劉 鑫，陳 德，周振華，胡 林

(1.長(zhǎng)沙理工大學(xué) 道路災(zāi)變防治及交通安全教育部工程研究中心，長(zhǎng)沙 410114；2.長(zhǎng)沙理工大學(xué) 工程車輛安全性設(shè)計(jì)與可靠性技術(shù)湖南省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，長(zhǎng)沙 410114)

在汽車的設(shè)計(jì)過程中，汽車碰撞安全性的研究?jī)r(jià)值日益凸顯。如何提高汽車乘員安全性，讓乘員受到更好的保護(hù)，使乘員受到的傷害最小化成為了汽車發(fā)展的一大課題[1-2]。汽車乘員約束系統(tǒng)作為汽車重要的被動(dòng)安全裝置，主要包括安全氣囊、安全帶、座椅、方向盤、儀表盤等。大量實(shí)踐表明[3]，可靠的乘員約束系統(tǒng)能夠顯著降低二次碰撞對(duì)乘員造成的傷害，最大化地保證乘員的生命財(cái)產(chǎn)安全。因此，乘員約束系統(tǒng)的參數(shù)設(shè)計(jì)尤為重要，只有合理的參數(shù)設(shè)計(jì)才能充分保障乘員在事故中的安全性。

在乘員約束系統(tǒng)的設(shè)計(jì)方法中，進(jìn)行實(shí)車碰撞實(shí)驗(yàn)是比較可靠的方法，但是實(shí)車碰撞實(shí)驗(yàn)的實(shí)驗(yàn)成本高昂，不能作為乘員約束系統(tǒng)的唯一設(shè)計(jì)方法。而采用數(shù)值模擬和優(yōu)化技術(shù)相結(jié)合的研究方法，可以有效地控制設(shè)計(jì)所需的成本?，F(xiàn)有的乘員約束系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法[4]通常將材料參數(shù)、載荷參數(shù)和設(shè)計(jì)參數(shù)考慮成確定性的參數(shù)。但是在實(shí)際的汽車碰撞過程中，許多參數(shù)如安全帶初始應(yīng)變、卷收器特性參數(shù)、座椅剛度系數(shù)等存在不確定性，將其全部作為確定性參數(shù)來考慮，就會(huì)造成真實(shí)的系統(tǒng)響應(yīng)和期望的系統(tǒng)響應(yīng)有所偏差。往往這種偏差有時(shí)在極端條件下會(huì)使乘員約束系統(tǒng)失效，導(dǎo)致乘員生命安全無法得到保障。所以，針對(duì)汽車乘員約束系統(tǒng)的設(shè)計(jì)過程中需要對(duì)不確定性進(jìn)行分析，對(duì)保證乘員約束系統(tǒng)的可靠性具有重要的工程意義。

目前，人們多采用概率模型[5]來描述系統(tǒng)的不確定性，并在大量的優(yōu)化設(shè)計(jì)過程中得到了廣泛應(yīng)用。但在實(shí)際的工程應(yīng)用中，一些不確定性變量由于缺乏足量的數(shù)據(jù)樣本，無法獲得確切的概率密度分布函數(shù)，使得概率模型的應(yīng)用存在一定的局限性。而區(qū)間模型[6]并不要求其精確的概率分布，只需要確定其上下限，因此在一定程度上避免了概率模型的局限性。尤其是針對(duì)汽車乘員約束系統(tǒng)這種具有高度復(fù)雜性[7]和非線性特征的可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)問題，更需要考慮多種不確定性變量混合在一起的系統(tǒng)可靠性問題，這樣才能使得優(yōu)化結(jié)果更加貼近實(shí)際情況，也更符合乘員約束系統(tǒng)的設(shè)計(jì)目的。然而，包含概率-區(qū)間混合模型的可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)問題，本質(zhì)上是一個(gè)三層嵌套的優(yōu)化問題，無法直接使用傳統(tǒng)的可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)方法來求解。而且，針對(duì)乘員約束系統(tǒng)這類復(fù)雜的可靠性優(yōu)化問題而言，耗時(shí)的數(shù)值模型與高昂的計(jì)算成本往往會(huì)導(dǎo)致優(yōu)化求解失效、約束違反等問題，從而造成極為低下的優(yōu)化效率。

