王 梓，朱才朝

(重慶大學 機械傳動國家重點實驗室，重慶 400044)

滾動軸承具有結構緊湊，高互換性，高機械效率等特點，多應用于高速、重載的場合。軸承的承載能力及非線性特性在很大程度上影響著轉子系統(tǒng)的動力學特性。早期學者在建立滾動軸承-轉子系統(tǒng)動力學模型時，通常將軸承簡化為剛性支承或者彈性線彈簧支承結構。隨著現(xiàn)代旋轉機械向著高精度、低噪聲的方向發(fā)展，過度簡化的支承軸承模型不能準確的反映轉子系統(tǒng)的非線性振動特性。因此，考慮滾動軸承非線性動態(tài)激勵以及轉子的動態(tài)不平衡量激勵，建立軸承-轉子一體化系統(tǒng)動力學模型，揭示非線性因素引起的復雜動力學行為機理，具有重要的工程意義。

國外學者對于滾動軸承的非線性特性導致的轉子振動行為的研究起步較早。Sunnersj?[1]提出了理論模型并結合試驗數(shù)據(jù)，對比分析了轉速、轉子質量以及間隙對于軸承-轉子系統(tǒng)變柔性振動的影響。Mevel等[2]分析了球軸承-轉子系統(tǒng)通向混沌的不同路徑，并發(fā)現(xiàn)了滾動體與滾道間的接觸損失是系統(tǒng)產生混沌現(xiàn)象的必要條件。在此基礎上，Tiwari等[3-9]綜合考慮了轉子偏心、間隙、滾子數(shù)目等結構參數(shù)以及轉速、載荷等工況參數(shù)對于系統(tǒng)動態(tài)特性的影響。但是上述研究的系統(tǒng)動力學模型中，對于軸承支承力的計算，仍采用假設的承載滾子數(shù)目以及過度簡化的Hertz接觸剛度經驗公式，忽略了系統(tǒng)瞬態(tài)平衡位置的變動導致的支承力擾動量的影響，且推導過程繁雜，不具備通用性。

近年來，國內學者劉靜等[10-13]對于滾動軸承-轉子系統(tǒng)動力學的研究，側重于軸承的潤滑狀態(tài)、表面形貌或局部缺陷導致的內部構件間的接觸狀態(tài)或振動碰撞機理分析，忽視了軸承支承力對系統(tǒng)非線性振動的影響，對軸承-轉子系統(tǒng)一體化建模的研究較少且方法單一。

剛度是度量軸承支承力的重要參數(shù)，其時變性和非線性是軸承-轉子系統(tǒng)產生振動行為的重要激勵因素。SKF軸承有限公司將滾動軸承剛度定義為外載荷與內外圈相對位移量的比值[14]，基于此定義下的軸承剛度不能考慮位移隨載荷變化的強非線性特性。大部分學者則將軸承剛度定義為內外圈產生單位的相對位移量時所需的外載荷，并利用有限差分法進行推導，得到滾動軸承綜合剛度矩陣[15-17]，此定義下的軸承剛度僅適用于線性系統(tǒng)或輕載工況。基于這兩種剛度定義，對應于不同幾何結構的滾動軸承的剛度計算方法已較為完善，但這兩種定義下的軸承剛度都不能準確的度量非線性動態(tài)軸承力。同時，在滾動軸承-轉子系統(tǒng)的研究中，通常僅考慮轉子幾何偏心所導致的靜不平衡力激勵，而在高速運轉條件下，由于轉子的振動位移所引起的動態(tài)不平衡力的影響甚大，不可忽略。

綜上，本文歸納兩種表征不同物理含義的軸承剛度計算方法并分析其非線性特性；考慮兩種剛度表征的軸承非線性動態(tài)支承力激勵，以及轉子振動位移導致的不平衡力激勵，提出了一個改進的滾動軸承-轉子系統(tǒng)動力學分析模型；選取兩種不同類型的滾動軸承作為實例研究，通過有限元/接觸力學半解析法(finite element/contact mechanics mixed method,FE/CM)[18]得到滾動軸承的載荷-位移三維分布，確定剛度隨外載及滾動周期變化的分布規(guī)律，通過改進的動力學模型，觀察到軸承-轉子系統(tǒng)復雜的非線性振動行為。本文結合工程實際，提供了一種考慮滾動軸承非線性特征的軸承-轉子一體化系統(tǒng)動力學建模思路，結合轉子工況條件，為高速滾動體軸承-轉子系統(tǒng)的非線性振動行為研究提供參考依據(jù)。

