楊靜靜，孫杰明，馬小明

(1.中航富士達(dá)科技股份有限公司泰斯特實(shí)驗(yàn)室，西安 710077；2.西安東儀綜合技術(shù)實(shí)驗(yàn)室有限責(zé)任公司，西安 710065)

0 引言

在振動(dòng)試驗(yàn)中，夾具作為一個(gè)機(jī)械結(jié)構(gòu)件，希望通過(guò)夾具可以將振動(dòng)臺(tái)的激勵(lì)能量1∶1的傳遞給被試產(chǎn)品，因此考慮的并不是夾具本身如何振動(dòng)[1]，而是振動(dòng)臺(tái)傳遞給夾具的激勵(lì)能量是多少，夾具傳遞的給被試產(chǎn)品的激勵(lì)能量是多少，以及在這種傳遞的過(guò)程中又會(huì)損失多少的激勵(lì)能量，為此，必須分析夾具的絕對(duì)傳遞率。

1 單自由度有阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)的原理

由于在進(jìn)行振動(dòng)試驗(yàn)時(shí)，產(chǎn)品附帶的夾具必不可少，而如果將夾具整體看作是一個(gè)慣性負(fù)載，而夾具與振動(dòng)臺(tái)相連的螺釘或者壓板可以看成一個(gè)具有一定彈性模量的彈簧，所以被試產(chǎn)品和夾具可以整體看成一個(gè)等效的彈簧-質(zhì)量系統(tǒng)，夾具在受到振動(dòng)臺(tái)的激勵(lì)后，其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)符合單自由度有阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)的規(guī)律，很顯然夾具在收到振動(dòng)臺(tái)的激勵(lì)后，自身的響應(yīng)會(huì)消耗一部分激勵(lì)能量，而后將剩下的激勵(lì)能傳遞給被試產(chǎn)品[2-3]，其原理如圖1所示：

圖1 夾具與被試件連接簡(jiǎn)化圖

取X方向?yàn)檎较騧1為一個(gè)受到振動(dòng)激振力(F0sinwt)激勵(lì)的慣性負(fù)載，其中K為振動(dòng)臺(tái)和夾具相連螺釘其彈性系數(shù)為K，而C為系統(tǒng)阻尼，m2為受到傳遞激振力(F1sinwt)激勵(lì)的被試件，根據(jù)單自由度有阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)的規(guī)律，可以得夾具的力學(xué)二階線性常系數(shù)非其次微分方程為：

(1)

設(shè)式(1)通解為x=x0sin(wt-φ)帶入式(1)中得：

F0sinwt=-mw2x0sin(wt-φ)

+cwx0cos(wt-φ)+kx0sin(wt-φ)

(2)

將式(2)移項(xiàng)得：

F0sinwt=(k-mw2)x0sin(wt-φ)

+cwx0cos(wt-φ)

(3)

將F0sinwt改寫(xiě)為F0sin[(wt-φ)+φ]帶入式(3)中得：

F0sin[(wt-φ)+φ]=

(k-mw2)x0sin(wt-φ)+cwx0cos(wt-φ)

?F0sin(wt-φ)cosφ+F0cos(wt-φ)sinφ

=(k-mw2)x0sin(wt-φ)+cwx0cos(wt-φ)

?(k-mw2)x0sin(wt-φ)-F0sin(wt-φ)cosφ

+cwx0cos(wt-φ)-F0cos(wt-φ)sinφ=0

?[(k-mw2)x0-F0cosφ]sin(wt-φ)

+(cwx0-F0sinφ)cos(wt-φ)=0 (4)

從式(4)可知在t為任意值時(shí)都應(yīng)滿足式(4)，因此有：

(k-mw2)x0=F0cosφ

cwx0=F0sinφ

(5)

由式(5)可以得出：

(6)

(7)

2 絕對(duì)傳遞率

從式(7)及圖1可知此時(shí)被試件m2所受到的激振力僅僅是彈力和阻尼力的合力F1即：

(8)

(9)

(10)

其中wn為系統(tǒng)有阻尼自由振動(dòng)的臨界頻率，ζ為無(wú)因次相對(duì)阻尼系數(shù)，則從式(10)中可以看出夾具的絕對(duì)傳遞隨著系統(tǒng)振動(dòng)頻率的變化分為以下幾種狀態(tài)：

