段汕，張玉曉，柳倩

(中南民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院，武漢 430074)

數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)在20世紀(jì)中期由MATHERON和SERRA提出，主要利用集合、幾何以及拓?fù)涞母拍顚?duì)圖像和信號(hào)進(jìn)行分析[1]，其基本思想是利用一個(gè)稱(chēng)作結(jié)構(gòu)元的“探針”實(shí)現(xiàn)對(duì)圖像信息的描述和提取.形態(tài)算子的表示定理是數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)基礎(chǔ)理論重要的組成部分，MATHERON通過(guò)引入核元的概念，針對(duì)形態(tài)算子建立了Matheron表示定理[2]，該定理表明所有平移不變的增性算子都可以基于算子的核元進(jìn)行表示.

隨著空間變化(spatially-variant，SV)形態(tài)學(xué)方法的提出，Matheron表示定理由BOUAYNAYA等人擴(kuò)展到SV二值形態(tài)學(xué)的情形，并建立了SV形態(tài)算子的核表示定理[3].鑒于形態(tài)算子核表示定理具有重要的理論及實(shí)用價(jià)值[4-6]，且利用形態(tài)算子的核元可以構(gòu)造等冪和自對(duì)偶形態(tài)濾波[7]，對(duì)于其構(gòu)成算子表示的核元進(jìn)行相關(guān)研究，不僅可以揭示核元的結(jié)構(gòu)特征，而且對(duì)算子表示定理中去冗余問(wèn)題也有積極的作用.

基于此，本文在平移不變二值形態(tài)學(xué)理論的基礎(chǔ)上，對(duì)二值形態(tài)算子核元的性質(zhì)進(jìn)行了研究，并以此為基礎(chǔ)，建立了SV二值形態(tài)算子核元的相關(guān)理論框架，給出在已知核元的基礎(chǔ)上產(chǎn)生新核元的方法.研究結(jié)果表明：二值情況下的SV形態(tài)算子的核元保留了平移不變形態(tài)算子核元的大多數(shù)性質(zhì)，此研究結(jié)果豐富了形態(tài)算子核元的理論.

1 準(zhǔn)備工作

BOUAYNAYA等人在文獻(xiàn)[3]中提出了SV二值形態(tài)算子的相關(guān)概念，并對(duì)其基本性質(zhì)進(jìn)行了研究.

在平移不變二值形態(tài)學(xué)框架中,結(jié)構(gòu)元是固定不變的.將集合A沿向量x的平移記為A+x或Ax，即A+x={a+x:a∈A}.

以B為固定結(jié)構(gòu)元的腐蝕和膨脹算子具有形式[9]：

基于固定結(jié)構(gòu)元A,B的擊中擊不中算子[9]φ定義為：

φ(X)=X?(A,B)={x∈E:Ax?X?Bx}.

在SV二值形態(tài)學(xué)框架中,結(jié)構(gòu)元是空間變化的，由θ:E→P(E)所給出的映射稱(chēng)為結(jié)構(gòu)映射，結(jié)構(gòu)映射θ的轉(zhuǎn)置[3]θ′(y)={z∈E:y∈θ(z),y∈E}.

以θ為結(jié)構(gòu)映射的SV腐蝕εθ(X)、膨脹δθ(X)、開(kāi)Γθ(X)、閉Φθ(X)定義[3]為：

基于結(jié)構(gòu)映射θ1,θ2的擊中擊不中算子[5]φ定義為：

φ(X)=X?(θ1,θ2)={z∈E:θ1(z)?X?θ2(z)}.

(1)

上述算子具有如下性質(zhì)[5]：

εθ(X)?X?δθ(X)；

(2)Γθ(X)?X?Φθ(X).

2 平移不變核元的基本性質(zhì)

依據(jù)文獻(xiàn)[9],算子α的平移不變核K(α)定義為：K(α)={A:0∈α(A)}.

利用平移不變形態(tài)算子的基礎(chǔ)知識(shí)，對(duì)于平移不變核K(α)不難建立以下性質(zhì)：

性質(zhì)1設(shè)X,A,B∈P(E)，則有：

(2)對(duì)于平移不變算子α1,α2，α1≤α2的充要條件是：K(α1)?K(α2).

(3)對(duì)于算子α1,α2，有K(α1∨α2)=K(α1)∪K(α2);K(α1∧α2)=K(α1)∩K(α2).

(4)設(shè)α為增性算子，A?B，若A∈K(α)，則

B∈K(α).

(5)若α為增性自對(duì)偶算子，σ=id∧αv，則

A∈K(σ)的充要條件是：Ac∈K(α)且0∈A.

(8)[11]若φ(X)=X?(A,B)，則：

1)K(φ)=[A,B]，其中，[A,B]表示閉區(qū)間，即[A,B]={X:A?X?B}；

運(yùn)用以上形態(tài)算子核元的基本性質(zhì)，可以進(jìn)一步研究SV二值形態(tài)算子核元的相關(guān)性質(zhì).

