賴正聰，潘 文，白 羽，葉燎原，楊曉東

(1.昆明理工大學(xué) 建筑工程學(xué)院，昆明 650500；2.云南省抗震工程技術(shù)研究中心，昆明 650500；3.云南師范大學(xué)，昆明 650500)

隔震結(jié)構(gòu)遭受設(shè)防烈度及其以上強(qiáng)度的地震作用后，往往能夠基本保持彈性，而非隔震結(jié)構(gòu)多數(shù)進(jìn)入塑性甚至嚴(yán)重破壞[1-3]。隔震結(jié)構(gòu)在抵抗可能遭遇的超罕遇烈度地震作用方面，較非隔震結(jié)構(gòu)具有更高的安全儲(chǔ)備，優(yōu)勢(shì)更為顯著。目前，隔震技術(shù)應(yīng)用正從低矮建筑向高層建筑延伸發(fā)展。高寬比較小的低矮隔震結(jié)構(gòu)在地震作用下，基本以整體平動(dòng)以及上部結(jié)構(gòu)剪切變形為主，不易發(fā)生傾覆。而高寬比較大的高層、超高層隔震結(jié)構(gòu)在地震作用下，產(chǎn)生整體平動(dòng)、翻轉(zhuǎn)的同時(shí)還呈現(xiàn)出明顯的上部結(jié)構(gòu)彎曲變形特征，隔震層傾角反應(yīng)更為劇烈[4-5]。

我國(guó)高層建筑中廣泛采用的剪力墻結(jié)構(gòu)，因其自身抗側(cè)向變形剛度較大，通過對(duì)剪力墻布置進(jìn)行優(yōu)化后，可有效縮短上部結(jié)構(gòu)自振周期，隔震后易獲得較佳的減震效能。高層剪力墻結(jié)構(gòu)質(zhì)量沿高度分布較框架結(jié)構(gòu)均勻得多，不宜繼續(xù)沿用集中質(zhì)量葫蘆串剪切模型，尤其當(dāng)剪力墻較多時(shí)會(huì)產(chǎn)生較大的誤差[6]。

然而，剪力墻結(jié)構(gòu)力學(xué)分析較為復(fù)雜，直接建立其精確解析模型進(jìn)行求解幾乎是不可能實(shí)現(xiàn)的[7]。盡管針對(duì)特定結(jié)構(gòu)借助商用軟件建立三維有限元模型進(jìn)行分析的做法能夠獲得足夠準(zhǔn)確的結(jié)果，但卻難以實(shí)現(xiàn)普遍性規(guī)律的分析。為此，文獻(xiàn)[7-8]基于連續(xù)連桿假設(shè)，研究了非隔震剪力墻結(jié)構(gòu)等效懸臂梁模型的建立方法。文獻(xiàn)[6]對(duì)非隔震剪力墻結(jié)構(gòu)懸臂梁模型振動(dòng)偏微分方程及解耦方法進(jìn)行了推導(dǎo)，并完成了地震反應(yīng)Simulink仿真分析，通過與有限元方法對(duì)比驗(yàn)證了等效分析結(jié)果的準(zhǔn)確性。文獻(xiàn)[9]建立了非隔震剪力墻結(jié)構(gòu)平面非對(duì)稱懸臂梁模型，并進(jìn)行了扭轉(zhuǎn)動(dòng)力響應(yīng)分析。文獻(xiàn)[10]直接將剪力墻隔震結(jié)構(gòu)假設(shè)為梁模型，通過其自由振動(dòng)微分方程，未對(duì)梁模型與實(shí)際結(jié)構(gòu)之間的等效關(guān)系及參數(shù)取值方法作具體闡述，也未給出地震動(dòng)作用下的動(dòng)力響應(yīng)分析方法。

