羅志軍，李 普，方玉明

(1.東南大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，南京 211189；2.南京郵電大學(xué) 電子與光學(xué)工程學(xué)院、微電子學(xué)院，南京 210003)

隨著MEMS技術(shù)的廣泛應(yīng)用，低功耗、高品質(zhì)因數(shù)的諧振器備受青睞。熱彈性阻尼是MEMS諧振器中的一種固有能量損耗機(jī)制，決定了品質(zhì)因數(shù)的上限。微諧振器的能量損耗方式主要包括空氣阻尼[1]、表面阻尼[2]、支承阻尼[3]和熱彈性阻尼[4]。前三種阻尼是外部阻尼，可以通過(guò)真空封裝、改善材料的表面特性、合理設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)來(lái)減小或者消除。而熱彈性阻尼是諧振器的內(nèi)部固有阻尼，在設(shè)計(jì)制造中無(wú)法完全消除，這使得預(yù)測(cè)諧振器的熱彈性阻尼成為提高微諧振器的靈敏度、穩(wěn)定性、頻率選擇性等性能的基本要求之一。

熱彈性固體在振動(dòng)時(shí)，當(dāng)應(yīng)力不均勻產(chǎn)生熱彈性效應(yīng)，導(dǎo)致受壓縮的部分溫度升高，受拉伸的部分溫度降低，從而在結(jié)構(gòu)內(nèi)產(chǎn)生振蕩的溫度梯度。振動(dòng)過(guò)程中，熱彈性固體本身的各個(gè)部分之間缺乏熱平衡，熱量從溫度高的部分向溫度低的部分傳遞。作為回應(yīng)，固體結(jié)構(gòu)將通過(guò)熱傳導(dǎo)在溫度梯度上重新建立熱平衡。由熱力學(xué)第二定律可知，這一不可逆過(guò)程產(chǎn)生熵，造成的能量損失即為熱彈性阻尼[5]。

經(jīng)過(guò)研究，眾多學(xué)者相繼建立多種結(jié)構(gòu)的熱彈性阻尼解析模型。1937年-1938年，Zener[6-7]首次提出微梁中的熱彈性阻尼。在Zener單層圓截面微梁中，當(dāng)熱彈性阻尼僅保留第一項(xiàng)時(shí)，熱彈性阻尼可記為：

(1)

式中：τC=0.295CVR2/k；E為楊氏模量；α為熱膨脹系數(shù)；T0為平衡溫度；CV為單位體積的熱容；R為微梁的半徑；k為熱傳導(dǎo)系數(shù)。

Vengallatore[8]在Bishop等[9-10]的理論框架基礎(chǔ)上，研究了對(duì)稱三層矩形截面微梁諧振器的熱彈性阻尼，針對(duì)不同的材料組合下的熱彈性阻尼性能進(jìn)行比較，為高性能多層彎曲梁諧振器設(shè)計(jì)提供了參考。Tunvir等[11-12]研究了中空單層圓截面微梁的熱彈性阻尼。在不考慮表面應(yīng)力時(shí)，TR微梁的熱彈性阻尼可表示為：

(2)

式中：R1為內(nèi)層半徑;R2為外層半徑。此外，針對(duì)矩形板[13]、圓板[14]和圓環(huán)[15]等結(jié)構(gòu)的熱彈性阻尼解析模型也相繼建立，但關(guān)于具有中空結(jié)構(gòu)的微梁的熱彈性阻尼模型仍待完善，如具有多層結(jié)構(gòu)或不同振動(dòng)模式的中空?qǐng)A截面微梁的熱彈性阻尼解析模型。

本文以具有中空結(jié)構(gòu)的雙層圓截面微梁為研究對(duì)象，推導(dǎo)出其彎曲振動(dòng)時(shí)的熱彈性阻尼解析模型。通過(guò)與FEM模型的對(duì)比，證實(shí)了當(dāng)前解析模型的有效性，同時(shí)研究了金屬鍍層和微梁的體積比對(duì)熱彈性阻尼的影響。本文建立的熱彈性阻尼解析模型是一維的，僅考慮沿徑向的熱傳導(dǎo)。