1 滾動軸承的剛度計算與支承力分析

圖1為滾動軸承-轉子系統(tǒng)的坐標系示意圖，O-XY為固定坐標系，O為系統(tǒng)的幾何中心。軸承外滾道保持固定，內滾道與轉子過盈配合且隨轉子以恒定角速度轉動。軸承彈性支承作用下，轉子在X-Y平面的位移記為u=[uxuy]T。

圖1 軸承-轉子系統(tǒng)坐標系Fig.1 Bearing-rotor system coordination

工程實際中，高速運轉的滾動軸承，由于存在徑向間隙，承載滾動體數(shù)目對于外載變化的敏感度增大；同時滾動體與滾道接觸區(qū)為非線性Hertz彈性接觸變形，且內外滾道遠離接觸區(qū)部分也會產生彈性形變作用，這些因素導致內外滾道的相對位移與載荷呈強非線性關系。本節(jié)將提出軸承平均剛度以及局部剛度的計算方法并歸納其物理含義，分析通過這兩種剛度所計算的軸承支承力的非線性特性。

將軸承平均剛度定義為外載荷與位移的比值，表達式為：

(1)

(2)

(3)

根據(jù)泰勒展開式，忽略高階項，關于微小位移變量Δu的軸承支承力擾動增量計算如下：

(4)

(5)

軸承的強非線性動態(tài)支承力包含瞬態(tài)平衡位置點的軸承平衡支承力和位移偏動導致的軸承支承力擾動量，其中平衡支承力由平均剛度確定，擾動力由局部剛度確定。

2 滾動軸承-轉子非線性系統(tǒng)建模

2.1 系統(tǒng)動力學方程

系統(tǒng)運動方程通過牛頓第二定律推導，以矩陣形式表示為：

(6)

2.1.1 滾動軸承動態(tài)激勵力

滾動軸承支承的剛性轉子系統(tǒng)在動平衡過程中，軸承激勵力分為兩部分，一部分為平衡位置點的變動使得彈性平衡支承力產生波動，另一部分為抗微小位移擾動的支承力增量，表示為：

(7)

(8)

2.1.2 動態(tài)不平衡力激勵

產生轉子不平衡力的原因主要分為兩類，一類為加工制造、安裝和定位等因素造成的靜態(tài)幾何偏心誤差，可稱為原始不平衡；另一類為轉子在高速轉動過程中，滾動軸承的彈性支承作用使得轉子質心在O-XY平面上產生動態(tài)偏心位移，稱為動態(tài)不平衡。這兩類轉子不平衡在實際工程應用中都不可避免，靜態(tài)的誤差偏心以及動態(tài)的振動偏心綜合作用導致的動態(tài)不平衡力對系統(tǒng)的振動耦合行為的影響甚大，不可忽略。圖2為質心矢量偏心計算示意圖，其中|OD|動態(tài)偏心位移，|O′D|表示靜態(tài)偏心誤差ε。轉子的綜合偏心誤差e由OO′的矢量長度計算獲得：

圖2 質心矢量偏心計算示意圖Fig.2 Calculation diagram of vector eccentricity for mass center

e=|OO′|=|OD+DO′|=

(9)

轉子的動不平衡力向量表示為：

(10)

式中,γ為質心偏心相位角，由下式計算：

(11)

2.2 數(shù)值計算方法

由上節(jié)分析可知，該非線性系統(tǒng)的兩種激勵都隨時間及振動位移的變化而變化，具有很強的隨機性和不可預測性，系統(tǒng)微分方程難以得到精確的解析解。本節(jié)將提出一種改進的四階Runge-Kutta數(shù)值積分法，此方法可通過不同時刻的瞬態(tài)平衡狀態(tài)方程，獲取軸承動態(tài)支承力激勵以及不平衡力激勵，得到考慮強非線性與時變性的系統(tǒng)振動響應。