綜上所述，本文提出了一種基于概率-區(qū)間混合模型的汽車乘員約束系統(tǒng)可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)方法。首先，通過MADYMO軟件建立了汽車乘員約束系統(tǒng)的數(shù)值模型，并進(jìn)行了實(shí)車碰撞實(shí)驗(yàn)來驗(yàn)證和校準(zhǔn)數(shù)值模型的準(zhǔn)確性；然后，針對(duì)含概率-區(qū)間混合模型的汽車乘員約束系統(tǒng)可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)問題，通過karush-kuhn-tucker(KKT)最優(yōu)化條件和基于最大熵原理的二次四階矩方法實(shí)現(xiàn)優(yōu)化問題的解耦，使得三層嵌套優(yōu)化問題向單層優(yōu)化問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化；最后，基于徑向基函數(shù)構(gòu)建了近似可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)問題，并通過遺傳算法對(duì)近似優(yōu)化問題進(jìn)行高效求解，從而確保汽車乘員的安全性和系統(tǒng)的可靠性。

1 乘員約束系統(tǒng)模型的建立與驗(yàn)證

1.1 數(shù)值模型的建立

針對(duì)某型車100%正面碰撞的工況，通過多剛體仿真軟件MADYMO建立了乘員約束系統(tǒng)的數(shù)值模型。如圖1所示，該模型分為車體、假人、安全帶等3個(gè)部分，車體模型包含的座椅、地板、A柱、前圍板、腳踏板、轉(zhuǎn)向系統(tǒng)和前風(fēng)窗玻璃采用多剛體模型構(gòu)建。假人模型使用Hybrid Ⅲ 50百分位多剛體男性假人模型。安全帶模型使用包含織帶、帶扣、D-環(huán)和錨點(diǎn)的混合三點(diǎn)式安全帶模型。通過MADYMO軟件對(duì)整個(gè)碰撞過程分析求解，即可求得到假人主要損傷評(píng)價(jià)部位的動(dòng)態(tài)響應(yīng)曲線和損傷值。

圖1 乘員約束系統(tǒng)數(shù)值模型Fig.1 Numerical model of the occupant restraint system

本文采用加權(quán)損傷準(zhǔn)則WIC(weighted injury criterion)[8]來體現(xiàn)乘員碰撞后的受損情況，并且在后續(xù)的優(yōu)化設(shè)計(jì)中同樣使用WIC值作為優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，以此說明優(yōu)化后乘員約束系統(tǒng)的保護(hù)性和功能性。WIC值的計(jì)算公式如下：

(1)

式中：HIC為HIC36頭部綜合損傷值；C3 ms為胸部3 ms加速度值,g；D為胸部壓縮量，mm；FFL為左大腿軸向壓力,kN；FFR為右大腿軸向壓力,kN。

1.2 數(shù)值模型的驗(yàn)證

為了確認(rèn)所建立的乘員約束系統(tǒng)數(shù)值模型的準(zhǔn)確性，本文依據(jù)標(biāo)準(zhǔn)號(hào)為GB11551—2003的《乘用車正面碰撞的乘員保護(hù)》所描述的流程和方法進(jìn)行了實(shí)車碰撞，如圖2所示。在完成碰撞試驗(yàn)后，將收集到的試驗(yàn)結(jié)果記錄保留，并與在同樣沖擊加速度曲線輸入下的數(shù)值模型響應(yīng)作對(duì)比。如果兩者相差較大，則不斷修正數(shù)值模型直至誤差在規(guī)定的范圍內(nèi)為止，此時(shí)可認(rèn)定數(shù)值模型準(zhǔn)確有效。

圖2 乘員約束系統(tǒng)數(shù)值模型與實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ蛯?duì)比Fig.2 Comparison between numerical model and experimental model of occupant restraint system

圖3為假人動(dòng)態(tài)響應(yīng)曲線仿真結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的對(duì)比。從圖3可以看出，各動(dòng)態(tài)響應(yīng)曲線的變化趨勢(shì)及峰值與實(shí)車碰撞試驗(yàn)基本一致，只有右大腿軸向壓力FFR曲線存在一些誤差。因?yàn)樵趯?shí)車碰撞試驗(yàn)過程中，負(fù)責(zé)鏈接車身與乘員座椅的部件發(fā)生了變形，影響了試驗(yàn)假人的身體位置，使得假人相較于原來的位置產(chǎn)生了一定的偏轉(zhuǎn)，所以導(dǎo)致右大腿軸向壓力曲線略有不同。但從表1可以得出，假人損傷響應(yīng)仿真峰值與試驗(yàn)峰值的最大誤差不超過10%，所以可以認(rèn)為該建模方法有效可行，得出的數(shù)值模型準(zhǔn)確可靠，故使用該模型對(duì)乘員約束系統(tǒng)進(jìn)行可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)。

