王笑樂(lè)，盧劍偉，楊士欽，谷先廣

(1.安徽農(nóng)業(yè)大學(xué) 工學(xué)院，合肥 230036；2.合肥工業(yè)大學(xué) 汽車(chē)與交通工程學(xué)院，合肥 230009；3.江淮汽車(chē)有限公司技術(shù)中心，合肥 230601)

掌握準(zhǔn)雙曲面齒輪副承載工況下的時(shí)變嚙合參數(shù)是構(gòu)建動(dòng)力學(xué)模型時(shí)準(zhǔn)確描述內(nèi)部激勵(lì)的重要前提[1-2]，也是評(píng)價(jià)其動(dòng)態(tài)嚙合特性的主要依據(jù)[3-5]。準(zhǔn)雙曲面齒輪相比圓柱齒輪具有更為復(fù)雜的齒面形貌和幾何特征，難以采用如石川公式[6]、Weber能量法[7]等解析方法[8]計(jì)算輪齒應(yīng)力應(yīng)變，利用光彈性法[9]等試驗(yàn)測(cè)量目前也存在較大困難，有限元法是現(xiàn)階段測(cè)算其承載嚙合參數(shù)的主要技術(shù)手段。

國(guó)外有學(xué)者基于有限元法提出了螺旋錐齒輪嚙合剛度的計(jì)算方法[10]，得到了沿齒高和齒長(zhǎng)方向的位移曲線(xiàn)，未獲得嚙合剛度曲線(xiàn)。有學(xué)者將曲面積分與有限元法相結(jié)合對(duì)準(zhǔn)雙曲面齒輪進(jìn)行加載接觸分析[11]，得到其時(shí)變嚙合參數(shù)，但是該方法中齒面接觸區(qū)系人工設(shè)定，計(jì)算精度受接觸區(qū)大小的影響。國(guó)內(nèi)有學(xué)者基于有限元法計(jì)算了螺旋錐齒輪副單齒嚙合剛度[12]，并線(xiàn)性疊加而得到多齒嚙合剛度。由于螺旋錐齒輪齒面法向力方向具有時(shí)變特征，根據(jù)單齒剛度疊加計(jì)算多齒嚙合剛度的準(zhǔn)確度還需進(jìn)一步驗(yàn)證。有學(xué)者基于有限元法結(jié)合中心差分法計(jì)算了準(zhǔn)雙曲面齒輪副等效嚙合點(diǎn)位置、切線(xiàn)嚙合剛度、等效嚙合力[13]，不同工況下的傳動(dòng)誤差及嚙合剛度完整曲線(xiàn)未能給出。有學(xué)者計(jì)算準(zhǔn)雙曲面齒輪副無(wú)載、承載工況下的角傳動(dòng)誤差來(lái)計(jì)算嚙合剛度[14]，由于輪齒變形方向與齒輪旋轉(zhuǎn)方向存在一定夾角，根據(jù)角傳動(dòng)誤差計(jì)算嚙合點(diǎn)變形量時(shí)存在一定近似。

現(xiàn)有研究中對(duì)輪齒嚙合變形的計(jì)算通常采取線(xiàn)性疊加、部分提取或近似等效的方法，可能引起一定的誤差。為此，本文基于準(zhǔn)雙曲面齒輪副LTCA分析結(jié)果，提取接觸節(jié)點(diǎn)三維坐標(biāo)、旋轉(zhuǎn)半徑及輪齒轉(zhuǎn)角等參數(shù)，計(jì)算無(wú)載工況下接觸節(jié)點(diǎn)由齒輪旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的理論位移和承載工況下由輪齒旋轉(zhuǎn)、接觸、剪切、彎曲綜合產(chǎn)生的實(shí)際位移，獲得輪齒真實(shí)變形，并結(jié)合等效嚙合力求得齒輪副時(shí)變嚙合剛度。進(jìn)一步考察載荷大小對(duì)嚙合參數(shù)的影響，得到齒面嚙合印痕、承載傳動(dòng)誤差、實(shí)際重合度、等效嚙合力、綜合彈性變形、時(shí)變嚙合剛度等參數(shù)隨載荷變化的演變規(guī)律。

1 時(shí)變嚙合參數(shù)的數(shù)學(xué)描述

1.1 等效嚙合力

圖1 等效嚙合力及嚙合力作用點(diǎn)Fig.1 Equivalent meshing force and its action points

(1)

(2)

(3)

1.2 等效嚙合點(diǎn)