首先引入狀態(tài)空間變量x=[x1x2x3x4]T，對方程(6)進行降階處理：

(12)

(13)

(14)

(15)

更新非線性軸承動態(tài)支承力激勵：

(16)

計算轉子動不平衡力激勵：

(17)

(18)

式中:

(19)

根據(jù)s+1時刻的空間變量x〈s+1〉可得到位移向量u〈s+1〉，重復上述步驟，進行下一步長s+1的系統(tǒng)變量的計算；

當?shù)玫介L期的穩(wěn)態(tài)時域響應時，結束數(shù)值積分過程。計算過程如圖3所示。

圖3 數(shù)值計算流程圖Fig.3 Calculation flow chart

3 系統(tǒng)非線性特性分析

獲取精確、直觀且全面的載荷-位移三維分布函數(shù)是分析滾動軸承剛度的首要條件，除解析法、FE/CM混合法以外，本文也推薦通過滾動軸承-剛性轉子實驗臺，獲取真實情況下滾動軸承受外載作用的位移數(shù)據(jù)。本節(jié)以深溝球軸承SKF W6306以及圓柱滾子軸承SKF NU306 ECJ為例，根據(jù)表1和表2中的幾何參數(shù)，通過FE/CM半解析法建模并獲取滾動軸承完整滾動周期的載荷-位移分布，計算并分析表征承載能力的平均剛度函數(shù)和表征抗擾動能力的局部剛度函數(shù)的非線性特性；通過改進的滾動軸承-轉子一體化系統(tǒng)動力學模型，利用改進的四階Runge-Kutta數(shù)值積分算法，分析了軸承的自激擾動量和非線性特性、轉子動不平衡力以及外部載荷對于系統(tǒng)非線性振動行為的影響。

表1 SKF W6306深溝球滾動軸承幾何參數(shù)Tab.1 Parameters of SKF W6306 deep groove ball bearing

表2 SKF NU306 ECJ圓柱滾子軸承幾何參數(shù)Tab.2 Parameters of SKF NU306 ECJ cylindrical roller bearing

3.1 滾動軸承剛度非線性特性分析

圖4 平均剛度三維分布圖,SKF NU306 ECJFig.4 3-dimensional distribution for bearing mean stiffness,SKF NU306 ECJ

圖5 平均剛度-載荷分布曲線，SKF NU306 ECJFig.5 Bearing mean stiffness-load distribution curve,SKF NU306 ECJ

圖6 局部剛度三維分布圖Fig.6 3-dimensional distribution for bearing alternating stiffness,SKF NU306 ECJ

圖7 局部剛度-載荷分布曲線Fig.7 Bearing alternating stiffness-load distribution curve,SKF NU306 ECJ

3.2 系統(tǒng)自激振動分析

對X向振動位移做FFT頻譜分析，結果如圖8所示。其中fs表示為轉子轉頻，fb為滾動體滾動頻率?？梢钥闯鲱l譜圖中的振動成分除了一倍轉頻fs，主要以轉頻與滾動體滾頻的組合形式出現(xiàn)fb-fs，fb+fs，2fb+fs以及3fb+fs。

圖8 X向振動位移時間歷程Fig 8 Time history plot for X direction vibration

圖9 向振動位移頻譜圖Fig 9 FFT spectrum amplitude for direction vibration

3.3 改進模型與傳統(tǒng)模型的結果對比

傳統(tǒng)的滾動軸承-轉子系統(tǒng)動力學模型一般將含間隙的軸承時變剛度模型表示為分段函數(shù)的形式。本節(jié)將基于傳統(tǒng)的軸承時變剛度激勵模型，考慮轉子不平衡力激勵，獲取系統(tǒng)振動響應，并與改進模型的結果進行對比分析。