圖3 假人動(dòng)態(tài)響應(yīng)曲線仿真結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比Fig.3 Comparison between simulation results and experimental results of dummy dynamic response curve

表1 假人損傷響應(yīng)仿真值和試驗(yàn)值對(duì)比Tab.1 Comparison between simulation value and test value of dummy damage response

2 汽車乘員約束系統(tǒng)可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的建立

汽車乘員約束系統(tǒng)需有效保障乘員的安全，因此選取加權(quán)損傷準(zhǔn)則WIC作為乘員約束系統(tǒng)的優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)；考慮到乘員約束系統(tǒng)的安全性能與安全帶上掛點(diǎn)位置X1和安全帶錨點(diǎn)位置X2的初始參數(shù)設(shè)置有關(guān)，因此選取上述兩個(gè)參數(shù)作為確定性設(shè)計(jì)變量；同時(shí)，考慮到制造安裝過程中的誤差，將座椅剛度系數(shù)P作為概率變量，安全帶的初始應(yīng)變作為區(qū)間變量Q；并將頭部綜合損傷值HIC、胸部3 ms加速度值C3 ms、胸部壓縮量D、左大腿軸向壓力FFL和右大腿軸向壓力FFR對(duì)應(yīng)的可靠性指標(biāo)值設(shè)置為約束條件，即可得到基于概率-區(qū)間混合模型的汽車乘員約束系統(tǒng)可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)問題：

minfWIC(X,μp,μQ)

(2)

s.t.

針對(duì)上式所示的可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)問題，外層針對(duì)目標(biāo)函數(shù)fWIC進(jìn)行優(yōu)化，而內(nèi)層求解可靠性指標(biāo)βi時(shí)，由于隨機(jī)變量和區(qū)間變量共存于極限狀態(tài)函數(shù)中，因此針對(duì)可靠性指標(biāo)βi的求解將是一個(gè)雙層優(yōu)化問題[9]。所以，式(2)所示的可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)問題屬于一個(gè)典型的三層嵌套優(yōu)化問題。如果使用傳統(tǒng)的優(yōu)化算法來求解這類優(yōu)化問題，則計(jì)算效率將十分低下，無法滿足工程設(shè)計(jì)的要求。為了使此類優(yōu)化問題的計(jì)算效率得到提升，需采用一種高效的求解策略對(duì)問題進(jìn)行解耦，然后再對(duì)汽車乘員約束系統(tǒng)可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)問題進(jìn)行求解。

3 汽車乘員約束系統(tǒng)可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的求解

3.1 可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的解耦策略

為了求解可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)問題式(2)中的可靠性指標(biāo)βi，以β1為例，需通過下式所示的基于概率-區(qū)間混合模型的可靠性分析問題進(jìn)行求解：

(3)

式中：U為P映射到標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間下的隨機(jī)變量；GHIC(X,U,Q)為gHIC(X,P,Q)映射到標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間下的極限狀態(tài)功能函數(shù)。顯然，上述問題屬于一個(gè)雙層嵌套的優(yōu)化問題，外層優(yōu)化求解最小化的可靠性指標(biāo)β1：

(4)

內(nèi)層優(yōu)化求解最小化的函數(shù)值GHIC(X,U,Q*)：

(5)

為了將式(3)所示的雙層嵌套的優(yōu)化問題轉(zhuǎn)換為單層優(yōu)化問題，本文利用karush-kuhn-tucker(KKT)最優(yōu)化條件[10]可將區(qū)間變量Q轉(zhuǎn)換成服從區(qū)間[-0.07,0]均勻分布的隨機(jī)變量u：

Q～u(-0.07,0)

(6)

則極限狀態(tài)函數(shù)gHIC(X,P,Q)可以改寫成如下形式：

gHIC(X,P,u)=1 000-HIC(X,P,u)

