林 記

（阜陽師范大學 數學與統(tǒng)計學院，安徽 阜陽 236041）

0 引言

同調是拓撲空間的代數刻畫。將代數拓撲中的復形、同調群以及邊緣等概念引入純代數的領域，從而形成了代數學中的一個新的研究方向，稱之為同調代數。同調與同調函子是同調代數的核心部分。復形是具有分次結構的微分群，是研究同調的有力工具。阿貝爾范疇是一個特殊的正合范疇，從阿貝爾范疇出發(fā)我們可以構造復形范疇，這也是阿貝爾范疇。在阿貝爾范疇中，可以通過正合性分析產生各種代數和幾何不變量，如同調群和上同調群。擴張的研究源自乘法群的擴張，從形式上看這是一個短正合列。Yoneda 將短正合列通過適當的方式粘合后定義了長正合列，并由此得出了導出函子[1]。擴張是研究同調函子的重要工具[2-4]，利用復形的擴張可以證明遺傳阿貝爾范疇的有界復形范疇的同調維數是局部有限的[5]。本文主要研究有界復形的擴張的若干性質。

1 有界復形的同調維數

首先回憶本文所需的同調代數的基本概念[1-4]。

設A是阿貝爾范疇，用Cb(A)表示A上的有界復形范疇。

定義1設A?,C?∈Cb(A)。若存在復形的長正合列

定義3若兩個從A?到C?的n階擴張S與S′之間存在一系列態(tài)射

S=S0→S1←S2→…←S2k-2→S2k-1←S2k=S′,且這些態(tài)射均具有(1A?,…,1C?)的形式，則稱S與S′是等價的，記作S≡S′，并將從A?到C?的n階擴張的等價類構成的集合記作

定義4[5]設A?∈Cb(A)。如果存在整數d，滿足對任意C?∈Cb(A)都有

那么稱復形A?的同調維數不超過d。

設X∈A,m∈?。以下用UX,m表示X位于第m次齊次分支的stalk 復形，KX,m表示如下無環(huán)復形

其中X位于第m-1 次和第m次齊次分支，稱之為標準無環(huán)復形[5-7]。在不引起混淆的情況下，我們也用UX,m和KX,m分別表示它們所在的等價類。

命題5 設A的整體維數有限，那么任意有界無環(huán)復形的同調維數有限。

證明設g1.dimA=d。

首先證明對任意X∈A，m∈? 標準無環(huán)復形KX,m的同調維數不超過d。對任意M?∈Cb(A)，任取，不妨設[]S是正合列

由此可得復形的正合列

因為任意有界無環(huán)復形均可由標準無環(huán)復形經過有限次擴張得到[8-9]，所以任意有界無環(huán)復形的同調維數不超過d。證畢。

那么有復形的鏈可裂正合列

定理6設A的整體維數有限，那么任意有界復形的同調維數有限。

證明設gl.dimA=d。

因為任意有界復形均可由stalk 復形經過有限次擴張得到，所以我們只需證明stalk 復形的同調維數有限。為此，任取A,B∈A,m,n∈?。

所在的等價類。由復形的左強制截斷和右強制截斷的性質知，有如下復形正合列間的態(tài)射

故對任意p>d，有

其次，不妨設m>n。用函子作用在短正合列

2 零微分復形的擴張

若復形A?的微分為零，則稱之為零微分復形。下面我們討論零微分復形的擴張的性質。維數向量是范疇理論中重要的概念[11]，在Ringel-Hall 代數理論[12-14]、李理論[15-17]和叢代數理論[18-19]中有著重要的作用。沿用文獻[11]的記號，用K0(A)表示阿貝爾范疇A的Grothendieck 群，A是阿貝爾范疇A的對象，用表示A在K0(A)中的像，稱為A的維數向量。

定理7設A?,B?∈Cb(A)是零微分復形，則Cb(A)中的任意擴張

證明由同調代數的基本理論知，對任意i∈?，有下列A中的正合列

因此該線性方程組有唯一解[20]，即得結論。證畢。

3.小結

本文利用擴張的性質得到阿貝爾范疇的整體維數與其上有界復形范疇的整體維數的關系，并得到零微分復形的擴張的中間項的微分與其同調的關系。進一步可考慮兩個范疇的相關數字特征間的關系，亦可將結論推廣至周期復形范疇。