邱丹，倪玲

（鐘山職業(yè)技術(shù)學(xué)院，江蘇南京，210049）

0 引言

電子羅盤（也稱電子指南針、數(shù)字羅盤），是通過(guò)對(duì)地球磁場(chǎng)的測(cè)量完成航向計(jì)算的，常作為GPS信號(hào)或網(wǎng)絡(luò)不好時(shí)的有效補(bǔ)充。依據(jù)其體積小、能耗低、精度高、可微型化等優(yōu)勢(shì)，被廣泛運(yùn)用于無(wú)人機(jī)、航海、汽車等磁航向測(cè)量領(lǐng)域。但在使用中，電子羅盤也存在自身的固有缺陷：容易受外界磁場(chǎng)干擾而產(chǎn)生誤差，這也是影響其測(cè)量精度并制約其應(yīng)用的主要原因，因此對(duì)電子羅盤的測(cè)量誤差進(jìn)行補(bǔ)償?shù)姆椒ㄑ芯烤褪直匾恕?/p>

目前對(duì)測(cè)量誤差補(bǔ)償?shù)姆椒ㄓ泻芏?。例如胡超等提出的補(bǔ)償系數(shù)法，該方法主要針對(duì)測(cè)量時(shí)受到的動(dòng)態(tài)干擾，而靜態(tài)干擾補(bǔ)償效果甚微，應(yīng)用范圍較小。再比如馮毅博提出的自適應(yīng)補(bǔ)償法，要求系統(tǒng)要在直線或低速運(yùn)動(dòng)情況下才能達(dá)到較高的補(bǔ)償精度，若系統(tǒng)轉(zhuǎn)動(dòng)較快，測(cè)量精度就會(huì)受到較大影響，這樣較為苛刻的應(yīng)用場(chǎng)景使得此方法不具有廣泛性。

當(dāng)前，若僅采用單一的誤差補(bǔ)償模型來(lái)對(duì)羅差進(jìn)行補(bǔ)償，已不能很好地滿足測(cè)量系統(tǒng)要求，本文提出了一種融合最小二乘原理的橢圓假設(shè)誤差補(bǔ)償算法，該算法對(duì)電子羅盤的測(cè)量誤差能實(shí)現(xiàn)有效的補(bǔ)償，也具有計(jì)算量適中，應(yīng)用范圍廣泛的特點(diǎn)。

1 磁航向系統(tǒng)的誤差分析

當(dāng)電子羅盤安裝在載體中進(jìn)行磁航向測(cè)量時(shí)，其測(cè)量誤差是由多種因素造成的，大致可以分為兩類：一種是由于系統(tǒng)自身結(jié)構(gòu)、材料、裝配等原因?qū)е碌?，包括羅差、安裝誤差、制造誤差；另一種是姿態(tài)信號(hào)誤差，它盡管不屬于航向測(cè)量系統(tǒng)本身，但卻參與航向參數(shù)的計(jì)算，也會(huì)引起測(cè)量誤差。由于羅差是最難以控制、對(duì)航向精度影響最大的誤差，因此本文主要針對(duì)羅差展開(kāi)分析。

羅差主要由載體的硬鐵磁場(chǎng)的水平分量和軟鐵磁場(chǎng)的水平分量所構(gòu)成。經(jīng)大量實(shí)驗(yàn)研究表明，運(yùn)動(dòng)載體上硬鐵磁場(chǎng)所引起的誤差是一個(gè)周期誤差，可用公式(1)表示，其規(guī)律近似于正弦曲線；而軟鐵磁場(chǎng)引起的誤差，可用公式(2)表示其，規(guī)律是隨環(huán)境磁場(chǎng)的變化而變化的。

式中，iφ為航向角測(cè)量值，A、B、C、D和E均為誤差系數(shù)。通過(guò)以上對(duì)羅差的誤差分析可知，電子羅盤的總羅差應(yīng)該是上述誤差的代數(shù)和。因此合并式(1)和(2)求出總羅差φΔ：