對于傳統(tǒng)的滾動軸承-轉子系統(tǒng)動力學模型，引入接觸間隙系數(shù)向量μ=[μxμy]T，用于判斷軸承內部滾動體是否與滾道接觸以及是否傳遞支承力，間隙系數(shù)數(shù)值通過式(20)進行計算。

(20)

基于傳統(tǒng)滾動軸承時變剛度模型的系統(tǒng)動力學方程表示為：

(21)

(22)

平衡位置處軸承支承力與外部載荷相等Fb(t)=W(t)，故滾動軸承的時變剛度可表示為：

(23)

對軸承-轉子系統(tǒng)進行頻率掃描分析，獲得轉子在不同激勵頻率下的振動響應。圖10～圖11分別對比了不同類型的滾動軸承通過改進模型與傳統(tǒng)模型計算得到的振動響應，其中外部載荷Wy=5 kN。對比于傳統(tǒng)模型，改進模型的主響應峰峰值減小且響應頻率向高頻區(qū)域移動。傳統(tǒng)模型的升速與降速的掃頻曲線基本重合，而改進模型中可明顯看出在主響應頻率附近發(fā)現(xiàn)幅值跳躍現(xiàn)象，且峰尖向左傾斜。傳統(tǒng)模型中的軸承激勵僅源于其時變性，改進模型在求解過程中能通過不同時刻下的瞬態(tài)動平衡狀態(tài)，實時更新包含軸承平衡支承力及其擾動量的軸承動態(tài)支承力，從而得到接近真實動態(tài)條件下由于軸承激勵作用誘發(fā)的系統(tǒng)振動響應。

圖10 改進模型與傳統(tǒng)模型的振動位移峰峰值曲線對比圖，SKF W6306Fig.10 Comparison for the peak-peak values of vibration displacements from improved model with conventional model,SKF W6306

圖11 改進模型與傳統(tǒng)模型的振動位移峰峰值曲線對比圖，SKF NU306 ECJFig.11 Comparison for the peak-peak values of vibration displacements from improved model with conventional model,SKF NU306 ECJ

3.4 不平衡力的影響

圖12為SKF NU306 ECJ圓柱滾子軸承-轉子系統(tǒng)通過改進的系統(tǒng)動力學模型，由滾動軸承動態(tài)支承力激勵下得到的振動位移峰峰值和均方根值掃頻圖，其中靜態(tài)偏心誤差ε設定為0?？梢钥闯龌诟倪M模型，無不平衡力模型也能得到主響應頻率附近的振幅跳躍、滯后環(huán)以及次諧波響應等強非線性行為。降速掃頻過程中，兩種模型的主響應頻率有細微差別，考慮不平衡力模型的主響應頻率為2 610 Hz，而無不平衡力模型則當fb=2 437 Hz時出現(xiàn)主響應峰。由此可知，轉子不平衡力對系統(tǒng)的共振頻率有一定的影響?？紤]不平衡力模型中系統(tǒng)振動位移的均方根值隨著滾動體滾動頻率fb的增加而顯著增長，無不平衡力模型的振動位移均方根值在主振區(qū)外則保持平穩(wěn)。

圖12 不平衡力對于振動響應的影響，SKF NU306 ECJFig.12 Effect from unbalance force on vibration response,SKF NU306 ECJ

圖13為基于改進模型得到的SKF W6306深溝球軸承-轉子系統(tǒng)的振動位移峰峰值和均方根值掃頻圖，圖中對比了考慮不平衡力與無不平衡力的兩種模型振動響應結果。兩種模型在升速頻率掃描過程中，主響應頻率有細微差別，考慮不平衡力模型的主響應頻率為1 560 Hz，無不平衡力模型的主響應頻率為fb=1 578 Hz。當滾動頻率fb增長時，兩種模型的振動位移峰峰值在響應區(qū)外都保持平穩(wěn)；但是考慮不平衡力模型的振動位移均方根值則隨著滾動頻率的增長而急速上升，當fb由280 Hz增至1 753 Hz時，均方根值由55.22 μm升到65.64 μm，而無平衡力模型的均方根值則保持在54.97～55.27 μm的平穩(wěn)區(qū)間內。

