLSM控制系統(tǒng)的位置跟蹤曲線和誤差曲線
從圖3和圖5中可以看出，在系統(tǒng)受到擾動(dòng)后，本方法仍只能確保系統(tǒng)位置收斂到一有界范圍內(nèi)，存在一定的穩(wěn)態(tài)誤差，可以通過調(diào)節(jié)ε和η的值來減小穩(wěn)態(tài)誤差，但同時(shí)也會相應(yīng)地增大輸出抖振，在應(yīng)用過程中需要在期望誤差及抖振大小之間進(jìn)行平衡。
4 結(jié) 語
本文采用了一種基于新型趨近律的GSMC方法來控制PMLSM運(yùn)行。首先采用GSMC方法控制電機(jī)運(yùn)行，消除了傳統(tǒng)SMC的到達(dá)階段不具有魯棒性的缺陷，使系統(tǒng)響應(yīng)具有全局魯棒性。為抑制滑?？刂浦械墓逃卸墩瘢趥鹘y(tǒng)等速趨近律的基礎(chǔ)上進(jìn)行了改進(jìn)，將邊界層固定的傳統(tǒng)飽和函數(shù)替換為邊界層動(dòng)態(tài)變化的新型飽和函數(shù)，得到了新型趨近律。最后通過實(shí)驗(yàn)得到了不同工況下的位置跟蹤曲線及誤差曲線。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，相較于基于傳統(tǒng)飽和函數(shù)的GSMC，本控制方案可以有效地削弱輸出抖振，提高PMLSM系統(tǒng)的收斂速度和位置跟蹤精度，使系統(tǒng)具備較強(qiáng)的魯棒性能。
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近年來，人們對機(jī)械加工精度的要求日益提高，在傳統(tǒng)工業(yè)領(lǐng)域，通過旋轉(zhuǎn)電機(jī)實(shí)現(xiàn)直線驅(qū)動(dòng)已無法適應(yīng)現(xiàn)代工業(yè)對驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的需求，因此，直接驅(qū)動(dòng)技術(shù)受到了人們的廣泛關(guān)注。與“旋轉(zhuǎn)電機(jī)+滾珠絲杠”的傳統(tǒng)傳動(dòng)方式不同的是，永磁直線同步電動(dòng)機(jī)(以下簡稱PMLSM)利用電磁效應(yīng)，無需中間傳動(dòng)環(huán)節(jié)，直接驅(qū)動(dòng)執(zhí)行機(jī)構(gòu)做直線運(yùn)動(dòng)，且具有推力大、響應(yīng)速度快等優(yōu)點(diǎn)，在數(shù)控機(jī)床、醫(yī)療器械、軌道交通等重要場合得到廣泛應(yīng)用[1]。但在實(shí)際運(yùn)行過程中，PMLSM是一個(gè)非線性、多變量、耦合度高的復(fù)雜系統(tǒng)，且在運(yùn)行過程中會受到內(nèi)部參數(shù)攝動(dòng)、外部負(fù)載擾動(dòng)、摩擦阻力及端部效應(yīng)阻力等多方面影響，故對其控制的難度也相應(yīng)增加[2]。
近幾年來，滑?？刂?以下簡稱SMC)在許多對可靠性要求較高的運(yùn)動(dòng)控制場合中得到了廣泛的應(yīng)用[3]。SMC最大的特點(diǎn)是其控制作用具有不連續(xù)性，根據(jù)控制目標(biāo)所設(shè)計(jì)的切換面對外界干擾和參數(shù)變化等因素具有魯棒性[4]。SMC的不連續(xù)開關(guān)特性會引起抖振，而系統(tǒng)狀態(tài)軌跡趨近于滑模面的快速性與抖振程度相矛盾[5]。因此，縮短趨近時(shí)間、削弱抖振現(xiàn)象成為了SMC研究的主要方向。
國內(nèi)外許多學(xué)者對SMC進(jìn)行了廣泛研究[6-8]。文獻(xiàn)[9]在傳統(tǒng)指數(shù)趨近律的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)了一種變指數(shù)趨近律，通過引入變指數(shù)項(xiàng)函數(shù)，提高了系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)品質(zhì)以及抑制抖振的能力，達(dá)到了全局收斂，但控制律對參數(shù)變化適應(yīng)性低，調(diào)節(jié)速率較低，響應(yīng)速度較慢。為了提高系統(tǒng)的收斂速度。