周文浩，王 沁，張紅梅，汪 玲

西南交通大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院統(tǒng)計(jì)系，成都 611756

在全球經(jīng)濟(jì)一體化的推進(jìn)下，中國(guó)金融市場(chǎng)的波動(dòng)日益加劇，金融風(fēng)險(xiǎn)也隨之不斷增加，因此，對(duì)金融市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行度量與控制是非常有必要的．VaR作為金融風(fēng)險(xiǎn)度量的關(guān)鍵指標(biāo)，將不同資產(chǎn)的組合風(fēng)險(xiǎn)綜合成一個(gè)數(shù)值進(jìn)行度量，在國(guó)際金融市場(chǎng)得到了廣泛認(rèn)可與應(yīng)用．

資產(chǎn)收益波動(dòng)的估計(jì)是度量VaR的關(guān)鍵，為此國(guó)內(nèi)外學(xué)者通常選用GARCH簇模型來(lái)對(duì)資產(chǎn)波動(dòng)進(jìn)行度量，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)對(duì)VaR更有效地控制與預(yù)測(cè)．文獻(xiàn)[1]結(jié)合EVT與GARCH模型對(duì)市場(chǎng)的VaR進(jìn)行預(yù)測(cè)，實(shí)現(xiàn)了極端風(fēng)險(xiǎn)的精確度量； 文獻(xiàn)[2]基于GARCH模型，針對(duì)基金收益率序列，計(jì)算各種基金收益率序列的VaR，發(fā)現(xiàn)各基金具有相似的風(fēng)險(xiǎn)偏好； 文獻(xiàn)[3]利用對(duì)沖基金日交易數(shù)據(jù)，建立了GARCH模型，預(yù)測(cè)對(duì)沖基金的波動(dòng)率并計(jì)算其VaR，減少對(duì)沖基金激進(jìn)的投資策略對(duì)市場(chǎng)的沖擊； 文獻(xiàn)[4]用ARFIMA-ARCH模型來(lái)對(duì)中國(guó)股票市場(chǎng)長(zhǎng)記憶性進(jìn)行分析并對(duì)VaR進(jìn)行測(cè)算與檢驗(yàn)； 文獻(xiàn)[5]基于ARFIMA-GARCH-F模型對(duì)重慶市空氣質(zhì)量指數(shù)(AQI)的VaR進(jìn)行了度量與檢驗(yàn)； 文獻(xiàn)[6]基于不同分布下的FIGARCH計(jì)算了期貨的VaR，結(jié)果表明FIGARCH相較于GARCH模型更精確； 文獻(xiàn)[7]結(jié)合有偏t分布與FIGARCH對(duì)股票市場(chǎng)的VaR進(jìn)行測(cè)算與檢驗(yàn)，證明了FIGARCH在實(shí)踐中風(fēng)險(xiǎn)控制的優(yōu)越性； 文獻(xiàn)[8]應(yīng)用ARFIMA-FIGARCH模型對(duì)同業(yè)拆借利率進(jìn)行度量并結(jié)合VaR對(duì)模型優(yōu)劣進(jìn)行檢驗(yàn)，結(jié)果表明ARFIMA-FIGARCH能更好地刻畫(huà)同業(yè)拆借利率的波動(dòng)特征．盡管雙長(zhǎng)記憶的ARFIMA-FIGARCH模型能有效地刻畫(huà)資產(chǎn)收益的雙長(zhǎng)記憶性和異方差性，但考慮杠桿效應(yīng)的存在以及高階矩對(duì)收益的影響，需要對(duì)ARFIMA-FIGARCH模型進(jìn)行修正與拓展，從而有效地度量股票市場(chǎng)的VaR以及預(yù)測(cè)和檢驗(yàn)．

