邱丹，倪玲

（鐘山職業(yè)技術學院，江蘇南京，210049）

0 引言

電子羅盤（也稱電子指南針、數(shù)字羅盤），是通過對地球磁場的測量完成航向計算的，常作為GPS信號或網(wǎng)絡不好時的有效補充。依據(jù)其體積小、能耗低、精度高、可微型化等優(yōu)勢，被廣泛運用于無人機、航海、汽車等磁航向測量領域。但在使用中，電子羅盤也存在自身的固有缺陷：容易受外界磁場干擾而產生誤差，這也是影響其測量精度并制約其應用的主要原因，因此對電子羅盤的測量誤差進行補償?shù)姆椒ㄑ芯烤褪直匾恕?/p>

目前對測量誤差補償?shù)姆椒ㄓ泻芏?。例如胡超等提出的補償系數(shù)法，該方法主要針對測量時受到的動態(tài)干擾，而靜態(tài)干擾補償效果甚微，應用范圍較小。再比如馮毅博提出的自適應補償法，要求系統(tǒng)要在直線或低速運動情況下才能達到較高的補償精度，若系統(tǒng)轉動較快，測量精度就會受到較大影響，這樣較為苛刻的應用場景使得此方法不具有廣泛性。

當前，若僅采用單一的誤差補償模型來對羅差進行補償，已不能很好地滿足測量系統(tǒng)要求，本文提出了一種融合最小二乘原理的橢圓假設誤差補償算法，該算法對電子羅盤的測量誤差能實現(xiàn)有效的補償，也具有計算量適中，應用范圍廣泛的特點。

1 磁航向系統(tǒng)的誤差分析

當電子羅盤安裝在載體中進行磁航向測量時，其測量誤差是由多種因素造成的，大致可以分為兩類：一種是由于系統(tǒng)自身結構、材料、裝配等原因導致的，包括羅差、安裝誤差、制造誤差；另一種是姿態(tài)信號誤差，它盡管不屬于航向測量系統(tǒng)本身，但卻參與航向參數(shù)的計算，也會引起測量誤差。由于羅差是最難以控制、對航向精度影響最大的誤差，因此本文主要針對羅差展開分析。

羅差主要由載體的硬鐵磁場的水平分量和軟鐵磁場的水平分量所構成。經大量實驗研究表明，運動載體上硬鐵磁場所引起的誤差是一個周期誤差，可用公式(1)表示，其規(guī)律近似于正弦曲線；而軟鐵磁場引起的誤差，可用公式(2)表示其，規(guī)律是隨環(huán)境磁場的變化而變化的。

式中，iφ為航向角測量值，A、B、C、D和E均為誤差系數(shù)。通過以上對羅差的誤差分析可知，電子羅盤的總羅差應該是上述誤差的代數(shù)和。因此合并式(1)和(2)求出總羅差φΔ：

2 最小二乘法的誤差補償

最小二乘法（Least Squares，LS）通過最小化誤差的平方和尋找數(shù)據(jù)的最佳函數(shù)匹配，可以簡便地求得未知的數(shù)據(jù)，并使之與實際數(shù)據(jù)之間誤差的平方和為最小，最小二乘法還可用于曲線擬合，也常用于數(shù)據(jù)的優(yōu)化。

■2.1 基本算法

最小二乘法可以在最小平方差的意義上對數(shù)據(jù)實現(xiàn)優(yōu)化擬合，是一種數(shù)學的優(yōu)化方法，可以對由于外部環(huán)境的磁場干擾所導致的誤差進行補償。通常情況下，測量誤差呈現(xiàn)一定周期性，比較合適的擬合方法可以采用三角函數(shù)法，并基于傅里葉函數(shù)的數(shù)學模型，再根據(jù)標準羅盤提供的航向參數(shù)進行校正即可。下面簡要介紹最小二乘法的基本原理。

當需要根據(jù)觀測結果來確定兩個變量y和x之間的對應關系時，假設他們是線性關系，則y在時刻t可以表示為：

其中H1,H2,…,Hn為n個待定的未知參數(shù)，x1(t),x2(t),…,x n(t)為已知的確定性函數(shù)，例如t的正余弦函數(shù)等。假設在時刻t1,t2,…,tm對y和x做m次的測量，希望通過變量y和x1(t),x2(t),…,x n(t)來估計它們的值。則公式(4)可以用矩陣形式來表示：

其中：

為了能估計出n個ih參數(shù)，必須使m≥n。但當m>n時，由于隨機誤差、模型誤差或者兩者的組合都可能使數(shù)據(jù)復雜化，因此想要確定一組H使其滿足所有的m個方程幾乎不可能，這種情況下，可以在最小平方誤差的基礎上來確定H。經計算可得H的最小二乘估計值為：

