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        基于混合蟻群算法的小波逼近

        2018-10-24 08:34:14謝喜云李宏民
        關(guān)鍵詞:小波基時(shí)域小波

        謝喜云 李宏民 李 文 曾 靖

        1(湖南理工學(xué)院信息與通信工程學(xué)院 湖南 岳陽 414006)2(湖南理工學(xué)院物理與電子學(xué)院 湖南 岳陽 414006)

        0 引 言

        短時(shí)傅里葉變換(STFT)是分析非平穩(wěn)信號(hào)的常用方法,其基本思路是給信號(hào)加等長的時(shí)間窗,但窗長度難以確定,太長導(dǎo)致時(shí)間分辨率差,太短造成頻率分辨率低。針對(duì)STFT處理非平穩(wěn)信號(hào)中的不足,具有多分辨率分析特點(diǎn)的小波變換技術(shù)應(yīng)運(yùn)而生。小波變換是一種分析與處理非平穩(wěn)信號(hào)的理想工具,被廣泛應(yīng)用于信號(hào)處理領(lǐng)域。傳統(tǒng)小波變換采用數(shù)字方法實(shí)現(xiàn),但其存在運(yùn)算量大而難以滿足實(shí)時(shí)性要求,同時(shí)需要A/D轉(zhuǎn)換,造成功耗高等缺點(diǎn)。為滿足低功耗、低電壓和實(shí)時(shí)性等應(yīng)用要求需要,研究模擬電路實(shí)現(xiàn)小波變換具有重要意義。

        文獻(xiàn)[1-7]已利用模擬電路技術(shù)實(shí)現(xiàn)了小波變換,其首要任務(wù)是小波函數(shù)的逼近,逼近精度決定電路實(shí)現(xiàn)的質(zhì)量??梢灾苯拥玫筋l域傳遞函數(shù)的頻域逼近法在實(shí)際應(yīng)用中較簡便,但逼近方法少。時(shí)域逼近法較多,獲得的逼近函數(shù)經(jīng)過H(s)變換后獲得頻域函數(shù)。文獻(xiàn)[8]提出了基于Pade變換的小波函數(shù)逼近法,該方法簡單且在頻域逼近中應(yīng)用廣泛。但存在以下問題,限制了其實(shí)用性:(1) Pade逼近法難以確定最優(yōu)逼近點(diǎn)s0,如果未選擇到合適的逼近點(diǎn),會(huì)導(dǎo)致逼近效果差;(2) 有理函數(shù)的分子和分母中,多項(xiàng)式的次數(shù)不易選擇,難以確保逼近系統(tǒng)的穩(wěn)定性;(3) 時(shí)域和頻域的誤差精度無法同時(shí)保證。文獻(xiàn)[9]提出了基于L2的時(shí)域逼近法,該法在很多程度上克服了Pade逼近法現(xiàn)有的諸多缺陷,在時(shí)域優(yōu)化中,可以獲得較好精度的小波逼近函數(shù)。但該方法也存在不足:(1) 計(jì)算比較復(fù)雜;(2) 采用了局部最優(yōu)算法最小二乘法,初始值的選擇比較關(guān)鍵,否則容易陷入局部最優(yōu)。

        針對(duì)上述文獻(xiàn)中小波函數(shù)逼近法出現(xiàn)的問題,文獻(xiàn)[2]提出了混合遺傳算法的小波逼近,不僅加快了收斂速度且在一定程度上提高了精度;文獻(xiàn)[6]提出基于改進(jìn)差分算法的小波逼近方法,但對(duì)于多峰值的小波函數(shù)而言,逼近效果較差。為了進(jìn)一步豐富小波逼近方法,得到更高精度的小波逼近函數(shù),本文提出基于混合蟻群算法的小波逼近法?;旌舷伻核惴ㄊ墙鉀Q全局優(yōu)化問題的有效方法之一,該算法以一種用于快速全局優(yōu)化的蟻群算法[10]搜索全局最優(yōu)值,將該值作為SQP(序列二次規(guī)劃)的初始值,再用SQP精細(xì)搜索得到最優(yōu)解。利用混合蟻群算法,逼近的小波函數(shù)具有更好的精度。