考慮到高頻數(shù)據(jù)日內(nèi)“U”型特點(diǎn)，文獻(xiàn)[9]結(jié)合高頻信息首次提出“已實(shí)現(xiàn)”波動(dòng)率(realized volatility，RV)，作為波動(dòng)率的全新非參數(shù)度量方法； 文獻(xiàn)[10]建立ARFIMA-RV模型并實(shí)證表明RV的引入能很好地刻畫(huà)資產(chǎn)的波動(dòng)特征并大幅度提升模型的擬合與預(yù)測(cè)能力； 文獻(xiàn)[11]基于已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率建立了ARFIMAX-FIGARCH模型，對(duì)農(nóng)產(chǎn)品期貨市場(chǎng)波動(dòng)率進(jìn)行預(yù)測(cè)，結(jié)果表明引入RV能使ARFIMA-FIGARCH模型預(yù)測(cè)精度更高．但真實(shí)市場(chǎng)往往可能存在跳躍點(diǎn)，這導(dǎo)致RV的穩(wěn)健性與有效性可能難以成立．因此文獻(xiàn)[12]結(jié)合高頻極差信息提出了已實(shí)現(xiàn)極差(realized range variance，RRV)，并證明RRV的有效性約為RV的5倍，實(shí)現(xiàn)了對(duì)RV與市場(chǎng)真實(shí)波動(dòng)率擬合的優(yōu)化．文獻(xiàn)[13]在理論上證明了已實(shí)現(xiàn)極差波動(dòng)率是比已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率更有效的波動(dòng)估計(jì)量； 文獻(xiàn)[14]基于已實(shí)現(xiàn)極差建立了LHAR-RRV-CJ模型，分析了中國(guó)股市的異質(zhì)性、 跳躍性以及杠桿效應(yīng)； 文獻(xiàn)[15]基于已實(shí)現(xiàn)極差建立了CARR-EVT模型，實(shí)現(xiàn)對(duì)日VaR和CVaR的動(dòng)態(tài)估計(jì)．

一方面，由于對(duì)數(shù)化已實(shí)現(xiàn)極差具有雙長(zhǎng)記憶性和異方差性； 另一方面，考慮到杠桿效應(yīng)的存在以及高階矩對(duì)收益的影響．借鑒前述研究，本文基于對(duì)數(shù)化已實(shí)現(xiàn)極差，建立偏t分布下的ARFIMA-M-FIGARCH簇模型，分析資產(chǎn)收益的雙長(zhǎng)記憶性以及異方差性，分析杠桿效應(yīng)下的極端風(fēng)險(xiǎn)，以實(shí)現(xiàn)對(duì)上證綜指VaR的度量與控制．

1 基于已實(shí)現(xiàn)極差的ARFIMA-M-FIGARCH簇模型

1.1 已實(shí)現(xiàn)極差

(1)

則RRVt定義為極差下的日內(nèi)高頻收益率的平方和：

(2)

1.2 雙長(zhǎng)記憶模型

文獻(xiàn)[16]考慮到長(zhǎng)記憶性，提出了FIGARCH(BBM)模型，并在FIGARCH(BBM)模型上對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行修正，結(jié)合ARFIMA提出了ARFIMA-FIGARCH(CHUNG)模型，其結(jié)構(gòu)如下：

(3)

(4)

考慮到杠桿效應(yīng)，文獻(xiàn)[16]引入杠桿項(xiàng)θ1，θ2來(lái)對(duì)杠桿效應(yīng)進(jìn)行刻畫(huà)，進(jìn)而構(gòu)建了FIEGARCH模型，其條件方差方程可以表示為：

(5)

事實(shí)上收益序列的高階矩未必存在，這使得FIEGARCH的基本假設(shè)難以成立．文獻(xiàn)[17]引入lnα創(chuàng)建了HYGARCH模型，考慮了高階矩對(duì)波動(dòng)和長(zhǎng)記憶性的影響，其對(duì)應(yīng)的條件方差可以表示為：

(6)

基于對(duì)數(shù)化已實(shí)現(xiàn)極差，考慮到雙長(zhǎng)記憶性、 異方差性、 杠桿效應(yīng)以及高階矩對(duì)收益的影響，本文構(gòu)建了ARFIMA-M-HYGARCH模型：

(7)

2 VaR的計(jì)算與檢驗(yàn)

VaR定義為在一定置信水平下，資產(chǎn)組合在一段時(shí)間內(nèi)可能受到的最大損失．由此可以得出VaR的定義式：

P(ΔP≤VaR)=α

(8)

針對(duì)對(duì)數(shù)化已實(shí)現(xiàn)極差的尖峰后尾特征，選取偏t分布下ARFIMA-M-HYGARCH模型來(lái)建模，可以得到ARFIMA-M-FIGARCH簇的VaR為：

(9)

其中：ut為lnRRV率的均值；skstα是標(biāo)準(zhǔn)偏t分布為skst(0，1，ξ，v)，且下置信水平為α的單側(cè)分位數(shù)，ξ為偏度參數(shù)，v為自由度．