狀態(tài)4：w=wn，此時(shí)傳遞率與無(wú)因次阻尼系數(shù)ζ成反比。

由此可知，在振動(dòng)試驗(yàn)解決的傳遞率是與夾具自身的動(dòng)態(tài)特性有關(guān)，且當(dāng)振動(dòng)頻率與夾具自身的諧振頻率比值小于1.414時(shí)，振動(dòng)的輸入激振能量，只要很少的一部分消耗在被試件的夾具上，而更多的激振能量傳遞到了被試件上[4-6]。在當(dāng)振動(dòng)頻率與夾具自身的諧振頻率比值大于1.414時(shí)，傳遞效率會(huì)非常的差，大部分的激勵(lì)能量都損耗在夾具自身的響應(yīng)，而傳遞到被試件的激勵(lì)能量則非常的少，從式(10)可以看出，w/wn的比值越大，消耗于夾具振動(dòng)的能量就越多，通過(guò)夾具傳遞給試驗(yàn)件的能量就越少。因此，在設(shè)計(jì)夾具時(shí)，作為多自由度彈簧質(zhì)量系統(tǒng)，夾具的整體諧振頻率應(yīng)高于最高振動(dòng)頻率的0.7倍。

3 半功率帶寬法測(cè)定相對(duì)阻尼因數(shù)

(11)

而其最大靜位移可以表示為：

xst=F0/K

從式(11)可知在系統(tǒng)發(fā)生諧振時(shí)，w=wn，此時(shí)的諧振峰值為：

(12)

則Q、Qmax分別為：

(13)

(14)

根據(jù)式(13)和式(14)的結(jié)論可得：

(15)

圖2 單自由度有阻尼振動(dòng)強(qiáng)迫振動(dòng)幅頻特性

如圖2所示在有阻尼的情況下，振動(dòng)系統(tǒng)在發(fā)生諧振時(shí)的振動(dòng)頻率其實(shí)并不發(fā)生在w/wn=1時(shí)，因此，對(duì)式(15)中w進(jìn)行微分可得：

(16)

則：-4(1-λ2)λ+8ζ2λ=0

?-4(1-λ2)λ+8ζ2λ=0

?-(1-λ2)λ+2ζ2λ=0

?-(1-λ2)+2ζ2=0

(17)

(18)

(19)

對(duì)式(19)取倒數(shù)，同時(shí)去根號(hào)進(jìn)行化簡(jiǎn)得：

(20)

(21)

在實(shí)際的振動(dòng)試驗(yàn)中相對(duì)阻尼因數(shù)較小因此ζ2可以忽略，則：

(22)

因此w對(duì)應(yīng)的兩個(gè)頻率點(diǎn)為：

(23)

將上式相減得：

(24)

則式(23)計(jì)算的結(jié)果可以表示為：

(25)

其中fa，fb為半功率帶頻率點(diǎn)如圖3所示。

在振動(dòng)試驗(yàn)中如果能測(cè)得如圖所示的響應(yīng)曲線，就能夠利用式(25)的相對(duì)阻尼系數(shù)，在使用式(25)計(jì)算相對(duì)阻尼系數(shù)時(shí)，雖然有誤差，但是非常的實(shí)用。

圖3 半功率示意圖

4 結(jié)論

在實(shí)際的振動(dòng)試驗(yàn)中，由于振動(dòng)臺(tái)的限制，試驗(yàn)參數(shù)的限制，在進(jìn)行試驗(yàn)時(shí)，希望盡可能的將振動(dòng)臺(tái)的激勵(lì)能量1∶1的傳遞給被試產(chǎn)品[11]，但是因?yàn)閵A具的存在(夾具又限制于材料及現(xiàn)有加工工藝的影響)，這個(gè)理想的結(jié)果往往很難實(shí)現(xiàn)，在產(chǎn)品振動(dòng)的同時(shí)，夾具的自身的響應(yīng)，不可避免的會(huì)消耗激勵(lì)能量，在這個(gè)過(guò)程中，通過(guò)對(duì)夾具的設(shè)計(jì)和分析，盡可能的讓總的激振能量盡可能多的傳遞給被試產(chǎn)品，通過(guò)公式推導(dǎo)出無(wú)因此阻尼系數(shù)、絕對(duì)傳遞率計(jì)算公式，可以讓這種傳遞關(guān)系、數(shù)字化、量化的表示出來(lái)，雖然有誤差，但是在工程測(cè)量中這個(gè)誤差是可以被允許的[12]。通過(guò)公式的計(jì)算，可以讓實(shí)驗(yàn)操作人員明確被試件與夾具之間的能量轉(zhuǎn)化關(guān)系，同時(shí)可以讓產(chǎn)品設(shè)計(jì)人員和夾具設(shè)計(jì)人員更好的明確產(chǎn)品在試驗(yàn)過(guò)程中的薄弱點(diǎn)，以及產(chǎn)品的危險(xiǎn)頻率。對(duì)后續(xù)的振動(dòng)試驗(yàn)，提供數(shù)據(jù)以及技術(shù)指導(dǎo)，這在實(shí)際工程計(jì)算中有著重要的意義。