文獻(xiàn)[10]針對一類二階非線性系統(tǒng)提出了一種雙冪次型趨近律，既可削弱抖振現(xiàn)象，又能加快系統(tǒng)的收斂速度，但由于引入大量參數(shù)，加大了計(jì)算的復(fù)雜程度，占用計(jì)算內(nèi)存變高。文獻(xiàn)[11]將傳統(tǒng)符號函數(shù)替換為具有邊界層的飽和函數(shù)，對輸入不連續(xù)函數(shù)進(jìn)行連續(xù)化處理，削弱了抖振。但由于傳統(tǒng)的飽和函數(shù)邊界層固定，系統(tǒng)狀態(tài)軌跡無法漸近收斂至切換面，同時(shí)在邊界層內(nèi)系統(tǒng)的魯棒性也有所降低，影響了系統(tǒng)的位置跟蹤精度。文獻(xiàn)[12]提出了一種自適應(yīng)趨近律，可以根據(jù)系統(tǒng)狀態(tài)變量與滑模面的距離自適應(yīng)調(diào)整系統(tǒng)狀態(tài)向滑模面趨近時(shí)的速度，從而削弱了SMC固有的抖振現(xiàn)象，提高了系統(tǒng)的穩(wěn)定性，但系統(tǒng)的平衡點(diǎn)難以判斷，加大了系統(tǒng)的復(fù)雜性并降低了可應(yīng)用性。
為解決上述問題，實(shí)現(xiàn)PMLSM的高精度位置跟蹤控制，本文設(shè)計(jì)了一種基于新型趨近律的全局滑?？刂?以下簡稱GSMC)方法，在滑模面方程中引入非線性因子項(xiàng)來實(shí)現(xiàn)GSMC，保證系統(tǒng)穩(wěn)定運(yùn)行的同時(shí)，可以消除滑?？刂频牡竭_(dá)階段，使系統(tǒng)具有全局魯棒性。此外，引入具有動(dòng)態(tài)邊界層飽和函數(shù)的新型趨近律替代等速趨近律，使?fàn)顟B(tài)軌跡平穩(wěn)收斂至切換面上，削弱了輸出抖振，提升了系統(tǒng)控制性能。
1 PMLSM數(shù)學(xué)模型
在d-q坐標(biāo)系下，PMLSM的電磁推力方程可以表示:
(1)
式中:Fe表示電磁推力；pn表示極對數(shù)；ψf表示永磁體磁鏈；id，iq表示d，q軸電流；τ表示極距；Ld，Lq表示d，q軸電感。
采用矢量控制方法，取id=0，為方便設(shè)計(jì)，其中Ld=Lq，Kf=3πpψf/(2τ)，電磁推力方程簡化:
(2)
式中:Kf為電磁推力系數(shù)。
PMLSM的機(jī)械運(yùn)動(dòng)方程:
(3)
式中:M表示PMLSM的動(dòng)子總質(zhì)量；B為粘滯摩擦系數(shù)；v為動(dòng)子速度；F為總擾動(dòng)項(xiàng)，其中包括系統(tǒng)內(nèi)部參數(shù)攝動(dòng)、外部負(fù)載擾動(dòng)、摩擦阻力和端部效應(yīng)阻力等。
考慮F時(shí)，直線電機(jī)的動(dòng)態(tài)方程表示:
(Cn+ΔC)F
(4)
式中:x(t)為動(dòng)子位置；An=-B/M；Bn=Kf/M；Cn=-1/M；ΔA、ΔB、ΔC表示系統(tǒng)參數(shù)變化引起的不確定量，且是有界的。系統(tǒng)的不確定性總和D表示如下:
(5)
假設(shè)D有界，即|D|≤δ，其中δ為正常數(shù)。
2 系統(tǒng)設(shè)計(jì)
2.1 系統(tǒng)組成
采用基于新型趨近律GSMC的PMLSM系統(tǒng)框圖如圖1所示，將變邊界層飽和函數(shù)和新型趨近律應(yīng)用其中，消除了滑動(dòng)模態(tài)到達(dá)滑模面的快速性和抖振之間的矛盾，保證PMLSM伺服系統(tǒng)在受到不確定性因素影響時(shí)，仍能準(zhǔn)確跟蹤位置給定信號。
圖1 基于新型趨近律GSMC的PMLSM系統(tǒng)控制框圖
2.2 GSMC
滑模控制器的設(shè)計(jì)首先要構(gòu)造滑模面函數(shù)，隨后求解滑模控制律。為了使系統(tǒng)具有全局魯棒性，消除到達(dá)階段，加快收斂速度，系統(tǒng)采用GSMC方法。
設(shè)系統(tǒng)期望運(yùn)動(dòng)軌跡為xd，定義位移跟蹤誤差:
e=xd-x
(6)
全局滑模面函數(shù)設(shè)計(jì):
(7)
式中：c>0；f(t)滿足下列三個(gè)條件[13]:
(2)t→0時(shí)，f(t)→0；
(3)f(t)具有一階導(dǎo)數(shù)。
