陳 群，楊宗霄,b,付主木

(河南科技大學(xué) a.信息工程學(xué)院；b.低風(fēng)速風(fēng)電技術(shù)河南省工程實驗室，河南 洛陽 471023)

0 引言

壓電定位臺因具有大輸出力、高分辨率和較快的響應(yīng)速度，在微裝配、掃描探針顯微鏡、壓電快刀伺服和生物細胞微操作等重要領(lǐng)域得到了越來越多的應(yīng)用[1-4]。但是其本身存在的遲滯、蠕變等強非線性和不確定因素對定位跟蹤性能產(chǎn)生了諸多負面影響，導(dǎo)致控制系統(tǒng)的設(shè)計一直以來都是一個具有挑戰(zhàn)性的難題。為了滿足壓電定位臺對高速高精度定位跟蹤的技術(shù)需求，文獻[5-8]提出了許多不同的控制方法。近年來，一些魯棒控制方案得到了研究人員的青睞，比如神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制[9]、模糊邏輯控制[10]、滑?？刂芠11]和H無窮控制[12]等。其中，滑?？刂埔蚱浣Y(jié)構(gòu)簡單、魯棒性強等優(yōu)異性能得到了研究者的極大關(guān)注[13]。

滑?？刂频脑O(shè)計目標是引導(dǎo)系統(tǒng)的狀態(tài)達到預(yù)定義的滑動超平面，并保持在該平面上運動。傳統(tǒng)滑模控制可使系統(tǒng)狀態(tài)漸近收斂[14]，而終端滑模控制可確保系統(tǒng)有限時間收斂[15]，因此得到了廣泛研究。但是，終端滑?？刂撇荒芴峁┹^好的快速收斂性能，其收斂時間遠離平衡點時會變得更長?？焖俳K端滑?？刂芠16]采用了收斂速度更快的滑模面，同時具備傳統(tǒng)線性滑模和終端滑模的優(yōu)點。但是,其性能依賴于系統(tǒng)的一些設(shè)計參數(shù)[17]，甚至可能導(dǎo)致系統(tǒng)奇異。鑒于此，性能更加優(yōu)異的非奇異快速終端滑?？刂剖菍崿F(xiàn)壓電定位臺魯棒精密跟蹤控制的一個較好途徑。

文獻[18-20]提出了幾種實現(xiàn)非奇異快速終端滑?？刂频姆椒?，其共同特點是快速收斂、無抖振、非奇異，然而這些文獻并沒有討論該方法是否適合于壓電定位系統(tǒng)?？焖俸透呔仁菈弘姸ㄎ慌_的重要性能指標，具備無抖振快速收斂性能的非奇異快速終端滑?？刂朴兄趯崿F(xiàn)壓電系統(tǒng)的性能。文獻[21]將非奇異終端滑模面和快速趨近律相結(jié)合，用于實現(xiàn)對壓電臺控制器的設(shè)計。文獻[22]將終端滑模面和指數(shù)趨近律相結(jié)合，設(shè)計了一種增益可自適應(yīng)調(diào)節(jié)的快速收斂控制器，實現(xiàn)了對壓電定位臺的跟蹤控制。

由于壓電定位臺的非線性動力學(xué)特性中存在的不確定因素及干擾，會導(dǎo)致控制器設(shè)計失敗，而神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可以有效解決這類未知非線性和干擾問題[23]。因此，本文基于一種雙冪次快速終端滑模面，研究了一種基于徑向基函數(shù)(radial basis function, RBF)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的非奇異快速終端滑?？刂破鳎瑢崿F(xiàn)了對壓電定位臺的有效精密位置跟蹤。只使用壓電定位臺的一個確切模型參數(shù)，其他參數(shù)使用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來逼近，緩解了模型辨識的難度，在壓電定位與位置跟蹤領(lǐng)域具有較好的理論價值和應(yīng)用前景。