(4)

1.3 傳動(dòng)誤差函數(shù)

準(zhǔn)雙曲面齒輪副嚙合時(shí)為局部共軛點(diǎn)接觸，傳動(dòng)比隨齒輪轉(zhuǎn)角不斷變化，齒輪副存在傳動(dòng)誤差，通常定義為小輪勻速回轉(zhuǎn)時(shí)，大輪的實(shí)際轉(zhuǎn)角與理論轉(zhuǎn)角的差值，表達(dá)式為

(5)

1.4 輪齒綜合彈性變形

本文的研究對(duì)象為準(zhǔn)雙曲面齒輪副，在計(jì)算時(shí)將軸、軸承等結(jié)構(gòu)視為剛體，忽略其變形對(duì)接觸點(diǎn)位置的影響。輪齒的綜合彈性變形可表示為

(6)

式中，uh，ub，us分別為齒面接觸變形、輪齒彎曲和齒廓剪切變形，目前尚無(wú)解析公式計(jì)算上述三種變形。將式(6)變形為

(7)

輪齒綜合彈性變形可通過(guò)分別計(jì)算大、小輪齒面接觸點(diǎn)處三種形變共同產(chǎn)生的綜合變形而得到。輪齒動(dòng)態(tài)嚙合時(shí)的真實(shí)位移由綜合彈性變形和旋轉(zhuǎn)位移疊加形成，如圖2所示。圖中大、小輪齒廓為嚙合過(guò)程中t時(shí)刻，分別過(guò)大、小輪齒面上瞬時(shí)接觸節(jié)點(diǎn)(圖中大輪為點(diǎn)g，小輪為點(diǎn)p)的垂直于大、小輪各自旋轉(zhuǎn)軸線(xiàn)的軸截面圖，實(shí)際的大、小輪軸截面應(yīng)相互交叉并垂直，此處采用軸截面圖形式表示。

圖2 齒面接觸點(diǎn)處實(shí)際位移與理論位移Fig.2 Actual and theoretical displacements of the contacting points on tooth surfaces

圖中點(diǎn)g0,p0表示在起始時(shí)刻對(duì)應(yīng)于點(diǎn)g,p的點(diǎn)；點(diǎn)g′,p′表示假設(shè)大、小輪未嚙合，由點(diǎn)g0,p0自由旋轉(zhuǎn)至t時(shí)刻的點(diǎn)。|g0g′|,|p0p′|為點(diǎn)g0,p0自起始時(shí)刻至t時(shí)刻經(jīng)自由旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的理論位移。|g0g|,|p0p|為點(diǎn)g0,p0自起始時(shí)刻至t時(shí)刻經(jīng)旋轉(zhuǎn)和大、小輪接觸變形而產(chǎn)生的實(shí)際位移。|g0g|-|g0g′|,|p0p|-|p0p′|為大、小輪實(shí)際位移與各自自由旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的理論位移之差，即t時(shí)刻點(diǎn)g,p處的變形。|g0g|,|p0p|由點(diǎn)g0,p0處的自由旋轉(zhuǎn)半徑和從起始時(shí)刻至t時(shí)刻的旋轉(zhuǎn)角度基于弦長(zhǎng)公式計(jì)算；|g0g|,|p0p|由點(diǎn)g0,p0,g,p的三維坐標(biāo)基于空間距離公式計(jì)算。

(8)

(9)

(10)

t時(shí)刻大輪綜合彈性變形量可以表示為

(11)

小輪t時(shí)刻輪齒綜合彈性變形的計(jì)算方法與大輪類(lèi)似，則t時(shí)刻齒輪副的綜合彈性變形為

un(t)=

(12)

h=1,2,…,l，l為t時(shí)刻小輪齒面接觸節(jié)點(diǎn)總數(shù)，h為小輪齒面第h個(gè)節(jié)點(diǎn)，p為小輪。

1.5 時(shí)變嚙合剛度

根據(jù)定義，t時(shí)刻齒輪副嚙合剛度為

(13)

2 LTCA分析

2.1 齒輪副設(shè)計(jì)及加工參數(shù)

以一對(duì)刀傾半展成法加工的車(chē)用后橋主減速器準(zhǔn)雙曲面齒輪副為例，幾何參數(shù)如表1所示，加工參數(shù)如表2，表3所示。大、小輪軸線(xiàn)分別與嚙合坐標(biāo)系z(mì)軸、x軸方向平行。