(7)

則對(duì)應(yīng)式(7)可靠性指標(biāo)求解時(shí)面臨的可靠性分析問題如下式所示：

(8)

首先，將極限狀態(tài)函數(shù)gHIC(X,P,u)標(biāo)準(zhǔn)化為隨機(jī)變量y1：

(9)

(10)

(11)

(12)

式中：Φ-1(?)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)累積分布函數(shù)的反函數(shù)。

因此，通過上述KKT最優(yōu)化條件和基于最大熵原理的二次四階矩方法可以將雙層嵌套的優(yōu)化問題式(3)最終轉(zhuǎn)換成通過積分方法來求解可靠性指標(biāo)β1，而無需通過優(yōu)化迭代來求解。

上述解耦過程同樣應(yīng)用于其它可靠性指標(biāo)β2、β3、β4和β5的求解，于是式(2)所示的三層嵌套可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)問題轉(zhuǎn)化為以下單層優(yōu)化問題：

minfWIC(X,μP,μQ)

(13)

s.t.

式中：μg=(μgHIC,μgC3 ms,μgD,μgFFR,μgFFL)T為各極限狀態(tài)函數(shù)的期望值；σg=(σgHIC,σgC3 ms,σgD,σgFFR,σgFFL)T為各極限狀態(tài)函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差；ak=(ak1,ak2,ak3,ak4,ak5)T為各積分方程組的待定參數(shù)；y=(y1,y2,y3,y4,y5)T為各極限狀態(tài)函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)化后的隨機(jī)變量。

顯然，通過上述數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)換，原針對(duì)汽車乘員約束系統(tǒng)的三層嵌套可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)問題轉(zhuǎn)變成式(13)所示的單層優(yōu)化問題，成功實(shí)現(xiàn)了嵌套優(yōu)化問題的解耦，從而有效提升了該優(yōu)化問題的計(jì)算效率。

3.2 近似優(yōu)化問題的建立和求解

為了進(jìn)一步提高計(jì)算效率，本節(jié)采用徑向基函數(shù)(radial basis function)[12]來構(gòu)建汽車乘員約束系統(tǒng)的近似模型，則式(2)所描述的優(yōu)化問題可以轉(zhuǎn)換為如式(14)所描述的數(shù)學(xué)形式：

(14)

s.t.

然后，基于KKT最優(yōu)化條件和基于最大熵原理的二次四階矩方法可以將上述近似優(yōu)化問題轉(zhuǎn)為如下形式：

(15)

s.t.

本文采用遺傳算法[13]對(duì)式(15)所示的近似可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)問題進(jìn)行求解，整個(gè)求解迭代過程如下：

(1)采用拉丁超立方實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)方法(latin hypercube design LHD)[14]在設(shè)計(jì)變量和不確定性變量空間上進(jìn)行樣本點(diǎn)采樣，給定允許誤差值ε>0，置s=1。

(2)將所有樣本點(diǎn)導(dǎo)入乘員約束系統(tǒng)數(shù)值模型并計(jì)算乘員各項(xiàng)損傷值，構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)和各極限狀態(tài)函數(shù)的近似模型，從而建立式(14)所示的近似可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)問題。

(3)利用KKT最優(yōu)化條件和基于最大熵原理的二次四階矩方法獲得如式(15)所示的單層近似可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)問題。

(4)基于遺傳算法對(duì)近似可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)問題(15)進(jìn)行求解，從而獲得此近似優(yōu)化問題的解X(s)。

(5)計(jì)算真實(shí)目標(biāo)函數(shù)fWIC(X,μP,μQ)和乘員各項(xiàng)損傷值在近似優(yōu)化設(shè)計(jì)解X(s)處的值。

(6)計(jì)算誤差δmax：

(16)

如果δmax<ε，則輸出優(yōu)化設(shè)計(jì)解X(s)，迭代終止；否則，對(duì)樣本點(diǎn)重新采樣，更新樣本空間，并返回步驟2，并置s=s+1。

具體優(yōu)化流程圖如圖4所示。

圖4 汽車乘員約束系統(tǒng)可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)流程圖Fig.4 Flow chart of reliability-based design optimization for occupant restraint system