1 微梁中的熱彈性阻尼模型

1.1 溫度場(chǎng)分布函數(shù)的求解

圖1為具有中空結(jié)構(gòu)的雙層圓截面微梁的示意圖。由圖可知：微梁的第一層厚度為h1=b-a,第二層厚度為h2=c-b,長(zhǎng)度為l。微梁在靜電力驅(qū)動(dòng)下沿z方向在x-z平面內(nèi)做頻率為ω的小振幅簡(jiǎn)諧振動(dòng)。

圖1 具有中空結(jié)構(gòu)的雙層圓截面微梁的示意圖Fig.1 Schematic diagram of hollow bilayered microbeam

微梁在z方向的彎曲變形可表示為：

w(x,y,z,t)=Y(x)eiωt

(3)

第m層微梁中的溫度場(chǎng)可以寫(xiě)為：

θm(x,y,z,t)=Tm(x,y,z,t)-T0=?m(x,y,z)eiωt

(4)

式中：θm(x,y,z,t)為第m層微梁中相對(duì)于平衡溫度T0的波動(dòng)溫度場(chǎng)函數(shù)。

不考慮表面應(yīng)力，根據(jù)Duhamel-Neumann方程，熱-結(jié)構(gòu)耦合的應(yīng)力、應(yīng)變關(guān)系可表示為：

(5)

εxx,m(x,y,z,t)=-z?2w/?x2

(6)

(7)

雙層微梁中的熱傳導(dǎo)方程可表示為[16]：

(8)

式中：λm和em分別為第m層梁中的熱擴(kuò)散系數(shù)和體積膨脹。其中：

em=εxx,m(x,y,z,t)+εyy,m(x,y,z,t)+εzz,m(x,y,z,t)(9)

λm=km/Cm

(10)

式中：km和Cm分別表示第m層梁中的熱傳導(dǎo)系數(shù)和單位體積的比熱。

在細(xì)長(zhǎng)梁中，由于沿y和z方向的溫度梯度遠(yuǎn)大于沿x方向的溫度梯度，故?2θm≈(?2/?y2+?2/?z2)θm。將式(9)、(10)入式(8)，且ΔZener,m(1+υm)/(1-2υm)?1，y=rcosφ，z=rsinφ，則方程(8)可簡(jiǎn)化為：

(11)

假設(shè)在r=b處，微梁具有完美的熱接觸；在r=a和r=c處為絕熱狀態(tài)，則邊界條件可表示為：

(12)

根據(jù)格林函數(shù)法[17]，雙層微梁中的溫度場(chǎng)可記為：

其中：

(14)

將式(14)代入式(13)，則溫度場(chǎng)可表示為：

(15)

熱傳導(dǎo)方程特征函數(shù)φm,n(r)可表示為[18]：

(16)

(17)

式中：A1,n、B1，n、A2，n和B2,n為待定常數(shù)。

將式(16)、(17)代入邊界條件(12)，可得：

(18)

A1,nJ11b+B1,nY11b=A2,nJ12b+B2,nY12b

(19)

(20)

(21)

為了滿足一般性，消除共同項(xiàng)A1,n(A1,n≠0)，則式(18)～(21)可以被改寫(xiě)為：

(22)

常數(shù)B1,n、A2,n和B2,n可通過(guò)矩陣方程(22)求得：

(23)

(24)

(25)

式中：

(26)

根據(jù)式(15)可知：θm(r,φ,t)分為三項(xiàng)，第一項(xiàng)和第二項(xiàng)都是瞬時(shí)衰減項(xiàng)，只有第三項(xiàng)是穩(wěn)態(tài)項(xiàng)。因此，忽略瞬態(tài)項(xiàng)時(shí)，θm(r,φ,t)可被簡(jiǎn)化為：

1.2 熱彈性阻尼的計(jì)算

由式(27)、(28)可得出每層微梁中的能量損耗，即：

(29)

(30)

同時(shí)，可得出每層微梁中的最大彈性勢(shì)能，即：

根據(jù)Bishop和Kinra理論框架，雙層微梁的熱彈性阻尼可表示為：

(33)

將式(29)～(32)代入式(33)，可得出中空結(jié)構(gòu)雙層圓截面微梁的熱彈性阻尼，即：

根據(jù)檢測(cè)報(bào)告，管道實(shí)際運(yùn)行時(shí)間為的確定需要確定Cr、計(jì)算參數(shù)、檢測(cè)次數(shù)和有效性。對(duì)厚度小于壁厚的所有檢測(cè)點(diǎn)的減薄量取均值，得出Cr=0.09 mm/a，d=8.2 mm，可得到Art=0.027 4。該次檢測(cè)為低度有效，只進(jìn)行了1次檢測(cè)，最終根據(jù)各參數(shù)，得到