基于已實(shí)現(xiàn)極差的ARFIMA-M-HYGARCH模型計(jì)算與檢驗(yàn)VaR的具體思路如下：

步驟一： 計(jì)算RRV，結(jié)合R/S，單位根檢驗(yàn)以及自相關(guān)圖識(shí)別其長(zhǎng)記憶性，利用QQ圖判斷其分布是否符合偏t分布．

步驟二： 基于分?jǐn)?shù)階差分后序列計(jì)算殘差序列，對(duì)殘差序列進(jìn)行異方差檢驗(yàn)以及長(zhǎng)記憶檢驗(yàn)．

步驟三： 對(duì)基于已實(shí)現(xiàn)極差下的ARFIMA-M-FIGARCH簇模型進(jìn)行參數(shù)估計(jì)以及擬合優(yōu)度檢驗(yàn)．

步驟五： 利用失敗率檢驗(yàn)法和動(dòng)態(tài)分位數(shù)檢驗(yàn)法對(duì)VaR進(jìn)行檢驗(yàn)．失敗率檢驗(yàn)法并未對(duì)分位數(shù)起到評(píng)估的作用且受樣本量的影響較大，而動(dòng)態(tài)分位數(shù)檢驗(yàn)法彌補(bǔ)了這一缺陷．

3 實(shí)證分析

3.1 數(shù)據(jù)收集

中國(guó)股票市場(chǎng)主要分為滬市和深市，因此上證綜指與深成指數(shù)自然最能反映中國(guó)股市的整體波動(dòng)情況，但由于滬市與深市存在較高的相關(guān)性，而滬市開(kāi)市較早，對(duì)外部沖擊較為敏感，同時(shí)對(duì)深市而言具有“溢出效應(yīng)”，所以本文選擇上證綜指作為研究對(duì)象．借鑒文獻(xiàn)[18]的結(jié)論，在避免市場(chǎng)微觀結(jié)構(gòu)帶來(lái)嚴(yán)重噪聲的基礎(chǔ)上，選擇盡可能高頻率的數(shù)據(jù)，因此本文選擇上證綜指5分鐘高頻數(shù)據(jù)，取樣區(qū)間為2016年1月4日-2018年12月28日，共有35 088個(gè)數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)來(lái)源于Wind資訊金融數(shù)據(jù)庫(kù)．

3.2 統(tǒng)計(jì)特征與分布檢驗(yàn)

對(duì)上證綜指的RRV進(jìn)行基本統(tǒng)計(jì)特征分析與檢驗(yàn)，相關(guān)結(jié)果如下表所示：

表1 上證綜指RRV的描述性統(tǒng)計(jì)與檢驗(yàn)

從表中可以得知，上證綜指RRV與lnRRV序列偏度大于0，呈現(xiàn)出右偏的趨勢(shì)； 同時(shí)峰度大于0，表現(xiàn)為尖峰特征．總體而言，呈現(xiàn)出有偏、 尖峰厚尾的特征，結(jié)合Jarque-Bera結(jié)果可知，整體并不服從正態(tài)分布．嘗試?yán)肣Q圖對(duì)lnRRV整體是否服從有偏t分布進(jìn)行判斷，結(jié)果見(jiàn)圖1．

圖1 上證綜指ln RRV基于有偏t分布的QQ圖

從有偏t分布下的QQ圖可以得知，lnRRV的對(duì)應(yīng)點(diǎn)基本構(gòu)成一條直線，因此本文選取有偏t分布作為假設(shè)分布．

3.3 雙長(zhǎng)記憶性與異方差性檢驗(yàn)

對(duì)上證綜指lnRRV序列進(jìn)行單位根檢驗(yàn)，結(jié)果如下表所示：

表2 上證綜指ln RRV單位根檢驗(yàn)

從表2可以看出，ADF檢驗(yàn)結(jié)果表明序列平穩(wěn)，而KPSS檢驗(yàn)顯示序列并不平穩(wěn)，根據(jù)文獻(xiàn)[19]對(duì)ADF結(jié)合KPSS檢驗(yàn)的研究，可以得知上證綜指lnRRV序列平穩(wěn)，同時(shí)具有一定的長(zhǎng)記憶性．