3 SV核元的性質(zhì)

算子α的SV核[3]Ker(α)定義為：

(2)

3.1 SV核元的一般性質(zhì)

性質(zhì)2[5]設(shè)α1,α2∈O，則α1≤α2的充要條件是：Ker(α1)?Ker(α2).

性質(zhì)3對(duì)于α1,α2∈O，有：

(1)Ker(α1∨α2)?Ker(α1)∪Ker(α2)；

(2)Ker(α1∧α2)=Ker(α1)∩Ker(α2).

證明(1)若θ∈Ker(α1)∪Ker(α2)，則θ∈Ker(α1)或θ∈Ker(α2)，由SV核的定義(2)式，則對(duì)于任意的z∈E，有z∈α1(θ(z))∪α2(θ(z))=(α1∨α2)(θ(z))，所以θ∈Ker(α1∨α2)，故Ker(α1)∪Ker(α2)?Ker(α1∨α2).

Ker(α2).

性質(zhì)4θ∈Ker(α)的充要條件是：θc∈Ker(αv)，其中θc(z)=(θ(z))c,z∈E.

證明充分性：由θc∈Ker(αv)，則對(duì)于任意的z∈E，有z∈α(v(θc(z)))=α((θc(z))c)=α(θ(z)),故θ∈Ker(α).

必要性：由θ∈Ker(α)，則對(duì)于任意的z∈E，有

z∈α(θ(z))=α((θc(z))c)=α(v(θc(z))),故θc∈Ker(αv).

3.2 增性算子的SV核元的性質(zhì)

性質(zhì)5設(shè)α∈O是增性算子，θ1≤θ2，若θ1∈Ker(α)，則θ2∈Ker(α).

證明若θ1∈Ker(α)，則對(duì)于任意的z∈E，有z∈α(θ1(z))，又α是增性算子且θ1≤θ2，所以有z∈α(θ1(z))?α(θ2(z))，于是有z∈α(θ2(z))，故θ2∈Ker(α).

性質(zhì)6設(shè)α∈O為增性算子，若θ1∈Ker(α),θ2∈Ker(α*)，則對(duì)于任意的z∈E，θ1(z)∩

由上述性質(zhì)可以得到以下推論:

性質(zhì)7對(duì)于結(jié)構(gòu)映射θ,θ1，有

(1)θ∈Ker(εθ1)的充要條件是：θ1≤θ；

證明(1)充分性：由θ1≤θ，則對(duì)于任意的z∈E，θ1(z)?θ(z)，于是有z∈{z0∈E:θ1(z0)?θ(z)}=εθ1((θ(z))，故θ∈Ker(εθ1).

必要性：由θ∈Ker(εθ1)知，對(duì)于任意的z∈E，有z∈εθ1((θ(z))={z0∈E:θ1(z0)?θ(z)}，從而有θ1(z)?θ(z)，即θ1≤θ.

3.3 轉(zhuǎn)換算子的SV核元的性質(zhì)

性質(zhì)8若α∈O為增性自對(duì)偶算子，σ為與α相關(guān)的轉(zhuǎn)換算子，則θ∈Ker(σ)的充要條件是：對(duì)于任意的z∈E,z∈θ(z)且z∈α(θc(z)).

θ∈Ker(id)∩Ker(αv)=Ker(id∧αv)=Ker(σ).

3.4 擊中擊不中算子的SV核元的性質(zhì)

對(duì)于(1)式所定義的擊中擊不中算子φ，用[θ1,θ2]表示如下映射段：[θ1,θ2]={θ:θ1≤θ≤θ2}，則有以下性質(zhì)成立：

性質(zhì)9Ker(φ)=[θ1,θ2].

證明對(duì)于θ∈Ker(φ)，有任意的z∈E,z∈φ(θ(z))={z0∈E:θ1(z0)?θ(z)∈θ2(z0)},

所以有θ1(z)?θ(z)?θ2(z)，即θ∈{θ0:θ1≤θ0≤θ2}=[θ1,θ2]，于是有Ker(φ)?[θ1,θ2]，同理，對(duì)于θ∈[θ1,θ2]，有任意的z∈E，θ1(z)?θ(z)?θ2(z)，所以z∈{z0∈E:θ1(z0)?θ(z)?θ2(z0)}=φ(θ(z))，即θ∈Ker(φ)，于是有[θ1,θ2]?Ker(φ)，因此可得Ker(φ)=[θ1,θ2].

4 SV核元的產(chǎn)生

可以通過(guò)對(duì)已知的SV核元進(jìn)行極大、極小運(yùn)算、腐蝕、膨脹、開(kāi)和閉以及平移運(yùn)算產(chǎn)生新的核元.