當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)滿足上述條件時(shí)，可確保s→0始終成立，使系統(tǒng)具備全局魯棒性，即實(shí)現(xiàn)GSMC,跟蹤誤差從任意狀態(tài)收斂到零。
根據(jù)上述條件，將函數(shù)f(t)定義:
(8)
因此，將式(7)改寫:
(9)
對于在不確定性因素影響下的系統(tǒng)，為保證系統(tǒng)狀態(tài)收斂至滑模面上，且具有魯棒性，滑模控制律可分為等效控制律ueq和切換控制律uvss兩個(gè)部分，因此，設(shè)計(jì)GSMC的控制律可表示:
u=ueq+uvss
(10)
(11)
(12)
因此，切換控制表達(dá)式:
(13)
(14)
式中：φ>0，為邊界厚度。
因此，將式(10)改寫:
(15)
選取李雅普諾夫函數(shù):
(16)
對式(16)求導(dǎo)得:
s[-δsgn(s)-D]=
-δ|s|-Ds≤0
(17)
因此，系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。
2.3 基于可變邊界層飽和函數(shù)的新型趨近律
由于系統(tǒng)在飽和函數(shù)邊界層內(nèi)部為線性化控制，魯棒性能較差，且系統(tǒng)狀態(tài)無法漸近收斂至切換面上，到達(dá)時(shí)間較長，影響了系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)。因此，本節(jié)設(shè)計(jì)了一種新型趨近律。
SMC通過選擇合適的趨近律來削弱抖振，通過引入開關(guān)函數(shù)來抑制參數(shù)變化以及外部擾動(dòng)的影響。等速趨近律的表達(dá)式：
(18)
等速趨近律的缺點(diǎn)是趨近速度單一，ρ值的大小決定系統(tǒng)的抗干擾性以及抖振大小，在sgn(s)的作用下，ρ值越大，系統(tǒng)抗擾性越強(qiáng)，但也使輸出的抖振更嚴(yán)重。因此，為削弱SMC中固有的抖振現(xiàn)象，在等速趨近律的基礎(chǔ)上予以改進(jìn)，提出了一種新型趨近律。
(19)
式中：x為系統(tǒng)的位置變量；s為滑模面；ε，η，δ均為大于零的常數(shù)。由式(19)可知，新型趨近律中起到切換作用的符號函數(shù)由飽和函數(shù)取代，以此實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)滑?？刂?，在一定程度上抑制了抖振，eq(x,s)是一個(gè)與系統(tǒng)狀態(tài)變量有關(guān)的函數(shù)，根據(jù)系統(tǒng)狀態(tài)與滑模面間的距離自適應(yīng)地調(diào)節(jié)向滑模面趨近的速度，|s|取值越大，即狀態(tài)點(diǎn)距離滑模面越遠(yuǎn)時(shí)，速度越快；|s|取值越小，即狀態(tài)點(diǎn)距離滑模面越近時(shí)，利用反正切函數(shù)的有界性，保證了系統(tǒng)的速度不會過大，讓狀態(tài)點(diǎn)不斷地向原點(diǎn)趨近，穿越滑模面后的幅值逐漸減小，加速系統(tǒng)趨于穩(wěn)定狀態(tài)，從而抑制了系統(tǒng)的抖振。
傳統(tǒng)飽和函數(shù)的邊界范圍為一定值，當(dāng)邊界層范圍較小時(shí)，在狀態(tài)軌跡趨向滑模面速度加快的同時(shí)，也加強(qiáng)了系統(tǒng)的抖振。為了抑制抖振，邊界層厚度取較大值，但在減小抖振幅度的同時(shí)也影響了系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)。因此，為了解決這個(gè)問題，設(shè)計(jì)了變邊界層飽和函數(shù)，其表達(dá)式:
(20)
將常數(shù)β(β>0)與位置狀態(tài)變量絕對值的反正切函數(shù)的乘積定義為該飽和函數(shù)的邊界層，利用反正切函數(shù)值域有界的特點(diǎn)，保證了邊界層厚度范圍不會隨著狀態(tài)變量與原點(diǎn)間的距離的增大而無限增大。邊界層的范圍隨著狀態(tài)變量收斂至零而逐漸縮減為零，保證了狀態(tài)軌跡漸近收斂到切換平面，從而實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)在原點(diǎn)的穩(wěn)定性。
將式(15)中的傳統(tǒng)等速趨近律替換為新型趨近律，滑?？刂坡杀硎?