圖13 不平衡力對于振動響應的影響，SKF W6306Fig.13 Effect from unbalance force on vibration response,SKF W6306

由上述兩種不同類型的滾動軸承實例結果可知，不平衡力激勵隨著轉速增加而增加，滿足瞬態(tài)平衡狀態(tài)的軸承平衡支承力及相應的振動位移也隨之增大。不平衡力在系統(tǒng)動態(tài)運轉過程中，與振動位移相互作用產生耦合效應，考慮不平衡力作用得到的系統(tǒng)振動位移均方根值隨著系統(tǒng)轉速的增大而急速上升。不平衡力不僅對系統(tǒng)共振頻率有一定的影響，且其對于系統(tǒng)振動過程中瞬態(tài)平衡位置變化的影響甚大，不可忽略。

3.5 外部載荷的影響

對SKF W6306深溝球軸承-轉子系統(tǒng)施加不同的外載荷，通過改變滾動頻率fb的大小，得到如圖14所示的系統(tǒng)振動位移峰峰值的掃頻結果對比曲線。由圖可知，隨著外載荷Wy在2～5 kN的范圍內增加，系統(tǒng)主響應頻率向右移動，分別為1 297 Hz、1 402 Hz、1 437 Hz以及1 525 Hz；主響應峰的幅值則先增加后減小，當Wy=4 kN時，振動位移峰峰值的幅值最大達到59.25 μm，隨后減小為50.82 μm。

圖14 外載荷對于振動響應的影響，SKF W6306Fig.14 Effect from external loads on vibration response,SKF W6306

圖15為SKF NU306 ECJ圓柱滾子軸承-轉子系統(tǒng)在不同外載荷作用下，進行頻率掃描分析后得到振動位移峰峰值分布圖。當外載荷在2～5 kN范圍內變化時，系統(tǒng)的主響應頻率也隨之波動，由2 437 Hz增至最高值2 653 Hz，隨后呈下降趨勢，降低至2 631 Hz、2 610 Hz；而主響應峰的峰峰值則由Wy=2 kN時的9.90 μm減少為Wy=3 kN時的4.69 μm，當Wy=4 kN、W=5 kN時，主響應區(qū)的峰峰值分別增至14.68 μm、27.79 μm。主響應區(qū)的幅值跳躍幅度在Wy=4 kN時最為劇烈。

圖15 外載荷對于振動響應的影響，SKF NU306 ECJFig.15 Effect from external loads on vibration response,SKF NU306 ECJ

由上述兩種類型滾動軸承的響應結果可知，基于改進模型，系統(tǒng)的動力學行為并沒有呈現(xiàn)出隨著載荷變化的明顯規(guī)律，這是由于強非線性軸承的平均剛度及局部剛度在動態(tài)過程中的具體數(shù)值具有不確定性。為獲得滿足工程問題求解的需要，需要在動態(tài)計算中，通過確定瞬態(tài)平衡位置點，即時更新迭代剛度數(shù)值及其他系統(tǒng)變量，從而得到接近實際情況的振動響應。

4 結 論

(1)平均剛度隨著載荷增加的變化較為平緩，但載荷變動導致的承載滾動體數(shù)目變化能改變平均剛度-載荷函數(shù)的凹凸性。局部剛度表示軸承在平衡位置點處的抗擾動能力，當承載滾動體數(shù)目變化時，呈階躍性變化。

(2)改進的動力學模型能獲得由于軸承強非線性導致的幅值跳躍等非線性現(xiàn)象。

(3)高速運轉條件下，轉子動態(tài)不平衡力對振動位移的影響十分顯著，但對振動位移峰峰值的影響較小。

(4)振動主響應頻率和振動峰峰值都隨著載荷變化而產生波動，其波動情況隨載荷的增大沒有表現(xiàn)出明顯趨勢規(guī)律。不同的工況載荷下，需要在動態(tài)計算中，確定瞬態(tài)平衡位置點，更新系統(tǒng)變量，進而得到響應結果。