根據(jù)已知的航向角測量值iφ與航向角誤差φΔ，再使用最小二乘法，即可得到公式（3）所示的誤差系數(shù)A、B、C、D和E的最小二乘估計值。具體計算步驟為：①采用八位置誤差測量方法?？紤]到樣本數(shù)量、數(shù)據(jù)計算量和測量精度，在航向角360 范圍內，取角度間隔相同的八個點，例如0 、45 、90 、135 、180 、225 、270 、315 ，進行航向的誤差測試，以此獲得8組數(shù)據(jù)。②根據(jù)最小二乘原理，求得誤差系數(shù)A、B、C、D和E。

■2.2 實驗方法示例

通過前面的分析，當采用最小二乘法計算出誤差系數(shù)A、B、C、D、E后，可通過下式計算出載體經過誤差修正后的實際航向。

式中，校正后的實際航向角為φ?。

下面以電子羅盤作為航向角的測量裝置，將其固定在無磁三軸轉臺上。通過RS-232串口總線，由上位機（PC機）接收磁航向角數(shù)據(jù)，再采用最小二乘法對磁航向角的測量值進行誤差補償。需要注意的是，八位置最小二乘法需要磁羅盤工作在方向輸出模式，提供載體的航向角度值。實驗平臺示意圖如圖1所示。

圖1 實驗平臺搭建示意圖

具體的實驗步驟為：

①在實驗室條件下，將電子羅盤固定在無磁三軸轉臺上。

②旋轉位于轉臺底部的微調旋鈕，調整電子羅盤近水平，該操作步驟依靠電子羅盤的傾斜角讀數(shù)來保證。

③手動緩慢旋轉轉臺，每隔45°記錄一組航向測量值iφ和與其對應的轉臺讀數(shù)φ?（可視為航向真實值）。

④采用八位置誤差測量方法，取與8個測量點最為接近(指測量值而非真實值)的8組實驗數(shù)據(jù)輸入到PC機，根據(jù)最小二乘法解算出與航向測量值對應的航向誤差，得到較為精確的航向角。

3 橢圓假設法的誤差補償

最小二乘法通過建立航向角的測量值與誤差之間的映射關系來研究測量值與真實值，是誤差補償方法的線性化處理，而在實際應用場合，真實值的獲取具有一定的難度，如果輔之以標準測量儀器完成一次誤差補償過程，又會大大降低電子羅盤系統(tǒng)的可用性。本文引入了橢圓假設補償法。橢圓假設法需要磁羅盤工作在能提供磁場強度值的磁場計輸出模式。

■3.1 基本算法

磁場強度可以表示為Hx=H0cosφ和Hy=?H0sinφ，顯然，這是一個以航向角φ作為參數(shù)的圓，當航向角φ從0°到360°變化時，如果沒有誤差，Hx和Hy合成的向量的頂點在水平面上形成一個圓。而形成航向角誤差的過程其實就是一個從圓到橢圓的變化過程，如果能有足夠的實驗數(shù)據(jù)（主要是磁場強度測量值），就能確定該橢圓，并將橢圓重新恢復到圓，這個過程就是橢圓假設補償?shù)倪^程。只要電子羅盤的航向測量有誤差，就會反映到磁場強度上。假設磁場強度的實際測量值用Hxi和Hyi表示，而真實值用Hx和Hy表示，則它們的參數(shù)關系如公式（8）所示。

式中，a xx、axyayxayy是由軟磁材料性質決定的誤差系數(shù)，bx和by也是誤差系數(shù)，由硬磁材料性質所決定。如果這幾個誤差系數(shù)被確定了，就可以根據(jù)磁場強度的測量值和公式（8）求出真實值，再求解出航向角φ?。

為了能在載體運行中自動確定這幾個系數(shù)，假設從圓到橢圓的運動軌跡若以下面的數(shù)學方式來描述：

過程可描述為：首先正交陣將圓轉了一個角度sφ；然后對稱陣使圓變成了橢圓，變化程度與pφ有關；對角陣使橢圓又轉了一個角度；bx和by的作用是改變橢圓的中心位置。這就是誤差的形成過程，即一個由圓到橢圓的變化過程，稱之為橢圓假設。圖2所示的幾何圖形就是用來顯示從圓到橢圓的誤差形成過程的。

圖2 圓到橢圓的形成過程

■3.2 補償方法

橢圓假設就是一個由圓到橢圓的誤差形成過程，按此假設，只要在載體運動過程中采集足夠的實驗數(shù)據(jù)（Hxi和Hyi），就可以確定該橢圓。要想對該誤差進行補償，最直接的辦法就是“將橢圓再還原成圓”，這個過程就是橢圓假設的誤差補償過程。

根據(jù)前面分析可知，只要求出φp、和、和Kx、Ky、bx、by，就可按圖2的逆過程把圖2(e)還原成圖2(b)，也就是說把包含各種誤差的數(shù)據(jù)Hxi和Hyi還原成只剩下圓周誤差的Hxa和Hya。該過程可由下式描述：