1 被控對象建模

1.1 平臺描述及建模

圖1 壓電定位臺

圖1為自行設(shè)計的壓電定位臺，由鋁合金Al7075材料采用電火花線切割加工而成。其總體尺寸為93 mm×93 mm，在XY兩個方向由兩個完全相同的壓電致動器對平臺進行驅(qū)動。由于其軸間耦合很小，兩個方向的性質(zhì)基本相同，因此本文僅對X方向的運動狀態(tài)進行研究。當在X方向施加一個驅(qū)動電壓時，平臺將會產(chǎn)生一個X方向的運動位移量。該位移量將由應(yīng)變傳感器進行測量。由于壓電非線性的存在，平臺的電壓與位移成非線性關(guān)系。

通常情況下，壓電定位臺的輸入電壓和輸出位移可以建模為如下關(guān)系[24]：

(1)

其中：u為對平臺施加的輸入電壓，V；x為測量的平臺位移，μm；ξ為平臺的阻尼比；wn為平臺的諧振頻率，rad/s；k為平臺的穩(wěn)態(tài)增益，N/μm；de為一個已知的壓電常數(shù)，μm/V；α1、α2和α3為遲滯環(huán)的形狀參數(shù)，三者的組合共同決定了遲滯環(huán)的高度、寬度和傾斜度等幾何指標；h為一種不可測量的遲滯狀態(tài)變量，μm，它可以由參數(shù)α1、α2、α3和de共同確定。

1.2 模型參數(shù)估計

當對平臺進行位置跟蹤控制時，如果平臺的模型參數(shù)是已知的，控制器的設(shè)計將會非常方便。本文首先采用下述方法對平臺的各個參數(shù)進行辨識，然后再設(shè)計相應(yīng)的控制算法。

圖2 準靜態(tài)條件下辨識模型與試驗數(shù)據(jù)的輸入輸出關(guān)系曲線

(a) 幅頻響應(yīng)對比

(b) 相頻響應(yīng)對比

采用上述方法可以獲得被控壓電定位臺模型(1)的所有參數(shù)，從而便于基于模型的控制器設(shè)計。采用辨識方法獲得的參數(shù)不可能完全精確，總是存在辨識誤差，因此，此處獲得的模型參數(shù)將為控制器設(shè)計提供一個初步的估計值，在后續(xù)的控制器設(shè)計中，辨識誤差將被視為一種干擾。

2 控制算法

首先，基于非奇異滑模面設(shè)計一個非奇異快速終端滑模控制器，然后采用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來逼近壓電平臺的模型參數(shù)，進而設(shè)計一個RBF非奇異快速終端滑?？刂破?，并基于李雅普諾夫(Lyaponuv)理論給出詳細的穩(wěn)定性證明。

2.1 非奇異快速終端滑?？刂?/h3>

(2)

假設(shè)1由于前述部分的辨識模型參數(shù)已經(jīng)很精確，因此辨識誤差很小，可假設(shè)Δ是有界的[25]，且滿足|Δ|≤D，D為正常數(shù)。

本文跟蹤控制器設(shè)計的目標是，設(shè)計一個控制律使其能夠迫使系統(tǒng)輸出位移x沿著期望的軌跡xd運動，穩(wěn)態(tài)誤差收斂為0。為實現(xiàn)軌跡跟蹤，定義位置跟蹤誤差及其導(dǎo)數(shù)為：

e=xd-x；

(3)

(4)

(5)

設(shè)計如下的雙冪次非奇異滑模面：

(6)

其中：α，β∈R+；p，q，m,n均為奇數(shù)，且滿足p/q>m/n>1，則：

(7)

將式(2)和式(5)代入式(7)，可得：

(8)

(9)

同時，提出如下切換控制律：

(10)

其中：η>0；D為Δ的上界，即D≥Δsgn (s)。

因此，總的控制律為：

(11)