2 與Zener梁模型和TR梁模型對(duì)比

上一小節(jié)推導(dǎo)出中空雙層微梁(hollow bilayered microbeam,HBM)的熱彈性阻尼解析模型，現(xiàn)將其與Zener[6-7]單層梁(zener’s microbeam,ZM)和TR(Tunvir和Ru)中空單層梁(TR’s microbeam,TRM)的熱彈性阻尼解析模型的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。表1為計(jì)算涉及的多種微梁的幾何參數(shù)，表2為微梁在300 K時(shí)的材料力學(xué)特性參數(shù)，具體參數(shù)詳見(jiàn)表1、表2。

表1 微梁的類型及幾何參數(shù)Tab.1 Types and geometry parameters of microbeams

表2 微梁在300 K時(shí)的材料力學(xué)特性參數(shù)Tab.2 Materials properties of microbeams the at T0 =300 K

2.1 與Zener單層圓截面梁模型對(duì)比

當(dāng)中空雙層圓面微梁滿足a→0,b≈c時(shí)，雙層微梁可近似為單層微梁，此時(shí)對(duì)比當(dāng)前解析模型(式(34))和Zener梁模型(式(1))在HBM-1和ZM-1兩種微梁中計(jì)算所得的熱彈性阻尼。

圖2為當(dāng)前解析模型與Zener梁模型的對(duì)比結(jié)果。由圖可知：中空雙層圓截面梁的當(dāng)前解析模型在n=1時(shí)的熱彈性阻尼頻譜曲線與Zener單層圓截面梁模型的熱彈性阻尼頻譜曲線基本重合，而在n=20時(shí)的當(dāng)前解析模型的熱彈性阻尼頻譜曲線與Zener梁模型有一定的差距，這種結(jié)果與Zener僅保留熱彈性阻尼第一項(xiàng)計(jì)算結(jié)果的情況相吻合。因此，當(dāng)雙層環(huán)截面微梁滿足a→0,b≈c條件時(shí)，當(dāng)前解析模型(n=1時(shí))與Zener梁模型的計(jì)算結(jié)果一致。

圖2 當(dāng)前解析模型與Zener梁模型的對(duì)比Fig.2 Comparison of TED between the present analytical model and Zener’s model

2.2 與TR中空單層圓截面梁模型對(duì)比

當(dāng)中空雙層圓截面微梁滿足b≈c時(shí)，雙層微梁同樣可近似為單層微梁，比較當(dāng)前解析模型(式(34))和TR梁模型(式(2))在HBM-2和TR-1兩種微梁中計(jì)算所得的熱彈性阻尼。

圖3為當(dāng)前解析模型與TR梁模型的對(duì)比結(jié)果。由圖可知：中空雙層圓截面梁的當(dāng)前解析模型在n=1時(shí)的熱彈性阻尼頻譜曲線與TR中空單層圓截面梁模型的頻譜曲線基本重合，而在n=20時(shí)，二者有差距。上述結(jié)果表明：當(dāng)中空雙層圓截面梁滿足b≈c時(shí)，當(dāng)前解析模型(n=1時(shí))與TR梁模型的計(jì)算結(jié)果一致。實(shí)際上，TR梁模型在計(jì)算時(shí)將溫度場(chǎng)函數(shù)進(jìn)行了近似處理，僅保留了前三項(xiàng)。因此，其熱彈性阻尼的計(jì)算結(jié)果僅與n=1時(shí)的當(dāng)前解析模型重合。

圖3 當(dāng)前解析模型與TR梁模型的比較Fig.3 Comparison of TED between the present analytical model and TR’s model

3 當(dāng)前解析模型的有效性和討論

3.1 當(dāng)前解析模型的收斂性

中空雙層圓截面梁的當(dāng)前熱彈性阻尼解析模型(式(33))表現(xiàn)為無(wú)窮級(jí)數(shù)的形式，需檢查當(dāng)前解析模型的收斂性。