2 最小二乘法的誤差補(bǔ)償

最小二乘法（Least Squares，LS）通過(guò)最小化誤差的平方和尋找數(shù)據(jù)的最佳函數(shù)匹配，可以簡(jiǎn)便地求得未知的數(shù)據(jù)，并使之與實(shí)際數(shù)據(jù)之間誤差的平方和為最小，最小二乘法還可用于曲線擬合，也常用于數(shù)據(jù)的優(yōu)化。

■2.1 基本算法

最小二乘法可以在最小平方差的意義上對(duì)數(shù)據(jù)實(shí)現(xiàn)優(yōu)化擬合，是一種數(shù)學(xué)的優(yōu)化方法，可以對(duì)由于外部環(huán)境的磁場(chǎng)干擾所導(dǎo)致的誤差進(jìn)行補(bǔ)償。通常情況下，測(cè)量誤差呈現(xiàn)一定周期性，比較合適的擬合方法可以采用三角函數(shù)法，并基于傅里葉函數(shù)的數(shù)學(xué)模型，再根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)羅盤提供的航向參數(shù)進(jìn)行校正即可。下面簡(jiǎn)要介紹最小二乘法的基本原理。

當(dāng)需要根據(jù)觀測(cè)結(jié)果來(lái)確定兩個(gè)變量y和x之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系時(shí)，假設(shè)他們是線性關(guān)系，則y在時(shí)刻t可以表示為：

其中H1,H2,…,Hn為n個(gè)待定的未知參數(shù)，x1(t),x2(t),…,x n(t)為已知的確定性函數(shù)，例如t的正余弦函數(shù)等。假設(shè)在時(shí)刻t1,t2,…,tm對(duì)y和x做m次的測(cè)量，希望通過(guò)變量y和x1(t),x2(t),…,x n(t)來(lái)估計(jì)它們的值。則公式(4)可以用矩陣形式來(lái)表示：

其中：

為了能估計(jì)出n個(gè)ih參數(shù)，必須使m≥n。但當(dāng)m>n時(shí)，由于隨機(jī)誤差、模型誤差或者兩者的組合都可能使數(shù)據(jù)復(fù)雜化，因此想要確定一組H使其滿足所有的m個(gè)方程幾乎不可能，這種情況下，可以在最小平方誤差的基礎(chǔ)上來(lái)確定H。經(jīng)計(jì)算可得H的最小二乘估計(jì)值為：

根據(jù)已知的航向角測(cè)量值iφ與航向角誤差φΔ，再使用最小二乘法，即可得到公式（3）所示的誤差系數(shù)A、B、C、D和E的最小二乘估計(jì)值。具體計(jì)算步驟為：①采用八位置誤差測(cè)量方法。考慮到樣本數(shù)量、數(shù)據(jù)計(jì)算量和測(cè)量精度，在航向角360 范圍內(nèi)，取角度間隔相同的八個(gè)點(diǎn)，例如0 、45 、90 、135 、180 、225 、270 、315 ，進(jìn)行航向的誤差測(cè)試，以此獲得8組數(shù)據(jù)。②根據(jù)最小二乘原理，求得誤差系數(shù)A、B、C、D和E。

■2.2 實(shí)驗(yàn)方法示例

通過(guò)前面的分析，當(dāng)采用最小二乘法計(jì)算出誤差系數(shù)A、B、C、D、E后，可通過(guò)下式計(jì)算出載體經(jīng)過(guò)誤差修正后的實(shí)際航向。

式中，校正后的實(shí)際航向角為φ?。

下面以電子羅盤作為航向角的測(cè)量裝置，將其固定在無(wú)磁三軸轉(zhuǎn)臺(tái)上。通過(guò)RS-232串口總線，由上位機(jī)（PC機(jī)）接收磁航向角數(shù)據(jù)，再采用最小二乘法對(duì)磁航向角的測(cè)量值進(jìn)行誤差補(bǔ)償。需要注意的是，八位置最小二乘法需要磁羅盤工作在方向輸出模式，提供載體的航向角度值。實(shí)驗(yàn)平臺(tái)示意圖如圖1所示。