下面給出該系統(tǒng)的穩(wěn)定性定理，證明從略。

定理1對于模型(1)，如果滿足假設(shè)1，采用滑模面(6)和控制律(11)，可保證閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，位置跟蹤誤差(3)在有限時間內(nèi)漸近收斂到0。

2.2 RBF非奇異快速終端滑?？刂?/h3>

在上述控制算法中，控制律(11)中的f依賴于辨識模型參數(shù)，采用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對參數(shù)逼近可以實現(xiàn)更加精確的控制。因此，提出了基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的壓電定位臺非奇異快速終端滑模位置跟蹤控制算法。

圖4 RBF非奇異快速終端滑?？刂破鞣娇驁D

圖4為RBF非奇異快速終端滑?？刂破鞣娇驁D，圖4中的被控對象為模型(1)代表的壓電平臺，虛線框部分為提出的控制器?？刂破鞲鶕?jù)位置命令執(zhí)行控制算法，使得被控對象的輸出x與位置命令xd之間的誤差趨近于0。

(12)

f=w*Tφ(y)+ε(y)

,

(13)

(14)

使用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸出(12)來替代控制律(11)中的f，得到新的RBF非奇異快速終端滑?？刂破髟O(shè)計ucnn：

(15)

因此，提出如下定理：

定理2對于模型(1)，如果采用滑模面(6)、控制器(15)和更新律(20)，可保證閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，位置跟蹤誤差(3)在有限時間內(nèi)將漸近收斂到0。

由式(12)和式(14)可得：

(16)

再將式(19)代入式(8)可得：

(17)

聯(lián)立式(12)、式(15)和式(17)可得：

(18)

(19)

于是可選擇如下的自適應(yīng)更新律：

(20)

然后可得：

(21)

值得注意的是，上述控制律中符號函數(shù)sgn (·)的不連續(xù)性會在系統(tǒng)中引入抖振，影響跟蹤精度。為了避免這一現(xiàn)象，本文使用雙曲正切函數(shù)tanh (·)來替代符號函數(shù)[29]。具體來說，符號函數(shù)sgn (s)用tanh (s/ζ)來替代，其中，ζ是一個非常小的正常數(shù)。

3 仿真結(jié)果和討論

根據(jù)上述分析與設(shè)計，對兩種控制器分別進行了仿真。非奇異快速終端滑?？刂破鞯膮?shù)選擇為α=0.5，β=0.8，p=5，q=3，m=57，n=55，D=1，其控制跟蹤效果如圖5所示。從圖5a中可以看到：在本文設(shè)計的控制器作用下，實際位置能夠達到期望的參考位置，實現(xiàn)對參考信號的有效跟蹤。由圖5b可知：其誤差漸近收斂，經(jīng)計算得到平均誤差為0.07 μm，均方根誤差為0.021 μm，誤差在5 s內(nèi)從接近0.11 μm逐漸降低到0.05 μm。圖5c給出了該控制器對壓電平臺的控制輸入信號，該信號在0.02 s以前連續(xù)遞減，沒有波動。

(a) 位置跟蹤對比

(b) 位置跟蹤誤差

(c) 輸入信號

(a) 位置跟蹤對比

(b) 位置跟蹤誤差

(c) 輸入信號

4 結(jié)束語

本文針對壓電定位臺的精確位置跟蹤問題，提出了一種基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和非奇異滑模面的跟蹤控制器。在對壓電定位臺建模的基礎(chǔ)上，采用滑模變結(jié)構(gòu)控制理論推導(dǎo)出了RBF非奇異快速終端滑?？刂扑惴?，并采用李雅普諾夫理論證明了其穩(wěn)定性。通過仿真驗證了所提出方法的正確性。由于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的逼近作用，該方法在相同時間內(nèi)和相同控制參數(shù)條件下能夠達到更加精確的跟蹤效果。然而,本文方法僅考慮了單軸壓電系統(tǒng)，多軸耦合壓電系統(tǒng)的跟蹤控制將是下一步的研究重點。