表1 準(zhǔn)雙曲面齒輪副幾何參數(shù)Tab.1 Geometric parameters of the hypoid gear pair

表2 大輪機(jī)床加工參數(shù)Tab.2 Machining parameters of the gear

表3 小輪機(jī)床加工參數(shù)Tab.3 Machining parameters of the pinion

2.2 有限元模型構(gòu)建

基于準(zhǔn)雙曲面齒輪副嚙合及加工原理計(jì)算得到大、小輪齒面點(diǎn)云坐標(biāo)，建立齒輪副三維模型。完成模型裝配及單元設(shè)置，生成有限元模型節(jié)點(diǎn)和單元數(shù)據(jù)，綜合考慮計(jì)算精度及效率的要求，選取小輪全齒、大輪18齒(總齒數(shù)41)模型進(jìn)行分析。齒面接觸力在接觸區(qū)附近高度集中，強(qiáng)度隨離接觸區(qū)的距離增大而急劇減小，采用子結(jié)構(gòu)法將齒面及齒根網(wǎng)格加密，其余部分稀疏化，如圖3所示。

圖3 準(zhǔn)雙曲面齒輪副有限元模型Fig.3 Finite element model of the hypoid gear drive

2.3 前、后處理設(shè)置

LTCA計(jì)算前處理包括分析類(lèi)型設(shè)置、材料參數(shù)設(shè)置、單元屬性定義、邊界條件、載荷施加及輸出變量等，部分參數(shù)設(shè)置見(jiàn)表4。

表4 部分前處理參數(shù)設(shè)置Tab.4 Preferences of the pretreatment

在大、小輪中心建立參考點(diǎn)，并與齒輪內(nèi)孔節(jié)點(diǎn)剛性耦合，載荷及邊界條件均施加在中心參考點(diǎn)處。為保證LTCA分析收斂，將整個(gè)嚙合過(guò)程分3個(gè)載荷步進(jìn)行設(shè)置：

(1)初始位置調(diào)整：旋轉(zhuǎn)調(diào)整大、小輪的相對(duì)位置，使待接觸齒面存在適量齒側(cè)間隙；

(2)載荷步1：約束大輪中心參考點(diǎn)六向自由度，在小輪中心參考點(diǎn)以斜坡線(xiàn)性加載方式施加微小軸向轉(zhuǎn)角，使齒面接觸，消除齒側(cè)間隙；

(3)載荷步2：約束小輪中心參考點(diǎn)六向自由度，釋放大輪中心參考點(diǎn)的軸向轉(zhuǎn)動(dòng)自由度并以斜坡線(xiàn)性加載方式施加微小轉(zhuǎn)矩，使齒輪達(dá)到理想的初始嚙合狀態(tài)。載荷步1、2使計(jì)算過(guò)程不存在剛體位移，保證初始接觸迭代計(jì)算收斂；

(4)載荷步3：釋放大、小輪各自軸向旋轉(zhuǎn)自由度，約束其他自由度。在小輪中心參考點(diǎn)施加恒定軸向轉(zhuǎn)速以驅(qū)動(dòng)齒輪副，在大輪中心參考點(diǎn)施加恒定軸向負(fù)載扭矩，完成嚙合過(guò)程。

3 LTCA算例分析

完成大輪4 000 N·m負(fù)載扭矩，小輪200 r/min驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)速工況LTCA分析，計(jì)算各項(xiàng)嚙合參數(shù)。

3.1 嚙合印痕對(duì)比

通過(guò)與承載接觸試驗(yàn)獲得的齒面印痕進(jìn)行對(duì)比，對(duì)LTCA計(jì)算結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證。大輪齒面瞬時(shí)接觸區(qū)的仿真結(jié)果與承載試驗(yàn)得到的印痕對(duì)比如圖4所示，左側(cè)子圖從上至下為嚙合過(guò)程中單齒面上瞬時(shí)接觸區(qū)的移動(dòng)過(guò)程，組成了右側(cè)圖中單個(gè)齒面上的完整印痕，可以看出LTCA與承載試驗(yàn)得到的齒面接觸區(qū)均由大端齒頂移向小端齒根，吻合度較高，驗(yàn)證了LTCA分析的正確性。

圖4 LTCA與承載嚙合試驗(yàn)得到的齒面印痕對(duì)比Fig.4 Comparison of the contact patterns obtained by LTCA and loaded rolling test

3.2 等效嚙合點(diǎn)