對(duì)lnRRV序列自相關(guān)性進(jìn)行分析，結(jié)果如圖2所示．從圖2中可以看出序列的自相關(guān)函數(shù)以非常緩慢的速度衰減，根據(jù)文獻(xiàn)[19]對(duì)長(zhǎng)記憶性與自相關(guān)系數(shù)的研究，可以認(rèn)為序列具有較強(qiáng)的長(zhǎng)記憶性．

圖2 上證綜指ln RRV序列自相關(guān)圖

對(duì)上證綜指lnRRV進(jìn)行R/S檢驗(yàn)得到Hurst指數(shù)，進(jìn)而判斷序列長(zhǎng)記憶性的強(qiáng)弱，檢驗(yàn)結(jié)果如圖3，4所示．

圖3 上證綜指ln RRV的R/S檢驗(yàn)圖

圖4 擬合殘差的R/S檢驗(yàn)圖

R/S檢驗(yàn)結(jié)果表明Hurst指數(shù)H=0.928 2，R-Squared=0.976 5，同時(shí)結(jié)合圖3，可知擬合效果良好，并且Hurst指數(shù)遠(yuǎn)大于0.5且接近于1，因此可以判斷上證綜指的lnRRV序列具有很強(qiáng)的長(zhǎng)記憶性，這與前面的分析結(jié)果完全一致．

由于Hurst指數(shù)與d近似存在d=H-0.5的關(guān)系，則d≈0.428 2．對(duì)ARFIMA-M-RRV模型進(jìn)行擬合，并對(duì)擬合殘差進(jìn)行異方差性檢驗(yàn)與長(zhǎng)記憶性檢驗(yàn)，來(lái)判斷是否適用于FIGARCH族模型，檢驗(yàn)結(jié)果見(jiàn)表3．

表3 異方差性檢驗(yàn)(ARCH檢驗(yàn))

結(jié)合表3可以得知，在滯后階數(shù)分別為1，3，4階，顯著性水平為10%時(shí)均拒絕原假設(shè)，即認(rèn)為lnRRV的波動(dòng)率并非常數(shù)，存在較強(qiáng)異方差性．

針對(duì)擬合殘差的R/S檢驗(yàn)結(jié)果表明Hurst指數(shù)H=0.732，R-Squared=0.650，同時(shí)結(jié)合圖4可以得知擬合效果較好，并且Hurst指數(shù)大于0.5，因此可以判斷波動(dòng)率同樣具有長(zhǎng)記憶性．

結(jié)合上述分析可知上證綜指的lnRRV具有異方差性和雙長(zhǎng)記憶性的特征，因此結(jié)合FIGARCH族對(duì)ARFIMA-M-RRV建立雙長(zhǎng)記憶模型．

3.4 模型的建立與參數(shù)估計(jì)

對(duì)lnRRV序列進(jìn)行0.428 2階差分，并對(duì)分?jǐn)?shù)階差分后的lnRRV序列測(cè)算其自相關(guān)以及偏相關(guān)系數(shù)，對(duì)自回歸與移動(dòng)平均項(xiàng)進(jìn)行定階，測(cè)算結(jié)果如下表所示：

表4 分?jǐn)?shù)階差分后ln RRV序列的ACF與PACF

對(duì)于自相關(guān)系數(shù)，存在

(9)

對(duì)于偏相關(guān)系數(shù)，存在

(10)

根據(jù)Box-Jeins定階理論，可以確定模型的自回歸階數(shù)為1，移動(dòng)平均階數(shù)為0，即模型為ARFIMA-M-RRV(1，0)模型．同時(shí)，確定ARCH與GARCH階數(shù)均為1階．

分別針對(duì)FIGARCH(CHUNG)，F(xiàn)IEGARCH以及HYGARCH建立基于ARFIMA-M-RRV的雙長(zhǎng)記憶模型，并利用基于BHHH算法的極大似然估計(jì)對(duì)參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，參數(shù)估計(jì)結(jié)果見(jiàn)表5．

表5 偏t分布下各模型估計(jì)結(jié)果

續(xù)表5

結(jié)合表5中的模型參數(shù)估計(jì)結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)：

1) FIEGARCH中的杠桿項(xiàng)參數(shù)均不顯著，這恰巧說(shuō)明了均值方程引入的杠桿項(xiàng)比較完美地刻畫(huà)了lnRRV的杠桿效應(yīng)，進(jìn)而導(dǎo)致方差方程杠桿項(xiàng)并不顯著．同時(shí)d1以及AR(1)的估計(jì)結(jié)果同樣不顯著，d1>0.5，表明FIEGARCH的參數(shù)估計(jì)效果較差．