        1 小波變換原理

        設(shè)小波基函數(shù)為ψ(t),輸入信號(hào)f(t)∈L2(R),及f(t)為平方可積函數(shù),那么f(t)的連續(xù)小波變換(CWT)定義為:

        (1)

        式中:ψ*(t)是ψ(t)的復(fù)共軛,可以看出,小波變換包含兩個(gè)連續(xù)變量a和τ。其中:a為尺度因子,控制小波函數(shù)的伸縮,縮放得窄對(duì)應(yīng)高頻,提供隱藏在信號(hào)中的詳細(xì)信息,擴(kuò)展得寬對(duì)應(yīng)低頻并提供信號(hào)的全局信息;τ為平移因子,控制小波函數(shù)的平移。即尺度a對(duì)應(yīng)于頻率信息,平移量τ對(duì)應(yīng)于時(shí)間信息。根據(jù)模擬濾波器理論可知,式(1)可以看成是信號(hào)f(t)與小波基ψ(t)的卷積運(yùn)算。

        只有小波變換逆變換存在時(shí),小波變換(WT)才有意義,因此母小波要滿足容許條件:

        (2)

        從容許條件可推出Ψ(0)=0,即式(2)的同等條件為:

        (3)

        式中:Ψ(w)是ψ(t)的傅里葉變換。式(3)說明小波基函數(shù)必為震蕩波形且ψ(t)的平均值為零,這就是ψ(t)被稱為“小波”的原因。從頻域中看,容許條件的約束使得小波基的傅里葉變換具有帶通性質(zhì),即小波函數(shù)在頻域相當(dāng)于帶通濾波器。如果輸入信號(hào)f(t)經(jīng)過濾波器后,相當(dāng)于f(t)與濾波器沖激響應(yīng)h(t)做卷積運(yùn)算,得到的輸出信號(hào)可表示為:

        (4)

        為清晰觀察和對(duì)比式(1)和(4),對(duì)兩式做一定的數(shù)學(xué)變換,式(4)中,t和τ都表示連續(xù)變量,只是寫法不同,沒有本質(zhì)區(qū)別,因此將兩變量調(diào)換得:

        (5)

        同時(shí),式(1)可以寫成:

        (6)

        從式(5)和式(6)可知,不同尺度a下的小波變換可看成是信號(hào)f(t)通過沖激響應(yīng)為h(t)的小波濾波器后的輸出:

        (7)

        只有滿足因果性的系統(tǒng)才可以用模擬電路實(shí)現(xiàn)。通常小波基函數(shù)都無因果性,因此必須將小波基做時(shí)移操作,使其具有因果性。模擬電路實(shí)現(xiàn)小波變換是一個(gè)近似的結(jié)果,誤差大小取決于對(duì)時(shí)延小波基函數(shù)的逼近程度,因此尋找小波基逼近函數(shù)非常關(guān)鍵。

        2 混合蟻群算法的模擬小波基構(gòu)造

        2.1 構(gòu)造模擬小波基的優(yōu)化模型

        (8)

        式(8)的最小化即最小均方誤差準(zhǔn)則下的連續(xù)時(shí)間模型:

        (9)

        根據(jù)線性系統(tǒng)理論可知,在時(shí)域中,有限階n的因果線性濾波器可以由脈沖響應(yīng)函數(shù)h(t)表示,其拉普拉斯變換為H(s)。對(duì)于具有不同極點(diǎn)的穩(wěn)定系統(tǒng),一般情況下,沖激響應(yīng)h(t)可以寫成衰減指數(shù)信號(hào)和和指數(shù)衰減諧波信號(hào)線形組合的形式。因而對(duì)于低階次的系統(tǒng)而言,采用通用的h(t)表達(dá)式便于逼近小波函數(shù)。例如,N階濾波器沖激響應(yīng)h(t)可以寫成以下形式:

        k+2m=N,t≥0

        (10)