圖1 實(shí)驗(yàn)平臺(tái)搭建示意圖

具體的實(shí)驗(yàn)步驟為：

①在實(shí)驗(yàn)室條件下，將電子羅盤固定在無(wú)磁三軸轉(zhuǎn)臺(tái)上。

②旋轉(zhuǎn)位于轉(zhuǎn)臺(tái)底部的微調(diào)旋鈕，調(diào)整電子羅盤近水平，該操作步驟依靠電子羅盤的傾斜角讀數(shù)來(lái)保證。

③手動(dòng)緩慢旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)臺(tái)，每隔45°記錄一組航向測(cè)量值iφ和與其對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)臺(tái)讀數(shù)φ?（可視為航向真實(shí)值）。

④采用八位置誤差測(cè)量方法，取與8個(gè)測(cè)量點(diǎn)最為接近(指測(cè)量值而非真實(shí)值)的8組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)輸入到PC機(jī)，根據(jù)最小二乘法解算出與航向測(cè)量值對(duì)應(yīng)的航向誤差，得到較為精確的航向角。

3 橢圓假設(shè)法的誤差補(bǔ)償

最小二乘法通過(guò)建立航向角的測(cè)量值與誤差之間的映射關(guān)系來(lái)研究測(cè)量值與真實(shí)值，是誤差補(bǔ)償方法的線性化處理，而在實(shí)際應(yīng)用場(chǎng)合，真實(shí)值的獲取具有一定的難度，如果輔之以標(biāo)準(zhǔn)測(cè)量?jī)x器完成一次誤差補(bǔ)償過(guò)程，又會(huì)大大降低電子羅盤系統(tǒng)的可用性。本文引入了橢圓假設(shè)補(bǔ)償法。橢圓假設(shè)法需要磁羅盤工作在能提供磁場(chǎng)強(qiáng)度值的磁場(chǎng)計(jì)輸出模式。

■3.1 基本算法

磁場(chǎng)強(qiáng)度可以表示為Hx=H0cosφ和Hy=?H0sinφ，顯然，這是一個(gè)以航向角φ作為參數(shù)的圓，當(dāng)航向角φ從0°到360°變化時(shí)，如果沒(méi)有誤差，Hx和Hy合成的向量的頂點(diǎn)在水平面上形成一個(gè)圓。而形成航向角誤差的過(guò)程其實(shí)就是一個(gè)從圓到橢圓的變化過(guò)程，如果能有足夠的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)（主要是磁場(chǎng)強(qiáng)度測(cè)量值），就能確定該橢圓，并將橢圓重新恢復(fù)到圓，這個(gè)過(guò)程就是橢圓假設(shè)補(bǔ)償?shù)倪^(guò)程。只要電子羅盤的航向測(cè)量有誤差，就會(huì)反映到磁場(chǎng)強(qiáng)度上。假設(shè)磁場(chǎng)強(qiáng)度的實(shí)際測(cè)量值用Hxi和Hyi表示，而真實(shí)值用Hx和Hy表示，則它們的參數(shù)關(guān)系如公式（8）所示。

式中，a xx、axyayxayy是由軟磁材料性質(zhì)決定的誤差系數(shù)，bx和by也是誤差系數(shù)，由硬磁材料性質(zhì)所決定。如果這幾個(gè)誤差系數(shù)被確定了，就可以根據(jù)磁場(chǎng)強(qiáng)度的測(cè)量值和公式（8）求出真實(shí)值，再求解出航向角φ?。

為了能在載體運(yùn)行中自動(dòng)確定這幾個(gè)系數(shù)，假設(shè)從圓到橢圓的運(yùn)動(dòng)軌跡若以下面的數(shù)學(xué)方式來(lái)描述：