本文針對(duì)基礎(chǔ)隔震高層剪力墻結(jié)構(gòu)建立其等效梁模型，給出模型參數(shù)取值方法。詳細(xì)闡述了基于等效隔震梁模型的振型分解反應(yīng)譜法及非線性時(shí)程分析法。采用后者方法計(jì)算時(shí)，鉛芯隔震支座水平向非線性滯回特性采用Bouc-wen模型模擬，算法采用基于修正Newton-Raphson迭代的Newmark-β法。以某實(shí)際結(jié)構(gòu)1∶12.5縮尺模型為算例，編制MATLAB計(jì)算程序，與SAP2000軟件開展地震反應(yīng)對(duì)比分析，以對(duì)等效梁模型分析方法的可靠性進(jìn)行檢驗(yàn)。同時(shí)，對(duì)高寬比達(dá)3.96的算例結(jié)構(gòu)在8度罕遇地震作用下的地震反應(yīng)、抗傾覆性能、隔震層耗能等問題進(jìn)行了分析探討。

1 等效梁模型

1.1 模型建立

將高層剪力墻結(jié)構(gòu)等效為圖1(a)所示梁模型，并以梁底部中心為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系。假設(shè)梁時(shí)刻受到橫向均布力f(x,t)的作用，則在忽略材料內(nèi)阻尼的情況下，距原點(diǎn)x處節(jié)段的受力分析圖如圖1(b)所示。

圖1 等效梁模型Fig.1 The equivalent beam model

暫不考慮材料與截面沿高度變化的情況，根據(jù)動(dòng)量矩定律對(duì)梁段微元體進(jìn)行受力分析，考慮截面剪力與彎矩的關(guān)系，最終可得梁橫向振動(dòng)控制方程

(1)

式中：M，Q分別為梁截面上的彎矩、剪力；ρ為材料密度；E為材料彈性模量；I為截面等效慣性矩；A為等效截面積。

式(1)等號(hào)左邊第二項(xiàng)實(shí)為節(jié)段轉(zhuǎn)動(dòng)慣性力，而該項(xiàng)對(duì)結(jié)構(gòu)響應(yīng)影響較小，可以忽略[11]。進(jìn)而退化為經(jīng)典Bernoulli-Euler梁。自由振動(dòng)方程為

(2)

采用分離變量法求解方程(2)，假設(shè)其解y(x,t)可表示為如下形式[12]

y(x,t)=φ(x)q(t)

(3)

將其代入式(2)，經(jīng)簡(jiǎn)單整理后可分別得到關(guān)于φ(x)和q(t)的兩個(gè)獨(dú)立微分方程。求解關(guān)于φ(x)的四階微分方程可得

φ(x)=C1cosβx+C2sinβx+C3chβx+C4shβx

(4)

其中，

(5)

積分常數(shù)Cj(j=1，j=2，j=3，j=4)及參數(shù)ω可由滿足特定邊界條件的頻率方程確定，ρl=ρA。

基礎(chǔ)隔震高層剪力墻結(jié)構(gòu)可簡(jiǎn)化為圖2所示分析模型。設(shè)隔震層總體水平剛度為Kh，總體抗傾覆轉(zhuǎn)動(dòng)剛度為Kθ，不考慮水平與轉(zhuǎn)動(dòng)剛度之間的耦合。隔震層水平總體等效黏滯阻尼系數(shù)為Ch，轉(zhuǎn)動(dòng)等效黏滯阻尼系數(shù)為Cθ。上述參數(shù)可根據(jù)支座性能及布置參數(shù)確定[13]。

圖2 基礎(chǔ)隔震高層剪力墻結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化分析模型Fig.2 The simplified model of base-isolated shear-wall structure

不考慮阻尼的情況下，在x=0截面(隔震層)處，結(jié)構(gòu)所受瞬時(shí)力矩、剪力分別等于彈簧(支座)翻轉(zhuǎn)力矩及支座水平剪力。在結(jié)構(gòu)頂部x=l(l為等效梁總長(zhǎng))截面處，彎矩、剪力均為0。由以上邊界條件及式(3)～(5)可得特征方程

(6)

由式(6)即可求解各階頻率。但該式較為復(fù)雜，難以得出解析解，將基于Matlab平臺(tái)采用數(shù)值方法進(jìn)行計(jì)算。

1.2 模型參數(shù)