圖4為當(dāng)前解析模型在HBM-4中的收斂性結(jié)果。由圖可知：隨著n取值的增大，微梁的熱彈性阻尼隨之增大；而當(dāng)n=10和n=20時(shí)，熱彈性阻尼的頻譜曲線發(fā)生重合。因此，只需截?cái)喈?dāng)前解析模型計(jì)算后的前10項(xiàng)結(jié)果即可保證HBM-4中熱彈性阻尼的收斂性。

圖4 當(dāng)前解析模型在HBM-4微梁中的收斂性Fig.4 Convergence of TED in present analytical model for HBM-4 microbeam

(35)

式中：

(36)

通過(guò)式(35)可以發(fā)現(xiàn)，熱彈性阻尼的收斂性由Sn決定。圖5 為HBM-4中Sn隨n的變化情況。由圖可知：前20項(xiàng)Sn中，第一項(xiàng)相比其他項(xiàng)高出兩個(gè)數(shù)量級(jí)；第1項(xiàng)、前5項(xiàng)之和與前10項(xiàng)之和分別占據(jù)前20項(xiàng)之和的比重為97.5%，99.34%和99.77%。因此，可認(rèn)為僅保留熱彈性阻尼計(jì)算結(jié)果的第一項(xiàng)(n=1)能表達(dá)HBM-4中熱彈性阻尼精確值的主要部分；保留前10項(xiàng)(n=10)能夠充分表示HBM-4中熱彈性阻尼值達(dá)到收斂要求。

圖5 HBM-4中Sn隨n的變化情況Fig.5 Changes of Sn with n in HBM-4

在本文的所有當(dāng)前解析模型的計(jì)算過(guò)程中，均對(duì)熱彈性阻尼進(jìn)行類似的收斂性判斷，結(jié)果發(fā)現(xiàn)截?cái)嗲?0項(xiàng)都可以滿足本文涉及的熱彈性阻尼收斂性要求。

3.2 當(dāng)前解析模型與FEM模型的對(duì)比

為了驗(yàn)證當(dāng)前解析模型的有效性，將其與FEM模型進(jìn)行對(duì)比。在ANSYS中建立中空雙層圓截面微梁結(jié)構(gòu)的三維模型，采用Solid227 三維十節(jié)點(diǎn)四面體單元對(duì)建立的雙層微梁進(jìn)行的熱-結(jié)構(gòu)耦合分析，求解出熱彈性阻尼。針對(duì)不同外層厚度的中空雙層圓截面微梁中的熱彈性阻尼，在當(dāng)前解析模型(式(33))和FEM模型中分別進(jìn)行計(jì)算，通過(guò)比較兩種模型中的熱彈性阻尼值，檢驗(yàn)當(dāng)前解析模型的有效性。

圖6為當(dāng)前解析模型與FEM模型計(jì)算的三種HBM的熱彈性阻尼的比較結(jié)果。由圖可知：HBM-3、HBM-4和HBM-5的當(dāng)前解析模型計(jì)算的熱彈性阻尼結(jié)果均與FEM模型的計(jì)算結(jié)果基本吻合。表3為圖6中不同頻率下HBM-4中的熱彈性阻尼。由表可知：通過(guò)當(dāng)前解析模型(式(33))計(jì)算的HBM-4中的熱彈性阻尼與通過(guò)FEM模型計(jì)算的熱彈性阻尼在四種頻率下的最大誤差為3.38%。因此，F(xiàn)EM模型驗(yàn)證了當(dāng)前解析模型的有效性；進(jìn)一步可以通過(guò)在整個(gè)頻帶范圍內(nèi)對(duì)熱彈性阻尼的當(dāng)前解析模型與FEM模型和實(shí)驗(yàn)測(cè)量的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，在合理的誤差范圍內(nèi)，可以認(rèn)為，當(dāng)前解析模型的計(jì)算結(jié)果是準(zhǔn)確的。

圖6 當(dāng)前解析模型與FEM模型計(jì)算的三種HBM的熱彈性阻尼的比較Fig.6 Comparison of TED between the present analytical model and FEM model for three HBM

表3 不同頻率下HBM-4中的熱彈性阻尼Tab.3 TED of HBM-4 with different frequency

3.3 金屬鍍層對(duì)熱彈性阻尼的影響

隨著微諧振器應(yīng)用范圍的延伸，通常需要在硅基的諧振器表面增加金屬鍍層，充作電極或者用于改善器件表面特性、增大導(dǎo)電率和增強(qiáng)反光性。常用的金屬鍍層包括Cu、Ag、和Ni等。