        式中:ai,bi,cj,dj,fj和wj為實(shí)數(shù),在式(3)中,已描述了小波函數(shù)的積分為零,即:

        (11)

        因此,逼近的小波函數(shù)也要滿足該條件,即對(duì)于逼近小波函數(shù)而言,需加上附加的約束條件:

        (12)

        (13)

        式中:n表示采樣點(diǎn)數(shù),M為采樣點(diǎn)總數(shù),Δt為采樣時(shí)間間隔。由式(13)可知,這是一個(gè)非線性優(yōu)化問題,文獻(xiàn)[9]提出的最小二乘法對(duì)初值敏感易收斂,且容易陷入局部最優(yōu),難以獲得全局最優(yōu)。智能優(yōu)化算法在求解復(fù)雜優(yōu)化問題表現(xiàn)得尤為強(qiáng)大,因此,采用混合蟻群算法來求解模型式(13)最優(yōu)解是一個(gè)很好的選擇。

        2.2 混合蟻群算法

        意大利學(xué)者M(jìn).Dorigo等在20世紀(jì)90年代提出的蟻群算法(ACO)是一種基于種群的啟發(fā)式隨機(jī)搜索算法。這個(gè)算法的基本原理是:當(dāng)螞蟻尋找食物時(shí),它們會(huì)在通過的路徑上釋放一種特殊的物質(zhì),該物質(zhì)稱為信息素,螞蟻通過信息素進(jìn)行交流,根據(jù)殘留在路徑上信息素的多少,找到離蟻穴路徑最短的食物源。蟻群算法采用分布式計(jì)算,魯棒性強(qiáng)且易與其他算法相結(jié)合,因此被廣泛應(yīng)用于解決優(yōu)化問題。文獻(xiàn)[10]針對(duì)蟻群算法不適合求解連續(xù)問題,易陷入局部極值的缺點(diǎn),提出了一種快速全局優(yōu)化的蟻群算法。該改進(jìn)蟻群算法采用的是在最優(yōu)解螞蟻附近進(jìn)行搜索且將本次獲得的最優(yōu)解作為起始解的搜索方式,用來擴(kuò)大搜索的范圍,避免陷入局部最優(yōu)。主要的不同在于將螞蟻移動(dòng)的規(guī)則分成兩部分:(1) 將上次循環(huán)中未尋到最優(yōu)解的螞蟻往最優(yōu)解方向移動(dòng);(2) 讓尋得最優(yōu)解的螞蟻在最優(yōu)解附近進(jìn)行搜索,以便在以后的搜索中得到更加精確的解。其中,針對(duì)規(guī)則一設(shè)置轉(zhuǎn)移概率公式如下:

        (14)

        式中:t(i)為螞蟻i處的信息素,t(best)為螞蟻在最優(yōu)解處的信息素。針對(duì)規(guī)則二,移動(dòng)公式如下:

        (15)

        式中:xbest為上次循環(huán)獲得最優(yōu)解,xtbest為當(dāng)前最優(yōu)解。在按照上述規(guī)則搜索后,對(duì)螞蟻i處的信息素更新,規(guī)則如下:

        t(i)=ρ×t(i)+Δt(i) 0<ρ<1

        (16)

        Δt(i)=ka-f(xi)

        式中:ρ為信息素?fù)]發(fā)系數(shù),f(xi)表示目標(biāo)函數(shù)的最小值。

        雖然改進(jìn)蟻群算法全局搜索能力得到改善,但是它仍然是一個(gè)隨機(jī)搜索方法,其局部搜索能力有限,而SQP算法有很強(qiáng)的局部搜索能力,可在很短的時(shí)間內(nèi)搜索到局部極值點(diǎn)。但對(duì)于多極值復(fù)雜的函數(shù),SQP對(duì)初值非常敏感,易陷入局部最優(yōu)難以獲得全局最優(yōu)。因此,我們將改進(jìn)蟻群算法與SQP算法結(jié)合,形成互補(bǔ)的混合蟻群算法,該算法由兩部分組成:(1) 對(duì)優(yōu)化問題,用改進(jìn)蟻群算法求解得到全局解;(2) 將該全局解作為SQP的初始值,啟用該算法進(jìn)一步搜索精確值,得到全局最優(yōu)解。