顯然，欲對(duì)上述問題進(jìn)行求解尚需事先確定剛度EI。因?qū)嶋H剪力墻結(jié)構(gòu)中的剪力墻墻肢布置往往較為復(fù)雜，且不同結(jié)構(gòu)的布置方式不盡完全相同，單獨(dú)考慮考慮剪切、彎曲變形影響的做法難以實(shí)現(xiàn)，更不便于工程應(yīng)用。為了在不失準(zhǔn)確性的同時(shí)使問題盡可能簡(jiǎn)單化、方法實(shí)用化，可采用整體等效剛度EIeq進(jìn)行計(jì)算。實(shí)際應(yīng)用時(shí)，只需對(duì)初步設(shè)計(jì)的結(jié)構(gòu)模型作簡(jiǎn)單靜力分析即可得出所需整體等效剛度。

等效剛度的計(jì)算與等效的原則以及荷載分布模式有關(guān)。本文將沿用工程中的普遍做法以結(jié)構(gòu)頂點(diǎn)水平位移相等為原則進(jìn)行等效，分別考慮頂部集中、沿高度呈倒三角及均勻分布三種水平側(cè)向荷載分布模式。

為對(duì)比不同荷載模式的計(jì)算結(jié)果差異，以已建成的某實(shí)際高層剪力墻基礎(chǔ)隔震結(jié)構(gòu)1∶12.5振動(dòng)臺(tái)縮尺模型為算例進(jìn)行分析。該模型上部結(jié)構(gòu)平、立面如圖3、圖4所示，模型照片如圖5所示。該模型為鋼筋混凝土純剪力墻結(jié)構(gòu)，總高度H為7.576 m(原型結(jié)構(gòu)為90.35 m，至頂部突出層為94.7 m)，總質(zhì)量m為22.845 t，x、y向?qū)挾确謩e為2.024 m、1.824 m，高寬比為3.96，實(shí)測(cè)模型材料彈性模量E為8 891 MPa。

圖3 模型結(jié)構(gòu)標(biāo)準(zhǔn)層平面布置Fig.3 Plan layout of typical floor in model structure

圖4 模型立面(m)Fig.4 Elevation of model structure(m)

圖5 模型隔震支座布置Fig.5 Distribution of rubber bearings in model structure

該模型結(jié)構(gòu)隔震層共布置6個(gè)LRB200型鉛芯支座(圖5)，各支座屈服前剛度Ku為1.16×106N/m，屈服后剛度Kd為1.2×105N/m，水平等效剛度均Keq為1.8×105N/m，豎向剛度KV為2.985×107N/m，支座實(shí)測(cè)等效阻尼比ξb為0.16。

利用有限元軟件SAP2000建立非隔震結(jié)構(gòu)三維有限元模型，依次施加頂部集中、沿高度呈倒三角、均勻分布三種水平側(cè)向荷載，計(jì)算頂層質(zhì)心水平位移。因y向高寬比相對(duì)較大，僅考慮該方向的情況。三種荷載模式對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)位移見表1。

表1 頂點(diǎn)位移計(jì)算結(jié)果Tab.1 Results of top-layer displacement

進(jìn)而可計(jì)算得到三種荷載模式對(duì)應(yīng)的等效截面慣性矩

(7)

式中，IeqC，IeqT，IeqD分別為對(duì)應(yīng)于頂部集中、沿高度呈倒三角、均勻分布三種荷載模式且同時(shí)考慮了結(jié)構(gòu)剪切、彎曲變形影響的等效截面慣性矩。

忽略隔震層阻尼的影響，對(duì)圖2所示簡(jiǎn)化隔震梁模型進(jìn)行模態(tài)分析，由式(4)可得y向前兩階振型如圖6所示。顯然，第1階振型以結(jié)構(gòu)整體平移+整體輕微翻轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)為主，第2階振型對(duì)應(yīng)上部結(jié)構(gòu)發(fā)生彈性變形，出現(xiàn)振型反彎點(diǎn)。這與采用SAP2000分析所得三維模型振型圖較為吻合。