2) HYGARCH與FIGARCH關(guān)于d1的估計(jì)值均接近于0.5，體現(xiàn)了lnRRV很強(qiáng)的長(zhǎng)記憶性，同時(shí)d2>0且不太接近0.5，體現(xiàn)了波動(dòng)率較強(qiáng)的長(zhǎng)記憶性，這與前文研究結(jié)果完全一致．

3) FIEGARCH的AIC與HQ值均大于其他2種模型，而HYGARCH與FIGARCH的AIC與HQ值相對(duì)較小，另外FIGARCH的ARCH項(xiàng)并不顯著，因此FIGARCH與HYGARCH能更好地對(duì)波動(dòng)率的異方差性進(jìn)行描述，但HYGARCH略優(yōu)于FIGARCH．

3.4 VaR計(jì)算與檢驗(yàn)

表6 失敗率檢驗(yàn)結(jié)果

表7 動(dòng)態(tài)分位數(shù)檢驗(yàn)結(jié)果

圖5 HYGARCH模型VaR(0.950； 0.975)圖

結(jié)合VaR的計(jì)算與檢驗(yàn)結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)：

1) 失敗率檢驗(yàn)中，HYGARCH在0.950 0，0.975 0以及0.997 5分位數(shù)下的成功率相對(duì)于FIGARCH而言更接近對(duì)應(yīng)的分位數(shù)，p值同樣更優(yōu)于FIGARCH，尤其在0.997 5分位數(shù)下FIGARCH對(duì)應(yīng)的p值僅為0.053 0，檢驗(yàn)結(jié)果非常不理想，反觀HYGARCH在0.997 5分位數(shù)下p值為0.431 2，能更好地對(duì)極端風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行控制．

2) 動(dòng)態(tài)分位數(shù)檢驗(yàn)中，F(xiàn)IGARCH在0.950 0，0.975 0以及0.997 5分位數(shù)下的p值均小于HYGARCH，尤其是在0.950 0分位數(shù)下的p值僅有0.047 4，效果非常不理想，遠(yuǎn)低于HYGARCH對(duì)應(yīng)的0.439 8，這表明在動(dòng)態(tài)分位數(shù)檢驗(yàn)下HYGARCH同樣能更好地對(duì)極端風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行控制．

綜上所述，HYGARCH對(duì)于ARFIMA-RRV模型VaR的估計(jì)效果更好，能夠更好地適應(yīng)和控制股票市場(chǎng)的極端風(fēng)險(xiǎn)．

4 結(jié) 論

本文在高頻信息的基礎(chǔ)上，引入RRV，結(jié)合杠桿效應(yīng)，對(duì)雙長(zhǎng)記憶性進(jìn)行識(shí)別并建立相應(yīng)的模型，對(duì)模型的VaR進(jìn)行計(jì)算與檢驗(yàn)，得到了以下結(jié)論：

1) 上證綜指lnRRV序列具有尖峰厚尾的特征，結(jié)合Jarque-Bera檢驗(yàn)以及QQ圖，可以得知整體服從有偏t分布．

2) 結(jié)合單位根檢驗(yàn)，自相關(guān)圖檢驗(yàn)，異方差檢驗(yàn)以及R/S檢驗(yàn)可知上證綜指lnRRV序列具有雙長(zhǎng)記憶性的特征．

3) 對(duì)FIGARCH，F(xiàn)IEGARCH以及HYGARCH下的ARFIMA-M-RRV模型進(jìn)行擬合，結(jié)果表明FIGARCH與HYGARCH擬合結(jié)果較好，其中HYGARCH略優(yōu)于FIGARCH．

4) 對(duì)FIGARCH與HYGARCH下的ARFIMA-M-RRV模型進(jìn)行VaR的失敗率檢驗(yàn)與動(dòng)態(tài)分位數(shù)檢驗(yàn)，結(jié)果表明HYGARCH能更好地刻畫(huà)上證綜指lnRRV序列在極端風(fēng)險(xiǎn)下的VaR．

由實(shí)證結(jié)果可知，針對(duì)上證綜指可以建立有偏t分布下的ARFIMA-M-RRV-HYGARCH模型來(lái)對(duì)極端風(fēng)險(xiǎn)下的VaR進(jìn)行度量與控制，從而實(shí)現(xiàn)更有效的金融風(fēng)險(xiǎn)管理．