徐向陽，樊林放

(重慶交通大學 機電與車輛工程學院，重慶 400074)

0 引 言

為解決城市交通逐漸增長的供需矛盾問題，具有大運力和高效率的城市軌道交通已經(jīng)成為交通運輸發(fā)展的重要方向[1]。牽引電傳動系統(tǒng)是城軌列車核心，其中牽引電機是牽引系統(tǒng)的動力源，負責動能輸出，實現(xiàn)電能與機械能轉換。我國軌道交通牽引系統(tǒng)所用電機大部分為交流感應電機，相對于直流電機，交流感應電機具有成本低、魯棒性高等優(yōu)點。根據(jù)電氣和電子工程師協(xié)會(Institude of Electrical and Electronics Engineers, IEEE)統(tǒng)計，感應電機故障主要包括軸承故障(41%)、定子故障(37%)、轉子故障(10%)、偏心故障及其他故障(12%)[2]。這些電機故障會影響齒輪系統(tǒng)運行，導致整車穩(wěn)定性、平順性降低。因此，城軌列車機電耦合牽引系統(tǒng)故障診斷一直是研究熱點。

為此，國內(nèi)外學者進行了大量研究。王金海[1]建立了包含齒輪系統(tǒng)的城軌列車動力學模型，通過分析變位直齒輪齒根裂紋、剝落和齒面磨損故障模式下的動態(tài)嚙合剛度，研究故障特征變化趨勢。唐敬[2]基于改進多回路法，建立了定轉子故障下軌道列車牽引電機動態(tài)模型，通過分析所產(chǎn)生的故障特征成分，研究了牽引感應電機動態(tài)運行時故障檢測問題。HAN Qinkai等[3]基于MEC方法和行星齒輪動力學，建立了電機-行星齒輪箱耦合系統(tǒng)的扭振模型，通過分析太陽齒輪、行星齒輪、齒圈等出現(xiàn)切齒缺陷時定子電流譜中的故障特征分量，證實了故障相關頻率基本由嚙合頻率、齒輪故障傳遞頻率、其諧波和電源頻率之間組合來表示。BAI Wenyu等[4]建立了包括動態(tài)電機模型和行星齒輪系統(tǒng)動力學模型的機電耦合模型，研究了具有齒根裂紋和轉子斷條故障的電機齒輪系統(tǒng)不同激勵下動態(tài)特性，研究表明：電機轉子斷條會導致所選統(tǒng)計指標無法檢測出電機故障耦合時的早期齒形故障。G.Y.SIZOV等[5]采用磁等效電路方法對鼠籠式異步電動機進行建模，分析了定子匝間短路和轉子斷條故障，并與傳統(tǒng)建模方法相比，結果表明：MEC建模方法具有相對較高的執(zhí)行速度和精度。

目前大多數(shù)研究是用矢量控制動態(tài)電機模型或飽和電機有限元模型等方法來進行分析，這些方法忽略了電磁作用，并將這兩個系統(tǒng)分開研究，這樣就無法準確地模擬真實情況，也體現(xiàn)不出系統(tǒng)的耦合效應。此外多數(shù)學者是通過電流特征進行故障診斷，而事實上傳感器接收到的電流信號十分微弱，不能準確進行故障診斷。針對這些問題，筆者以城軌列車的電機-齒輪耦合系統(tǒng)為研究對象，采用集中參數(shù)法和等效磁路網(wǎng)絡法相結合的方法建立了牽引傳動系統(tǒng)的機電耦合模型；在此基礎上，基于電磁轉矩對定子匝間繞組短路故障及鼠籠轉子導條斷裂故障進行診斷研究；并與矢量控制動態(tài)電機模型進行對比分析。

1 機電耦合牽引系統(tǒng)模型

圖1為城軌列車牽引傳動系統(tǒng)結構示意，主要包括鼠籠式異步電機、齒輪傳動系統(tǒng)、車輪等。

圖1 城軌列車牽引傳動系統(tǒng)結構Fig. 1 Structure of traction drive system of urban rail train

1.1 牽引電機等效磁路網(wǎng)絡模型

等效磁路網(wǎng)絡模型(PNM)常被用來研究電機的穩(wěn)態(tài)和暫態(tài)性能。與矢量控制電機分析方法和飽和電機有限元方法相比，它具有很高的計算速度和相當好的精度。鼠籠式異步電動機PNM基本思想為：將定轉子均勻規(guī)則的部分劃分為若干個磁通管，每根管子之間由節(jié)點連接，并計算出其等效磁導率，形成PNM，如圖2。PNM建立后，可通過電磁學基本定律來求解[6]。圖2中，磁力管任意x處的橫截面都是等磁位面，且兩個端面M1和M2也是等磁位面，端面M1標量磁位m1與端面M2標量磁位m2的差值是磁力管磁壓降ΔM[6]。

圖2 磁場中的磁力管Fig. 2 Magnetic tube in magnetic field

基于以上思想，將定子軛部和轉子軛部平均分為k段和n段，分別用ma, i和md, j表示定子軛部第i段和第i+1段及轉子軛部第j段和第j+1段之間連接點標量磁位；同樣，用mb, i和mc, j表示定子第i號齒齒面和轉子第j號齒齒面標量磁位。

基于文獻[6]中等效磁路網(wǎng)絡模型，筆者建立起城軌列車鼠籠異步電機的PNM，如圖3。圖3中：φse, i，φre, j，φsc, i，φrc, j分別為定子第i段軛部、轉子第j段軛部、定子第i齒、轉子第j齒的磁通；Gse, i，Gre, j，Rsc, i，Rrc, j分別為定子第i段軛部、轉子第j段軛部的磁導及定子第i齒、轉子第j齒的磁阻；Gi, j為定子i號齒與轉子j號齒之間的磁導，稱為氣隙磁導；Gsσ，Grσ, j分別為定子和轉子第j槽的槽漏磁導；fs, i，fr, j分別為定子第i號齒、轉子第j號齒上的激磁磁動勢[6]。