(21)
選取李雅普諾夫函數(shù):
(22)
對式(22)求導(dǎo)得:
(23)
3 系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)分析
本實(shí)驗(yàn)采用TMS320F2812A型號DSP作為控制核心單元，對基于新型趨近律的GSMC進(jìn)行系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。PMLSM控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖2所示，系統(tǒng)由IPM模塊、PMLSM、PC+DSP控制單元、光電耦合器、電流傳感器、光柵尺等部分構(gòu)成。IPM用于進(jìn)行整流及逆變，輸出控制信號；光電耦合電路用于隔離強(qiáng)弱電信號，從而保護(hù)PWM輸出；電流傳感器采用霍爾傳感器，將檢測得到的電流信號輸出到DSP的A/D轉(zhuǎn)換電路；采用分辨率為1 μm的直線光柵檢測動(dòng)子實(shí)時(shí)位置，并將位置信號傳輸?shù)紻SP的正交編碼電路。
圖2 PMLSM控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖及實(shí)驗(yàn)裝置圖
為驗(yàn)證本控制方法的有效性，分別對基于式(15)和式(21)的GSMC方法進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)研究。其中，實(shí)驗(yàn)采用的PMLSM主要參數(shù)：p=3，Rs=2.1 Ω，ψf=0.09 Wb，Ld=Lq=41.4 mH，B=8.0 N·s/m，τ=32 mm，M=16.4 kg。電流PI控制器的參數(shù)設(shè)定：Kp=520，Ki=4000；在GSMC中，參數(shù)選?。篶=5，α=130,ρ=500；在新型趨近律中，參數(shù)選?。害?500，η=0.5，δ=0.5，β=0.5；動(dòng)子初始位置為0.2 mm。
位置信號給定幅值為1 mm的階躍信號，基于傳統(tǒng)飽和函數(shù)的GSMC和基于新型趨近律的GSMC的PMLSM控制系統(tǒng)的位置跟蹤曲線和位置誤差曲線如圖3所示。從圖3(a)中可以看出，兩種控制方法沒有明顯的超調(diào)量，均能在較短時(shí)間內(nèi)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，在3 s時(shí)刻，加入100 N的負(fù)載擾動(dòng)，從局部放大圖可以看出，基于普通飽和函數(shù)的GSMC在受到干擾后的波動(dòng)幅度明顯大于基于新型趨近律的GSMC波形波動(dòng)幅度。圖3(b)顯示，受到干擾后，基于傳統(tǒng)飽和函數(shù)的GSMC的最大位置跟蹤誤差為-0.37 μm，而基于新型趨近律的GSMC的最大位置跟蹤誤差僅為-0.18 μm，說明改進(jìn)后的控制方法具有更強(qiáng)的抗干擾能力。
圖3 階躍信號作用下PMLSM的位置跟蹤曲線和誤差曲線
兩種控制方法的輸入控制u曲線如圖4所示。從圖4中可以看出，基于傳統(tǒng)飽和函數(shù)的GSMC誤差收斂到零的速度較慢，時(shí)間較長，而且抖振現(xiàn)象明顯；而基于新型趨近律的GSMC收斂速度更快，且曲線較為平滑，沒有明顯的抖振現(xiàn)象。這是由于新型趨近律中采用邊界層可變的飽和函數(shù)替換了傳統(tǒng)的邊界層固定的飽和函數(shù)，邊界層隨著狀態(tài)點(diǎn)向滑模面的趨近逐漸減少至零，提高了系統(tǒng)在邊界層的魯棒性，削弱了抖振現(xiàn)象。因此，本文的新型趨近律在提高收斂速度和抑制抖振方面更加優(yōu)越。