嚙合過(guò)程中等效嚙合點(diǎn)的位置如圖5所示。準(zhǔn)雙曲面齒輪副嚙合存在周期性，理想的等效嚙合點(diǎn)軌跡為一閉環(huán)曲線(xiàn)。由于建模及仿真計(jì)算存在相對(duì)誤差，本文得到的等效嚙合點(diǎn)位于一個(gè)小的空間平面范圍內(nèi)。

圖5 4 000 N·m工況下等效嚙合點(diǎn)位置Fig.5 Position of equivalent meshing points under 4 000 N·m

3.3 時(shí)變嚙合參數(shù)

準(zhǔn)雙曲面齒輪副瞬時(shí)等效嚙合力由接觸齒面的法向接觸力進(jìn)行矢量相加而得到，求得該工況下等效嚙合力如圖6(a)所示。提取LTCA結(jié)果中大、小輪角位移，獲得算齒輪副承載傳動(dòng)誤差，如圖6(b)所示。計(jì)算大、小輪接觸節(jié)點(diǎn)理論位移與實(shí)際位移，得到齒輪副綜合彈性變形，如圖6(c)所示。根據(jù)得到的等效嚙合力及綜合彈性變形求得齒輪副時(shí)變嚙合剛度，如圖6(d)所示。

圖6 4 000 N·m工況下的時(shí)變嚙合參數(shù)Fig.6 Time-varying meshing parameters under 4 000 N·m

可以看出，齒輪副承載工況下的等效嚙合力、承載傳動(dòng)誤差、綜合彈性變形、時(shí)變嚙合剛度等參數(shù)均呈周期性變化，且無(wú)明顯突變。小輪齒間間隔為36°，各項(xiàng)嚙合參數(shù)波動(dòng)頻率與齒輪副嚙合頻率一致。

4 嚙合參數(shù)演變分析

對(duì)齒輪副進(jìn)行100～6 000 N·m不同載荷工況下的LTCA分析，計(jì)算各項(xiàng)時(shí)變嚙合參數(shù)，分析其隨載荷工況變化的演變規(guī)律。

4.1 齒面接觸區(qū)

不同載荷下的單齒齒面接觸區(qū)如圖7所示。

圖7 不同載荷下的齒面接觸區(qū)Fig.7 Contact patterns on tooth surface under different loads

可以看出，齒面接觸區(qū)隨載荷增加逐漸由齒面中部擴(kuò)展至全齒面，起始嚙合位置逐漸移向大端，準(zhǔn)雙曲面齒輪大端處齒廓較厚，時(shí)變嚙合剛度因此發(fā)生改變。

4.2 等效嚙合力

不同載荷工況下的等效嚙合力如圖8所示，可以看出，隨著載荷增大，等效嚙合力的變化比例與負(fù)載扭矩的變化基本保持一致。不同載荷下，準(zhǔn)雙曲面齒輪副等效嚙合力均呈周期性波動(dòng)，且波動(dòng)頻率與齒輪副嚙合頻率一致。

圖8 不同載荷下的齒輪副等效嚙合力Fig.8 Equivalent meshing force under different loads

4.3 承載傳動(dòng)誤差

圖9(a)為齒輪副不同載荷下的承載傳動(dòng)誤差?？梢钥闯?，載荷較低時(shí)，隨著負(fù)載扭矩的增加，齒輪副重合度增大，齒面接觸區(qū)逐漸移至齒輪副設(shè)計(jì)時(shí)預(yù)設(shè)的理想接觸區(qū)(算例齒輪副接觸區(qū)由低載荷下的偏向大端逐漸移動(dòng)至齒面中部，見(jiàn)圖7)，到達(dá)理想接觸區(qū)后傳動(dòng)誤差的波動(dòng)幅值最小。隨著載荷繼續(xù)增大，齒面接觸區(qū)逐漸由齒面中部向大端和小端擴(kuò)展(見(jiàn)圖7)，根據(jù)準(zhǔn)雙曲面齒輪副的設(shè)計(jì)及加工原理，越靠近齒廓邊緣，實(shí)際齒面相對(duì)于理論齒面的誤差越大，大、小輪嚙合時(shí)的誤差因此上升，故齒輪副傳動(dòng)誤差的波動(dòng)幅值轉(zhuǎn)而增大，總體呈現(xiàn)出“先減小后增大”的演變趨勢(shì)。