圖7為Cu、Ag、和Ni鍍層對(duì)Si基微梁的熱彈性阻尼的影響。由圖可知：鍍有Cu(HBM-8)、Ni(HBM-9)、和Ag(HBM-10)的微梁在整個(gè)頻帶范圍內(nèi)均比均質(zhì)Si(HBM-11)材料微梁的熱彈性阻尼大；在相同的鍍層厚度下，鍍Cu微梁中的熱彈性阻尼具有最大的峰值，其次為鍍Ni和鍍Ag微梁。其中，鍍Ag微梁中的熱彈性阻尼在整個(gè)頻帶范圍內(nèi)均小于鍍Cu微梁。上述現(xiàn)象表明：采用了金屬鍍層的微梁熱彈性阻尼明顯增大；并且與Srikar[8]對(duì)稱三層矩形截面微梁中的研究結(jié)果一致。

圖7 Cu、Ag和Ni鍍層對(duì)Si基微梁的熱彈性阻尼的影響Fig.7 Effect of Cu,Ni and Ag Coatings on TED of Si-based Microbeam

3.4 微梁的體積比對(duì)熱彈性阻尼的影響

由式(33)可知：在不考慮材料對(duì)熱彈性阻尼影響時(shí)，中空雙層圓截面微梁的橫截面尺寸是影響熱彈性阻尼的主要因素。本小節(jié)研究微梁的體積比不變時(shí)，熱彈性阻尼的變化情況。

圖8為體積比不變時(shí)三種微梁中的熱彈性阻尼的頻譜曲線。由圖可知：HBM-5和HBM-5和HBM-7中的熱彈性阻尼具有相同的峰值；HBM-5、HBM-5和HBM-7中的熱彈性阻尼峰值頻率依次減小。因此，當(dāng)體積比不變時(shí)，此類中空雙層圓截面微梁的熱彈性阻尼峰值不變，但其峰值頻率會(huì)隨微梁體積的增加而減小。

圖8 體積比不變時(shí)三種微梁中的熱彈性阻尼頻譜曲線Fig.8 Spectrum curves of TED with constant volume ratio for three microbeams

4 結(jié) 論

本文研究了彎曲振動(dòng)的中空雙層圓截面微梁的熱彈性阻尼，基于格林函數(shù)法求得微梁中的溫度場(chǎng)函數(shù)，進(jìn)而建立了熱彈性阻尼的解析模型。

(1)通過(guò)與FEM模型的對(duì)比，發(fā)現(xiàn)HBM-4中的熱彈性阻尼在當(dāng)前解析模型和FEM模型中的最大計(jì)算誤差為3.38%。在合理的誤差范圍內(nèi)，可以驗(yàn)證當(dāng)前解析模型的有效性。

(2)當(dāng)前解析模型與Zener單層圓截面梁模型和TR中空單層圓截面梁模型對(duì)比。發(fā)現(xiàn)當(dāng)熱彈性阻尼的計(jì)算結(jié)果只保留第一項(xiàng)時(shí)，當(dāng)前解析模型和此兩種模型計(jì)算結(jié)果的一致性。

(3)對(duì)比研究了Cu、Ag、和Ni鍍層對(duì)Si基微梁的熱彈性阻尼的影響。結(jié)果表明：金屬鍍層會(huì)增加微梁的熱彈性阻尼。

(4)研究了當(dāng)體積比不變時(shí)，微梁中的熱彈性阻尼的變化情況。結(jié)果表明：對(duì)于細(xì)長(zhǎng)SiC/Si結(jié)構(gòu)微梁，當(dāng)體積比不變時(shí)，熱彈性阻尼的峰值不變，但其峰值頻率會(huì)隨微梁體積的增加而減小。

附錄A表達(dá)式含義

(A1)

(A2)

(A3)

(A4)

(A5)

(A6)

(A7)

(A8)

(A9)

(A10)

(A11)

(A12)

附錄B積分計(jì)算

I1,n、I2,n、J1,n和J2,n的計(jì)算如下：

(B1)

(B2)

(B3)

(B4)