4 優(yōu)化結(jié)果及分析

在整個(gè)優(yōu)化過程中，可靠性指標(biāo)預(yù)設(shè)閾值βt=2，近似模型允許誤差值ε=3%，初始樣本點(diǎn)為30個(gè)，遺傳算法的相關(guān)參數(shù)設(shè)置為：種群大小N=50，交叉概率pc=0.8，變異概率pm=0.02，最大迭代次數(shù)為100代。

圖5 優(yōu)化迭代過程圖Fig.5 Iterative process in the optimization

表2則列出了當(dāng)s=1時(shí)，近似優(yōu)化解與真實(shí)仿真值的誤差對(duì)比。從表中可知，優(yōu)化設(shè)計(jì)解處的各項(xiàng)乘員損傷指標(biāo)的優(yōu)化值與仿真值之間的最大誤差僅為2.03%，小于許可誤差3%。說明此時(shí)目標(biāo)函數(shù)、約束函數(shù)用近似模型得出的響應(yīng)值精度較好，使用該近似模型得出的優(yōu)化結(jié)果有效。而且，在當(dāng)前優(yōu)化設(shè)計(jì)解處的各項(xiàng)乘員損傷指標(biāo)值均低于問題中設(shè)定的閾值，因此優(yōu)化結(jié)果達(dá)到設(shè)計(jì)要求。

表2 優(yōu)化值與仿真值在優(yōu)化設(shè)計(jì)解處對(duì)比Tab.2 Comparison of optimization value and simulation value at optimal solution

圖6為假人動(dòng)態(tài)響應(yīng)曲線優(yōu)化后仿真值與優(yōu)化前實(shí)驗(yàn)值對(duì)比。從圖6可以看出，優(yōu)化后的假人各動(dòng)態(tài)響應(yīng)曲線的變化趨勢(shì)與優(yōu)化前實(shí)車碰撞試驗(yàn)仍然基本一致。但從表3可以得出，假人的頭部綜合損傷值HIC、胸部3 ms加速度值C3 ms、胸部壓縮量D和左大腿軸向壓力FFL已經(jīng)明顯低于優(yōu)化前試驗(yàn)值，雖然右大腿軸向壓力FFR優(yōu)化后仿真值略高于優(yōu)化前試驗(yàn)值，但仍在人體耐受限度安全范圍內(nèi)。而且，優(yōu)化后加權(quán)損傷準(zhǔn)則WIC為0.771，明顯小于優(yōu)化前試驗(yàn)值0.881 4,達(dá)到了優(yōu)化效果。

圖6 假人動(dòng)態(tài)響應(yīng)曲線優(yōu)化后仿真值與優(yōu)化前實(shí)驗(yàn)值對(duì)比Fig.6 Comparison between simulation results after optimization and experimental results before optimization of dummy dynamic response curve

表3 假人損傷響應(yīng)優(yōu)化后仿真值與優(yōu)化前試驗(yàn)值對(duì)比Tab.3 Comparison between the simulation value after optimization and the test value before optimization of dummy damage response

5 結(jié) 論

(1)本文構(gòu)建了汽車乘員約束系統(tǒng)100%正面碰撞數(shù)值模型，通過實(shí)車碰撞試驗(yàn)驗(yàn)證了數(shù)值模型的有效性，并以此來研究汽車發(fā)生碰撞時(shí)乘員身體各部位的動(dòng)態(tài)響應(yīng)。

(2)為了有效保障汽車乘員安全性，提出了一種基于概率-區(qū)間混合模型的汽車乘員約束系統(tǒng)可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)方法。該方法利用KKT最優(yōu)化條件和基于最大熵原理的二次四階矩方法，將原始的三層嵌套可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)問題轉(zhuǎn)變成單層優(yōu)化問題，成功實(shí)現(xiàn)了嵌套優(yōu)化問題的解耦；同時(shí)，使用徑向基函數(shù)構(gòu)建了對(duì)應(yīng)的近似可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)問題，并采用遺傳算法進(jìn)行求解，有效提升了計(jì)算效率。優(yōu)化結(jié)果表明：該方法既能高效地為汽車乘員約束系統(tǒng)匹配最優(yōu)設(shè)計(jì)參數(shù)，又能提高汽車的被動(dòng)安全性，在汽車碰撞安全領(lǐng)域具有一定的工程應(yīng)用價(jià)值。