圖9 不同載荷下的嚙合參數(shù)Fig.9 Meshing parameters under different loads

4.4 齒面接觸力及實(shí)際重合度

圖9(b)為不同載荷下單齒對(duì)齒面接觸力，圖中曲線(xiàn)從左至右依次為第4、第5、第6對(duì)齒的齒面接觸力，從下至上依次為100，300，500，700和1 000～6 000 N·m工況下計(jì)算結(jié)果。準(zhǔn)雙曲面齒輪副單齒接觸力隨載荷增加而所上升。圖9(c)為不同載荷下的準(zhǔn)雙曲面齒輪副實(shí)際重合度大小，載荷較低時(shí)，實(shí)際重合度隨載荷增加的升高幅度較為明顯，隨載荷增大實(shí)際重合度的變化趨于平緩。

4.5 綜合彈性變形及時(shí)變嚙合剛度

不同載荷下的綜合彈性變形如圖10(a)所示，可以看出，準(zhǔn)雙曲面齒輪副綜合彈性變形量及其波動(dòng)幅值隨載荷增加均逐漸增大。

根據(jù)獲得的不同載荷下的時(shí)變等效嚙合力和綜合彈性變形計(jì)算算例齒輪副不同載荷下的承載嚙合剛度，如圖10(b)所示。

圖10 不同載荷下綜合彈性變形及時(shí)變嚙合剛度Fig.10 Comprehensive elastic deformation and time-varying meshing stiffness under different loads

可以看出，承載工況下時(shí)變嚙合剛度曲線(xiàn)呈周期性波動(dòng)，波動(dòng)頻率與齒輪副嚙合頻率一致。不同載荷下周期變化的剛度曲線(xiàn)的形狀差別顯著，低載荷時(shí)單周期內(nèi)的曲線(xiàn)峰值靠近末端，隨載荷增加峰值逐漸前移，以峰值為中點(diǎn)左右非對(duì)稱(chēng)。原因是載荷增加使齒面接觸區(qū)逐漸移向大端，嚙合點(diǎn)處齒厚增大，齒廓不易發(fā)生彎曲、剪切變形。載荷越大越早出現(xiàn)大端接觸，即越早出現(xiàn)剛度峰值，本文計(jì)算結(jié)果與工程實(shí)際相符。

5 結(jié) 論

針對(duì)以往研究中近似、等效計(jì)算準(zhǔn)雙曲面齒輪副嚙合變形量的不足，本文對(duì)準(zhǔn)雙曲面齒輪副進(jìn)行了不同載荷下的承載接觸分析，并提取、計(jì)算了輪齒真實(shí)變形量及承載傳動(dòng)誤差、時(shí)變嚙合剛度、實(shí)際重合度等參數(shù)，得出以下結(jié)論：

(1)準(zhǔn)雙曲面齒輪副不同載荷下的等效嚙合力、承載傳動(dòng)誤差、綜合彈性變形及時(shí)變嚙合剛度等參數(shù)均呈周期性波動(dòng)，無(wú)顯著突變，波動(dòng)頻率與齒輪副嚙合頻率一致。齒面嚙合印痕隨載荷增加逐漸由齒面中部擴(kuò)展至全齒面，起始嚙合位置隨載荷增加逐漸移向大端。

(2)準(zhǔn)雙曲面齒輪副實(shí)際重合度隨載荷增加呈非線(xiàn)性趨勢(shì)上升。低載荷時(shí)，實(shí)際重合度隨載荷增大迅速增加，載荷達(dá)到一定大小后，重合度的變化趨于平緩。低載荷下，同時(shí)嚙合的齒對(duì)數(shù)受載荷變化影響顯著，齒間載荷分配及輪齒動(dòng)載荷變化在動(dòng)力學(xué)分析中應(yīng)得到重視。

(3)準(zhǔn)雙曲面齒輪副嚙合變形及其波動(dòng)幅值隨載荷增加逐漸增大。隨載荷上升，嚙合剛度曲線(xiàn)單周期內(nèi)峰值逐漸前移，以峰值為中點(diǎn)左右非對(duì)稱(chēng)。傳動(dòng)誤差波動(dòng)幅值隨載荷增加呈先增大后減小的演變趨勢(shì)，存在傳動(dòng)誤差波動(dòng)幅值較小的載荷區(qū)間。載荷變化時(shí)嚙合剛度及傳動(dòng)誤差均具有較強(qiáng)非線(xiàn)性，在準(zhǔn)雙曲面齒輪系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)分析時(shí)準(zhǔn)確描述嚙合剛度和傳動(dòng)誤差是很有必要的。