由于圓周誤差（主要是安裝誤差）可以通過轉動傳感器的安裝位置來消除，所以，由φp、和、和Kx、Ky、bx、by就可以確定水平狀態(tài)中載體的6個誤差系數(shù)，進而求得沒有誤差的航向角，達到誤差補償?shù)哪康?。所以求解誤差系數(shù)的關鍵就是根據(jù)實驗數(shù)據(jù)來確定圖2(e)中的橢圓參數(shù)，并尋求橢圓參數(shù)與φp、Kx、Ky、和、和bx、by之間的關系。

因為載體是自動采集數(shù)據(jù)，實驗所能獲得的數(shù)據(jù)只是在各個采樣點采集到的Hxi和Hyi，并且每組數(shù)據(jù)都對應橢圓上一點的坐標。因此，要實現(xiàn)載體航向誤差的自動補償，就只有利用這些數(shù)據(jù)來求出誤差系數(shù)。圖2(e)是一個橢圓，其一般方程為：

其中：Bi是根據(jù)實驗數(shù)據(jù)Hxi和Hyi對地磁場水平分量KH0的估計值，一般定義為：

公式（11）中有5個未知數(shù)Ai(i= 1,2,…,5)，為了求出它們，要求載體在0°到360°范圍內至少在5個方向上采集數(shù)據(jù)Hxi和H yi(i= 1,2,…,5)，再通過計算求得它們與誤差補償系數(shù)φp、和、和Kx、Ky、bx、by之間的關系為：

對于系數(shù)kx和ky，因為在求解航向的過程中只是與k x/ky的比值有關，而與其絕對數(shù)值無關，所以為求解方便，設kx=1，則根據(jù)它們的比值求得：

當求出以上系數(shù)：bx、by、Kx、Ky和φp后，就可以把傳感器測出的有誤差的Hxi和Hyi補償為沒有誤差的Hxa和Hya，即把橢圓還原成圓。這種還原過程就是誤差補償?shù)倪^程。需要注意的是，正交陣φ只是將圓s轉了一個角度，帶來的只有常值誤差（主要是安裝誤差），而橢圓誤差補償法不能補償安裝誤差，所以一般設φs=0。

■3.3 融入最小二乘原理的橢圓假設補償

在航向數(shù)據(jù)的測量過程中，為了減小隨機誤差對補償效果的影響，可以采用增加采樣點、再應用最小二乘原理來降低數(shù)據(jù)的隨機誤差，這時，求解未知數(shù)Ai(i= 1,2,...,5)的方程組就要用下式來描述，通過此種方法求出Ai(i=1,2,...,5)后，余下的參數(shù)求解方法都不變。

4 實驗驗證

為了檢驗測量系統(tǒng)的補償效果，把系統(tǒng)中電子羅盤HMR3300模塊單獨固定在三軸無磁轉臺上，附近放置一塊磁鐵來模擬磁場干擾情況下產生的測量誤差。同時，為了接收電子羅盤的原始數(shù)據(jù)（即補償前的數(shù)據(jù)），將電子羅盤和計算機通過串口通訊程序連接起來，最后根據(jù)前面提到的補償算法進行離線計算。圖3為某次實驗中利用MATLAB對測量數(shù)據(jù)修正的仿真結果。

圖3 誤差結果分析

根據(jù)圖3可知，航向誤差基本服從正弦函數(shù)分布。3(a)圖中未經補償?shù)暮较蚪亲畲笤?.5°附近。

圖3 (b)所示的八位置最小二乘法：需要在相隔同等角度下，手工采樣測量點數(shù)據(jù)，并以此確定測量值與真實值，操作比較繁瑣，工程中難以實現(xiàn)。但補償效果明顯，補償后最大誤差值降到0.4°左右，還可以補償安裝誤差，所以直到現(xiàn)在仍作為很多實驗研究的補償算法。

圖3 (c)所示的橢圓假設補償法：補償過程簡單，省略了多點測試的步驟，采樣數(shù)據(jù)可利用計算機自動采集，能實現(xiàn)自動補償，但不能補償安裝誤差，使其補償精度有所降低。

圖3 (d)所示的融入最小二乘法的橢圓假設補償方法：采樣數(shù)據(jù)可以自動采集，能補償安裝誤差，補償效果與最小二乘法相當，若去除隨機誤差，補償精度還會有一定改善。

5 結語

為了對電子羅盤在進行航向測量時，所產生的測量誤差進行補償，論文從算法、精度等方面討論了應用在系統(tǒng)中的兩種補償方法，提出了一種融入最小二乘法原理應用到橢圓假設法的誤差補償算法，并借助于實驗數(shù)據(jù)驗證了其有效性和可行性。實驗結果表明：該方法使電子羅盤實現(xiàn)了自動數(shù)據(jù)采集和誤差補償，補償過程更智能，補償效果更明顯，能有效地提高電子羅盤的測量精度，同時也降低了應用成本，易于工程上的實現(xiàn)。