圖6 隔震梁模型振型圖Fig.6 Mode shape of isolated beam model

該兩階振型對(duì)應(yīng)的結(jié)構(gòu)自振周期計(jì)算結(jié)果列于表2?？梢钥吹?，采用等效梁模型計(jì)算所得隔震結(jié)構(gòu)自振周期與SAP2000三維有限元模型計(jì)算結(jié)果較為接近，相對(duì)偏差均未超過10%。其中，采用均勻分布荷載模式分析所得等效截面慣性矩IeqD計(jì)算得到的第1階周期相對(duì)有限元模型計(jì)算結(jié)果偏差要更小一些。盡管2階周期偏差相對(duì)稍大，但由于第1階振型對(duì)隔震結(jié)構(gòu)地震作用響應(yīng)起控制作用[14-15]，因而，后續(xù)分析均采用IeqD作為梁模型參數(shù)進(jìn)行討論。

表2 自振周期Tab.2 Natural vibration periods

2 等效梁模型地震反應(yīng)計(jì)算方法

2.1 振型分解反應(yīng)譜法

對(duì)于考慮隔震層邊界的等效梁模型，通過對(duì)分離變量法得到的模態(tài)微分方程式(8)進(jìn)行分部積分、引入隔震層邊界條件，便可證明其模態(tài)關(guān)于質(zhì)量、剛度均具有正交性。

(8)

正交關(guān)系式分別表達(dá)為

(9)

(10)

式中，φr(x)，φn(x)分別為第r，n階模態(tài)函數(shù)。

(11)

式中，Mn，Cn，Kn分別為第n階振型的廣義質(zhì)量、廣義阻尼系數(shù)、廣義剛度。

(12)

(13)

(14)

(15)

式(13)中：Cb為隔震層整體等效黏滯阻尼系數(shù)；C0為上部結(jié)構(gòu)Rayleigh阻尼系數(shù)。

由此，可采用與離散系統(tǒng)相同的求解方法對(duì)各階地震響應(yīng)進(jìn)行計(jì)算，然后利用進(jìn)行峰值反應(yīng)組合得到隔震等效梁的最大地震反應(yīng)。因高寬比較大的高層隔震建筑形狀往往較為規(guī)則，扭轉(zhuǎn)反應(yīng)相對(duì)較小，因此，可按SRSS組合進(jìn)行計(jì)算。

2.2 非線性時(shí)程分析法

當(dāng)需考慮隔震支座非線性行為時(shí)，可利用非線性時(shí)程分析法對(duì)基于有限單元離散化的等效梁進(jìn)行計(jì)算。算法采用基于修正Newton-Raphson迭代的Newmark-β法。對(duì)等效梁進(jìn)行單元?jiǎng)澐謺r(shí)，可將單個(gè)樓層作為一個(gè)單元(圖7)。

圖7 等效梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)澐諪ig.7 Equivalent beam element division

與非隔震梁不同的是，底部單元(如圖中1號(hào)單元)剛度矩陣需疊加每一時(shí)間步隔震層整體剛度等效水平及翻轉(zhuǎn)剛度。目前，工程中廣泛采用Bouc-wen模型來(lái)模擬隔震層水平向非線性恢復(fù)力特性(圖8)，按式(16)計(jì)算。

圖8 Bouc-wen模型滯回曲線Fig.8 Hysteresis curve of Bouc-wen model

(16)

根據(jù)式(16)可推導(dǎo)出第i時(shí)刻的隔震層水平向剛度Khi為

(17)

第i時(shí)刻的的隔震層翻轉(zhuǎn)剛度Kθi則可根據(jù)支座壓縮、拉伸剛度、布置位置以及第i時(shí)刻實(shí)際拉、壓狀態(tài)確定，支座拉、壓剛度比取0.1。