性質(zhì)11對(duì)于θ1,θ2∈Ker(α),有

(1)若α關(guān)于集合的交運(yùn)算可交換，則θ1∧

θ2∈Ker(α)；

(2)若α關(guān)于集合的并運(yùn)算可交換，則θ1∨

θ2∈Ker(α).

證明(1)若α關(guān)于集合的交運(yùn)算可交換，由條件θ1,θ2∈Ker(α)，則對(duì)于任意的z∈E,有z∈α(θ1(z))∩α(θ2(z))=α((θ1∧θ2)(z))，于是，有z∈α((θ1∧θ2(z))，故θ1∧θ2∈Ker(α).

(2)若α關(guān)于集合的并運(yùn)算可交換，由條件θ1,θ2∈Ker(α)，則對(duì)于任意的z∈E，有z∈α(θ1(z))∩α(θ2(z))?α(θ1(z))∪α(θ2(z))=α((θ1∨θ2)(z))，于是，有z∈α((θ1∨θ2)(z))，故θ1∨θ2∈Ker(α).

給定兩個(gè)結(jié)構(gòu)映射θ和θ1，用εθ1(θ),δθ1(θ),Γθ1(θ),Φθ1(θ)來(lái)表示結(jié)構(gòu)映射的SV腐蝕、膨脹、開(kāi)和閉，即對(duì)任意的z∈E,(εθ1(θ))(z)=εθ1(θ(z)),(δθ1(θ))(z)=δθ1(θ(z)),(Γθ1(θ))(z)=Γθ1(θ(z)),(Φθ1(θ))(z)=Φθ1(θ(z)).在此基礎(chǔ)上，可以通過(guò)對(duì)結(jié)構(gòu)元θ進(jìn)行SV腐蝕、膨脹、開(kāi)和閉運(yùn)算來(lái)產(chǎn)生SV核元.

性質(zhì)12對(duì)于θ∈Ker(α)及結(jié)構(gòu)映射θ1，有

(3)若α是減性算子，則Γθ1(θ)∈Ker(α)；

(4)若α是增性算子，則Φθ1(θ)∈Ker(α).

證明(1)由θ∈Ker(α)，則對(duì)于任意的z∈E，有z∈α(θ(z))，所以由SV腐蝕的性質(zhì)及α是減性算子可得：z∈α(θ(z))?α(εθ1(θ(z)))，于是z∈α(εθ1(θ(z)))=α((εθ1(θ))(z))，故δθ1(θ)∈Ker(α).

(2)由θ∈Ker(α)，則對(duì)于任意的z∈E，有z∈α(θ(z))，所以由SV膨脹的性質(zhì)及α是增性算子可得：z∈α(θ(z))?α(δθ1(θ(z)))，于是有z∈α(δθ1(θ(z)))=α((δθ1(θ))(z))，故δθ1(θ)∈Ker(α).

同理可證得(3)、(4).

給定結(jié)構(gòu)映射θ，用θa表示映射θ通過(guò)元素a∈E的平移，即對(duì)于任意的z∈E，θa(z)=(θ(z))a，則可以通過(guò)對(duì)結(jié)構(gòu)映射θ進(jìn)行平移運(yùn)算來(lái)產(chǎn)生SV核元.

性質(zhì)13若α為平移不變算子，則θa∈Ker(α)(a∈E)的充要條件是：對(duì)于任意的z∈E,(θ(z))a-z∈K(α).

給定結(jié)構(gòu)映射θ和固定結(jié)構(gòu)元B，建立新的結(jié)構(gòu)映射θΘB，θ⊕B，其定義為：

(θΘB)(z)=θ(z)ΘB，(θ⊕B)(z)=θ(z)⊕B.

性質(zhì)14設(shè)α為平移不變算子，

(1)若α關(guān)于集合的交運(yùn)算可交換，則θΘB∈Ker(α)的充要條件是：對(duì)于任意的z∈E，任意的b∈B,θ-b-z∈K(α)；

(2)若α關(guān)于集合的并運(yùn)算可交換，則θ⊕B∈Ker(α)的充要條件是：對(duì)于任意的z∈E，存在b∈B，使得θb-z∈K(α).

上述研究表明，SV形態(tài)算子的核元與平移不變形態(tài)算子核元的性質(zhì)基本保持一致.

5 結(jié)語(yǔ)

本文在已有文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，對(duì)平移不變二值形態(tài)算子核元的性質(zhì)進(jìn)行了研究，實(shí)現(xiàn)了從平移不變形態(tài)算子核元到SV形態(tài)算子核元研究的擴(kuò)展，并在已知核元的基礎(chǔ)上研究了產(chǎn)生新核元的幾種方法，豐富了形態(tài)算子核元的理論成果.后續(xù)可以進(jìn)一步研究灰值形態(tài)算子核元的性質(zhì)以及形態(tài)算子核元的應(yīng)用，從而使此研究工作更加完善.