過(guò)程可描述為：首先正交陣將圓轉(zhuǎn)了一個(gè)角度sφ；然后對(duì)稱陣使圓變成了橢圓，變化程度與pφ有關(guān)；對(duì)角陣使橢圓又轉(zhuǎn)了一個(gè)角度；bx和by的作用是改變橢圓的中心位置。這就是誤差的形成過(guò)程，即一個(gè)由圓到橢圓的變化過(guò)程，稱之為橢圓假設(shè)。圖2所示的幾何圖形就是用來(lái)顯示從圓到橢圓的誤差形成過(guò)程的。

圖2 圓到橢圓的形成過(guò)程

■3.2 補(bǔ)償方法

橢圓假設(shè)就是一個(gè)由圓到橢圓的誤差形成過(guò)程，按此假設(shè)，只要在載體運(yùn)動(dòng)過(guò)程中采集足夠的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)（Hxi和Hyi），就可以確定該橢圓。要想對(duì)該誤差進(jìn)行補(bǔ)償，最直接的辦法就是“將橢圓再還原成圓”，這個(gè)過(guò)程就是橢圓假設(shè)的誤差補(bǔ)償過(guò)程。

根據(jù)前面分析可知，只要求出φp、和、和Kx、Ky、bx、by，就可按圖2的逆過(guò)程把圖2(e)還原成圖2(b)，也就是說(shuō)把包含各種誤差的數(shù)據(jù)Hxi和Hyi還原成只剩下圓周誤差的Hxa和Hya。該過(guò)程可由下式描述：

由于圓周誤差（主要是安裝誤差）可以通過(guò)轉(zhuǎn)動(dòng)傳感器的安裝位置來(lái)消除，所以，由φp、和、和Kx、Ky、bx、by就可以確定水平狀態(tài)中載體的6個(gè)誤差系數(shù)，進(jìn)而求得沒(méi)有誤差的航向角，達(dá)到誤差補(bǔ)償?shù)哪康?。所以求解誤差系數(shù)的關(guān)鍵就是根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來(lái)確定圖2(e)中的橢圓參數(shù)，并尋求橢圓參數(shù)與φp、Kx、Ky、和、和bx、by之間的關(guān)系。

因?yàn)檩d體是自動(dòng)采集數(shù)據(jù)，實(shí)驗(yàn)所能獲得的數(shù)據(jù)只是在各個(gè)采樣點(diǎn)采集到的Hxi和Hyi，并且每組數(shù)據(jù)都對(duì)應(yīng)橢圓上一點(diǎn)的坐標(biāo)。因此，要實(shí)現(xiàn)載體航向誤差的自動(dòng)補(bǔ)償，就只有利用這些數(shù)據(jù)來(lái)求出誤差系數(shù)。圖2(e)是一個(gè)橢圓，其一般方程為：

其中：Bi是根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)Hxi和Hyi對(duì)地磁場(chǎng)水平分量KH0的估計(jì)值，一般定義為：

公式（11）中有5個(gè)未知數(shù)Ai(i= 1,2,…,5)，為了求出它們，要求載體在0°到360°范圍內(nèi)至少在5個(gè)方向上采集數(shù)據(jù)Hxi和H yi(i= 1,2,…,5)，再通過(guò)計(jì)算求得它們與誤差補(bǔ)償系數(shù)φp、和、和Kx、Ky、bx、by之間的關(guān)系為：

對(duì)于系數(shù)kx和ky，因?yàn)樵谇蠼夂较虻倪^(guò)程中只是與k x/ky的比值有關(guān)，而與其絕對(duì)數(shù)值無(wú)關(guān)，所以為求解方便，設(shè)kx=1，則根據(jù)它們的比值求得：

當(dāng)求出以上系數(shù)：bx、by、Kx、Ky和φp后，就可以把傳感器測(cè)出的有誤差的Hxi和Hyi補(bǔ)償為沒(méi)有誤差的Hxa和Hya，即把橢圓還原成圓。這種還原過(guò)程就是誤差補(bǔ)償?shù)倪^(guò)程。需要注意的是，正交陣φ只是將圓s轉(zhuǎn)了一個(gè)角度，帶來(lái)的只有常值誤差（主要是安裝誤差），而橢圓誤差補(bǔ)償法不能補(bǔ)償安裝誤差，所以一般設(shè)φs=0。