3 算例結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)分析

以前述高層剪力墻基礎(chǔ)隔震結(jié)構(gòu)縮尺模型為算例，按本文方法建立其等效梁模型，分別采用振型分解反應(yīng)譜法、非線性時(shí)程分析法，編制Matlab程序進(jìn)行地震反應(yīng)分析，并與SAP2000三維有限元模型計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比(圖9)。

圖9 SAP2000三維有限元模型Fig.9 SAP2000 3D FEM

結(jié)構(gòu)地震設(shè)防烈度為8度(0.2g)，場(chǎng)地卓越周期Tg=0.55 s，最大地震影響系數(shù)αmax=0.9。振型分解反應(yīng)譜法計(jì)算時(shí)，LRB200支座等效阻尼比ξb取實(shí)測(cè)值0.16。等效梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)澐謺r(shí)，個(gè)單元長(zhǎng)度按表3取用，截面積采用表中的名義面積，密度采用按總質(zhì)量、總體積計(jì)算出的等效密度。

表3 模型層高及面積Tab.3 Storey height and area

考慮到地震波的離散性會(huì)對(duì)計(jì)算結(jié)果產(chǎn)生顯著影響，為盡量確保用于計(jì)算的地震波反應(yīng)譜與振型分解反應(yīng)譜法計(jì)算所采用的規(guī)范反應(yīng)譜較為接近，使結(jié)果更具可比性，按照規(guī)范譜擬合生成了10條人工波，以此作為激勵(lì)進(jìn)行非線性時(shí)程分析。反應(yīng)譜曲線如圖10所示。

圖10 反應(yīng)譜曲線Fig.10 Response spectrum curves

表4 自振周期Tab.4 Natural vibration periods

可見，整體梁模型、單元離散梁模型特征值法計(jì)算所得1、2階周期與三維有限元模型計(jì)算結(jié)果均較為接近。而考慮了梁?jiǎn)卧嗉?xì)節(jié)(如單元長(zhǎng)度、截面積)的離散梁模型(也采用等效線性化剛度)計(jì)算結(jié)果較整體梁模型計(jì)算結(jié)果更為精確一些。

進(jìn)一步分析了結(jié)構(gòu)位移、內(nèi)力等8度罕遇地震作用下的反應(yīng)，結(jié)果列于表5。為便于表述，約定：方法1為SAP2000非線性時(shí)程分析法；方法2為等效梁振型分解反應(yīng)譜法；方法3為基于等效梁的有限單元非線性時(shí)程分析法。計(jì)算時(shí)上部結(jié)構(gòu)采用彈性假設(shè)，僅考慮隔震層的非線性行為。

表5計(jì)算結(jié)果顯示：采用等效線性化剛度和等效阻尼比計(jì)算的等效梁振型分解反應(yīng)譜法分析結(jié)果較SAP2000計(jì)算結(jié)果稍稍偏大，結(jié)構(gòu)底部(隔震層)傾覆力矩偏差達(dá)到了14.45%，這與等效線性化及振型組合的方法有關(guān)系。方法3計(jì)算結(jié)果則與SAP2000計(jì)算結(jié)果較為接近，最大偏差為隔震層剪力項(xiàng)，為-6.38%，而結(jié)構(gòu)底部、頂部位移計(jì)算結(jié)果偏差較小。這充分說(shuō)明了本文基于等效隔震梁模型的有限單元時(shí)程分析法是較為準(zhǔn)確的。等效梁振型分解反應(yīng)譜法及有限元時(shí)程分析法與SAP2000時(shí)程分析計(jì)算所得底部力矩、支座應(yīng)力均為正偏差。究其原因，一方面是由于等效梁模型是基于隔震層剛度無(wú)限大的假設(shè)而建立的，忽略了隔震層梁板體系彈性變形，可能導(dǎo)致對(duì)翻轉(zhuǎn)剛度估計(jì)過大；另一方面則是等效梁模型難以考慮上部結(jié)構(gòu)側(cè)移、重心偏移所引起自重壓應(yīng)力分布不均，從而降低了支座應(yīng)力計(jì)算精度。