        3 常用小波函數(shù)逼近

        為了驗(yàn)證構(gòu)造的小波逼近函數(shù)模型和混合蟻群算法的優(yōu)化性能,本文以常見的小波為例進(jìn)行驗(yàn)證。

        (1) 高斯一階導(dǎo)數(shù)母小波為:

        ψ(t)=-2(2/π)1/4te-t2

        (17)

        為了獲得因果系統(tǒng),需要對(duì)小波函數(shù)進(jìn)行時(shí)移操作,時(shí)移的選擇需要在能量損失和延遲之間進(jìn)行平衡。在這里,對(duì)小波系統(tǒng)函數(shù)向右平移兩個(gè)單位,時(shí)移后的高斯一階導(dǎo)數(shù)母小波為:

        ψ(t-2)=-2(2/π)1/4(t-2)e-(t-2)2

        (18)

        采用2.1節(jié)介紹的方法構(gòu)造逼近模型,在實(shí)際應(yīng)用中,階數(shù)越高會(huì)使電路設(shè)計(jì)變得復(fù)雜,階數(shù)低會(huì)降低逼近精度。因此,逼近階數(shù)和逼近精度之間要進(jìn)行綜合考慮,這里取逼近階數(shù)為5,則ψ(t-2)的5階逼近模型h(t)為:

        h(t)=b1eb2t+b3eb4tsin(b5t)+b6eb4tcos(b5t)+

        b7eb8tsin(b9t)+b10eb8tcos(b9t)

        (19)

        式中:bi(i=1,2,…,10)為待定系數(shù),為了確保系統(tǒng)的穩(wěn)定,要求bi<0(i=2,4,8)。t∈[0,8],定義h(t)與ψ(t-2)之差的平方L2范數(shù)為:

        (20)

        在t∈[0,8]等間隔取400個(gè)點(diǎn),那么,h(t)與ψ(t-2)的逼近誤差平方和為:

        (21)

        式中:Δt為時(shí)間間隔,其值設(shè)為0.02。

        根據(jù)式(13)建立數(shù)學(xué)模型:

        (22)

        這是一個(gè)復(fù)雜且?guī)в屑s束的10維度的非線性優(yōu)化問題,采用混合蟻群算法求解該模型。在混合的蟻群算法中,設(shè)定螞蟻個(gè)數(shù)為100,最大迭代次數(shù)為1 000,變量取值范圍為bi∈[-4,0],i=2,4,8,其余參數(shù)設(shè)置為[-4,4],信息素?fù)]發(fā)系數(shù)ρ設(shè)置為0.9。經(jīng)過10次實(shí)驗(yàn),選出最優(yōu)的全局最優(yōu)解,將該最優(yōu)解作為SQP的初始值,執(zhí)行SQP算法,迭代次數(shù)設(shè)置為10。其搜索的最優(yōu)結(jié)果如表1所示。

        表1 高斯小波逼近函數(shù)的最優(yōu)系數(shù)

        將表1中的10個(gè)優(yōu)化參數(shù)代入式(19),獲得小波逼近函數(shù)h(t),并將h(t)進(jìn)行拉氏變換,獲得H(s)為:

        (23)

        采用本文方法求得的5階時(shí)域逼近函數(shù)波形與理想高斯小波的對(duì)比如圖1所示,混合蟻群算法的逼近誤差和為2.905×10-4。

        圖1 高斯小波函數(shù)逼近

        (2) 研究Morlet小波,其表達(dá)式為:

        ψ(t)=cos(5t)e-0.5t2

        (24)

        由式(24)可知,實(shí)Morlet小波是一個(gè)偶函數(shù),反褶以后的函數(shù)是本身,為了得到因果系統(tǒng),將其平移3個(gè)單位,則預(yù)處理后的Morlet小波函數(shù)為:

        ψ(t-3)=cos[5(t-3)]e-0.5(t-3)2

        (25)

        在這里取N=5,其有理逼近分式在時(shí)域中可寫成:

        h(t)= [k1ek2t+k3ek4tsin(k5t)+k6ek4tcosk(k5t)+

        k7ek8tsin(k9t)+k10ek8tcos(k9t)]cos[5(t-3)]

        (26)

        式中:ki(i=1,2,…,10)為待定系數(shù),為保證系統(tǒng)的穩(wěn)定,待定系數(shù)k2、k4和k8必須小于零,在區(qū)間t∈[0,12]等間隔采樣600個(gè)點(diǎn),h(t)與ψ(t-3)的逼近誤差平方和定義為:

        (27)

        式中:Δt=0.02,采樣點(diǎn)數(shù)為600,建立優(yōu)化逼近模型為:

        (28)

        采用混合蟻群算法進(jìn)行優(yōu)化求解,獲得逼近函數(shù),求得的最優(yōu)解如表2所示,此時(shí)誤差為3.790×10-4。文獻(xiàn)[2]是在區(qū)間[0,6]取600點(diǎn),用混合遺傳算法求解模型,逼近誤差為2.842 9×10-4,若采用混合蟻群算法求解,逼近誤差降低至3.066 7×10-5。在此區(qū)間內(nèi),小波逼近函數(shù)都可以很好地?cái)M合Morlet小波,但小波逼近函數(shù)未產(chǎn)生衰減。

        表2 Morlet小波逼近函數(shù)的最優(yōu)系數(shù)

        將表中的參數(shù)代入時(shí)域逼近函數(shù),并做拉普拉斯變換,獲得H(s)為:

        (29)

        式中:

        A0=8.276 4×106A1=1.524 7×106A2=1.966 5×106

        A3=0.261 9×106A4=0.172 5×106A5=0.016 1×104

        A6=0.007 1×106A7=423.364 4A8=137.089 2

        A9=4.007 9B0=1.403 2×105B1=-1.787 2×104

        B2=1.556 8×104B3=0.355 2×104B4=-0.028 1×104

        B5=0.032 9×104B6=-0.003 9×104B7=7.197 3

        B8=-0.476 32B9=0.034 1

        小波逼近函數(shù)與理想Morlet小波對(duì)比如圖2所示。可以看出,本文采用的小波函數(shù)逼近方法能有效逼近小波基函數(shù)。

        圖2 Morlet小波函數(shù)逼近

        為了突出本文方法優(yōu)勢(shì),現(xiàn)與已有的幾種方法構(gòu)造的小波基函數(shù)對(duì)比,結(jié)果如表3、表4所示。可以看出,混合蟻群算法逼近誤差均小于Pade逼近法、L2逼近法和混合遺傳算法[2],其中,Pade法逼近誤差最大。因此,本文采用的混合蟻群方法優(yōu)于L2逼近法、Pade逼近法和混合遺傳算法。

        表3 不同方法逼近小波基函數(shù)誤差比較1

        表4 不同方法逼近小波基函數(shù)誤差比較2

        4 結(jié) 語

        為了在模擬電路中實(shí)現(xiàn)小波變換,提出了一種逼近小波基函數(shù)的新方法。首先,建立逼近小波基函數(shù)的數(shù)學(xué)模型。然后,采用混合蟻群算法求解優(yōu)化問題。由于快速全局優(yōu)化的蟻群算法本身是一種求解優(yōu)化問題的最有效方法之一,具有收斂速度快,尋優(yōu)精度高,有更好的優(yōu)化結(jié)果,再把最優(yōu)結(jié)果作為QSP算法的初值,啟用QSP精細(xì)搜索得到最優(yōu)解。該方法克服了Pade逼近法和L2逼近法中的不足,能夠有效地逼近小波基函數(shù),且逼近精度優(yōu)于pade法、L2逼近法和混合遺傳算法。

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