圖4 控制輸入曲線
為進(jìn)一步驗(yàn)證本文的控制方法抗干擾性能，在電機(jī)運(yùn)行過程中，負(fù)載不斷變化。負(fù)載變化曲線如圖5(a)所示，基于傳統(tǒng)飽和函數(shù)的GSMC和基于新型趨近律的GSMC的PMLSM控制系統(tǒng)的位置跟蹤曲線和位置誤差曲線如圖5(b)和圖5(c)所示。電機(jī)運(yùn)行達(dá)到穩(wěn)態(tài)后，在2 s時(shí)，負(fù)載由20 N突變到50 N，從中可以看出，基于飽和函數(shù)的GSMC位置跟蹤誤差由-0.28 μm變化為-0.61 μm；而基于新型趨近律的GSMC無明顯波動(dòng)，位置跟蹤誤差由-0.16 μm變化為-0.31 μm。4 s時(shí)，負(fù)載由50 N突減到30 N，基于飽和函數(shù)的GSMC位置跟蹤誤差在-0.61 μm～-0.36 μm之間變化；而基于新型趨近律的GSMC的位置跟蹤誤差在-0.31 μm～-0.18 μm之間變化。6 s時(shí)，負(fù)載由30 N突變到40 N，基于飽和函數(shù)的GSMC位置跟蹤誤差由-0.36 μm變化為-0.5 μm，位置誤差增大了0.14 μm；而基于新型趨近律的GSMC的位置跟蹤誤差由-0.18 μm變化為-0.25 μm，位置誤差只增大了0.07 μm，誤差變化僅為基于飽和函數(shù)的GSMC的一半。8 s時(shí)，負(fù)載由40 N突減到10 N，基于飽和函數(shù)的GSMC最大位置跟蹤誤差為-0.49 μm；而基于新型趨近律的GSMC的最大位置跟蹤誤差僅為-0.25 μm。進(jìn)一步驗(yàn)證了基于新型趨近律的GSMC抗干擾能力更強(qiáng)，可提高系統(tǒng)的跟蹤性能。
圖5 變負(fù)載情況下PMLSM控制系統(tǒng)的位置跟蹤曲線和誤差曲線
從圖3和圖5中可以看出，在系統(tǒng)受到擾動(dòng)后，本方法仍只能確保系統(tǒng)位置收斂到一有界范圍內(nèi)，存在一定的穩(wěn)態(tài)誤差，可以通過調(diào)節(jié)ε和η的值來減小穩(wěn)態(tài)誤差，但同時(shí)也會相應(yīng)地增大輸出抖振，在應(yīng)用過程中需要在期望誤差及抖振大小之間進(jìn)行平衡。
4 結(jié) 語
本文采用了一種基于新型趨近律的GSMC方法來控制PMLSM運(yùn)行。首先采用GSMC方法控制電機(jī)運(yùn)行，消除了傳統(tǒng)SMC的到達(dá)階段不具有魯棒性的缺陷，使系統(tǒng)響應(yīng)具有全局魯棒性。為抑制滑?？刂浦械墓逃卸墩瘢趥鹘y(tǒng)等速趨近律的基礎(chǔ)上進(jìn)行了改進(jìn)，將邊界層固定的傳統(tǒng)飽和函數(shù)替換為邊界層動(dòng)態(tài)變化的新型飽和函數(shù)，得到了新型趨近律。最后通過實(shí)驗(yàn)得到了不同工況下的位置跟蹤曲線及誤差曲線。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，相較于基于傳統(tǒng)飽和函數(shù)的GSMC，本控制方案可以有效地削弱輸出抖振，提高PMLSM系統(tǒng)的收斂速度和位置跟蹤精度，使系統(tǒng)具備較強(qiáng)的魯棒性能。
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