表5 計(jì)算結(jié)果對(duì)比(罕遇地震)Tab.5 Comparison of calculation results(rare earthquake)

圖11給出SAP2000及本文方法3計(jì)算所得其中4條地震波激勵(lì)下的隔震層整體滯回曲線。

圖11 隔震層滯回曲線Fig.11 Hysteretic curves of isolation layer

由圖11所示隔震層剪力-水平位移滯回曲線對(duì)比情況可見，基于等效梁有限元非線性時(shí)程分析方法與SAP2000計(jì)算結(jié)果相比具有較高的精度。兩種方法所得滯回曲線形狀較為接近。同時(shí)可見，盡管該結(jié)構(gòu)高寬比較大，但隔震后隔震支座仍處于正常工作狀態(tài)，滯回曲線較為飽滿，支座壓應(yīng)力均為負(fù)值，未出現(xiàn)受拉應(yīng)力(圖12)，結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)出較好的抗傾覆性能。

圖12 支座豎向應(yīng)力包絡(luò)時(shí)程曲線Fig.12 Envelope time history of rubber bearing vertical stress

圖13進(jìn)一步給出10條波作用下，結(jié)構(gòu)平均側(cè)移?？梢?，該結(jié)構(gòu)在地震作用下，側(cè)向水平位移主要集中在隔震層，上部結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)出輕微擺動(dòng)翻轉(zhuǎn)?；诘刃Я旱挠邢拊蔷€性時(shí)程分析結(jié)果與SAP2000計(jì)算結(jié)果較為接近。在此表明本文所建立的計(jì)算方法具有較好的精度。這意味著，可用所建立的等效梁模型對(duì)高寬比較大的高層隔震建筑結(jié)構(gòu)開展地震反應(yīng)分析。相比利用商用軟件針對(duì)特定結(jié)構(gòu)進(jìn)行研究的做法而言，采用等效梁模型進(jìn)行分析更便于獲得諸如上部結(jié)構(gòu)與隔震層抗側(cè)剛度比、隔震與非隔震結(jié)構(gòu)周期比、阻尼等參數(shù)對(duì)結(jié)構(gòu)減震效能的影響規(guī)律等更具普適性的結(jié)論。

圖13 結(jié)構(gòu)平均側(cè)移曲線Fig.13 Average lateral displacement of structure

4 結(jié) 論

通過以上分析，可得出如下結(jié)論以供后續(xù)理論研究及實(shí)際工程應(yīng)用參考：

(1)采用所建立的等效梁模型對(duì)基礎(chǔ)隔震高層剪力墻結(jié)構(gòu)進(jìn)行地震反應(yīng)分析具有較好的計(jì)算精度。等效梁的有限單元非線性時(shí)程分析法計(jì)算所得隔震層滯回曲線、樓層側(cè)移規(guī)律等均與SAP2000非線性時(shí)程分析法所得結(jié)果較為吻合。等效梁振型分解反應(yīng)譜法計(jì)算結(jié)果偏差稍大，但也基本在工程可接受范圍內(nèi)。

(2)可用沿結(jié)構(gòu)高度均勻分布側(cè)向力作用下的綜合考慮彎剪變形影響的整體等效剛度EIeq作為等效梁的模型參數(shù)?？蓪⒃摰刃Я耗Ｐ蛻?yīng)用于高層隔震結(jié)構(gòu)的普適性規(guī)律研究。

(3)高寬比達(dá)3.96的算例結(jié)構(gòu)在8度罕遇地震作用下，顯示出了良好的抗震性能。結(jié)構(gòu)振動(dòng)以整體平動(dòng)加輕微翻轉(zhuǎn)擺動(dòng)為主，水平側(cè)移主要集中在隔震層。隔震支座尚處于受壓狀態(tài)，隔震層滯回曲線飽滿、耗能顯著。由此表明，將基礎(chǔ)隔震技術(shù)應(yīng)用于高烈度區(qū)大高寬比高層剪力墻結(jié)構(gòu)是可行的。