■3.3 融入最小二乘原理的橢圓假設(shè)補(bǔ)償

在航向數(shù)據(jù)的測(cè)量過(guò)程中，為了減小隨機(jī)誤差對(duì)補(bǔ)償效果的影響，可以采用增加采樣點(diǎn)、再應(yīng)用最小二乘原理來(lái)降低數(shù)據(jù)的隨機(jī)誤差，這時(shí)，求解未知數(shù)Ai(i= 1,2,...,5)的方程組就要用下式來(lái)描述，通過(guò)此種方法求出Ai(i=1,2,...,5)后，余下的參數(shù)求解方法都不變。

4 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為了檢驗(yàn)測(cè)量系統(tǒng)的補(bǔ)償效果，把系統(tǒng)中電子羅盤HMR3300模塊單獨(dú)固定在三軸無(wú)磁轉(zhuǎn)臺(tái)上，附近放置一塊磁鐵來(lái)模擬磁場(chǎng)干擾情況下產(chǎn)生的測(cè)量誤差。同時(shí)，為了接收電子羅盤的原始數(shù)據(jù)（即補(bǔ)償前的數(shù)據(jù)），將電子羅盤和計(jì)算機(jī)通過(guò)串口通訊程序連接起來(lái)，最后根據(jù)前面提到的補(bǔ)償算法進(jìn)行離線計(jì)算。圖3為某次實(shí)驗(yàn)中利用MATLAB對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)修正的仿真結(jié)果。

圖3 誤差結(jié)果分析

根據(jù)圖3可知，航向誤差基本服從正弦函數(shù)分布。3(a)圖中未經(jīng)補(bǔ)償?shù)暮较蚪亲畲笤?.5°附近。

圖3 (b)所示的八位置最小二乘法：需要在相隔同等角度下，手工采樣測(cè)量點(diǎn)數(shù)據(jù)，并以此確定測(cè)量值與真實(shí)值，操作比較繁瑣，工程中難以實(shí)現(xiàn)。但補(bǔ)償效果明顯，補(bǔ)償后最大誤差值降到0.4°左右，還可以補(bǔ)償安裝誤差，所以直到現(xiàn)在仍作為很多實(shí)驗(yàn)研究的補(bǔ)償算法。

圖3 (c)所示的橢圓假設(shè)補(bǔ)償法：補(bǔ)償過(guò)程簡(jiǎn)單，省略了多點(diǎn)測(cè)試的步驟，采樣數(shù)據(jù)可利用計(jì)算機(jī)自動(dòng)采集，能實(shí)現(xiàn)自動(dòng)補(bǔ)償，但不能補(bǔ)償安裝誤差，使其補(bǔ)償精度有所降低。

圖3 (d)所示的融入最小二乘法的橢圓假設(shè)補(bǔ)償方法：采樣數(shù)據(jù)可以自動(dòng)采集，能補(bǔ)償安裝誤差，補(bǔ)償效果與最小二乘法相當(dāng)，若去除隨機(jī)誤差，補(bǔ)償精度還會(huì)有一定改善。

5 結(jié)語(yǔ)

為了對(duì)電子羅盤在進(jìn)行航向測(cè)量時(shí)，所產(chǎn)生的測(cè)量誤差進(jìn)行補(bǔ)償，論文從算法、精度等方面討論了應(yīng)用在系統(tǒng)中的兩種補(bǔ)償方法，提出了一種融入最小二乘法原理應(yīng)用到橢圓假設(shè)法的誤差補(bǔ)償算法，并借助于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)驗(yàn)證了其有效性和可行性。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：該方法使電子羅盤實(shí)現(xiàn)了自動(dòng)數(shù)據(jù)采集和誤差補(bǔ)償，補(bǔ)償過(guò)程更智能，補(bǔ)償效果更明顯，能有效地提高電子羅盤的測(cè)量精度，同時(shí)也降低了應(yīng)用成本，易于工程上的實(shí)現(xiàn)。