圖3 鼠籠式異步電機的等效磁路網(wǎng)絡模型Fig. 3 Equivalent magnetic circuit network model ofsquirrel cage induction motor

在建立的PNM基礎上，基于基爾霍夫定理，可分別得到定子、轉子軛部和齒面的磁位方程，如式(1)：

(1)

筆者設定電機槽型為矩形槽，考慮非線性因素磁飽和影響后，槽漏磁導、軛部磁導和齒部磁阻的計算如式(2)～(4)：

(2)

(3)

(4)

式中：μ0為真空磁導率；leff為電機計算長度；h為矩形槽高度；w為矩形槽寬度；r1、r2分別為電機定子(或轉子)的內(nèi)、外徑；f為磁壓降；h為定子(或轉子)齒部高度；φ為磁通；B(r)為磁通密度；H(y)為磁場強度，均可通過磁化曲線表查得[6]。

電機能量轉換在氣隙之間進行，氣隙磁導計算精度將直接影響PNM模型求解精度。故在計算氣隙磁導時應考慮轉子槽為斜槽影響，其計算如式(5)。

(5)

式中：θ為轉子轉過角度，如圖4；Gmax=μ0Amax/δ0為氣隙磁導的最大值，其中Amax為定子和轉子齒之間最大重疊面積，δ0=(sid-rod)/2為平均氣隙長度，sid，rod分別為定子內(nèi)徑和轉子外徑；θs，θ′s取決于定子和轉子齒的幾何尺寸。

圖4 氣隙磁導的計算Fig. 4 Calculation of air gap permeance

θs、θ′s的計算如式(6)：

(6)

式中：s(r)id，s(r)tft，s(r)tfw分別為定轉子內(nèi)徑、齒法蘭厚度、齒面寬度；Nss，Nrs分別為定、轉子齒數(shù)；β為轉子槽傾斜角度。

在鼠籠式異步電機中定子和轉子中的磁通量都是由電機中電流所產(chǎn)生。故建立定子及轉子電路方程來表示磁通量與相電流、相電壓之間關系，其計算如式(7)：

(7)

式中：ψs為相磁鏈向量，ψs=Msψφst，其中，Msψ為定子的相磁鏈傳輸矩陣，其表示方法見文獻[6]；Vs為相電壓向量；Is為相電流向量；Rs為相電阻向量。

鑒于鼠籠式異步電機轉子的結構特殊，無法用規(guī)則繞組方式來建立電路方程，因此筆者對其加以單獨分析，其示意如圖5。由圖5可知，鼠籠轉子的電路方程如式(8)：

圖5 鼠籠轉子電路示意Fig. 5 Circuit diagram of squirrel cage rotor

(8)

式中：ψr, j為轉子第j段相磁鏈向量，ψr=Mrψφrt；Rb, j，Rr, j分別為第j段轉子導條和前后端環(huán)電阻；Ib, j，Ir, j分別為流經(jīng)第j段轉子導條和前后端環(huán)電流。

電動機最主要功能是通過耦合場將電能轉化為機械能。基于能量守恒定理，等效磁路網(wǎng)絡模型的電磁轉矩方程和機械運動方程如式(9)、(10)：

(9)

(10)

式中：θ為轉子轉角；θp為主動輪轉角；k1，c1分別為輸入軸的扭轉剛度和阻尼；Ts為加載到軸上的轉矩；J為作用到軸上的總轉動慣量。

1.2 齒輪系統(tǒng)動力學模型

城軌列車牽引傳動系統(tǒng)中使用單級斜齒輪傳遞動力，考慮到斜齒輪的嚙合特性，建立12自由度模型。由于未考慮轉子偏心影響，故每個齒輪忽略了x和y向上的扭轉自由度，只考慮了x，y，z方向上的平移自由度和z向的扭轉自由度，故建立的斜齒輪8自由度動力學模型如圖6。

圖6 斜齒輪傳動系統(tǒng)的動力學模型Fig. 6 Dynamic model of helical gear transmission system

圖6中：mi、Ii(i=p,g)為主、從動輪質量及轉動慣量；Rp，Rg為主、從動輪基圓半徑；kix，kiy，kiz，cix，ciy，ciz分別為中心點Op，Og在x、y、z方向上的軸承支撐剛度和阻尼；km(t)，cm分別為輪齒嚙合的時變剛度和阻尼；Fx，F(xiàn)y，F(xiàn)z分別為輪齒x，y，z方向上的動態(tài)嚙合力；Ts，Tg分別為系統(tǒng)的輸入轉矩和負載扭矩。

為簡化計算，不考慮齒面摩擦，系統(tǒng)廣義位移列陣{δ}可表示如式(11)：

{δ}={xp,yp,zp,θp,xg,yg,zg,θg}T

(11)

式中：xi，yi，zi，θi(i=p,g)分別為主、從動斜齒輪中心點Op和Og在x，y，z向平移振動位移及繞z軸扭轉振動位移。

根據(jù)文獻[7]，采用勢能法來計算輪齒時變嚙合剛度可表示如式(12)：

(12)

式中：n為同時參與嚙合的輪齒對數(shù)；下標1，2分別代表主、從動輪；kb為彎曲剛度；ks為剪切剛度；kh為赫茲接觸剛度；kf為彈性剛度；ka為軸向變形剛度。

(13)

則在x，y，z向上的動態(tài)嚙合力可表示如式(14)：

(14)

式中：α為齒輪壓力角；αt=tanα/cosβ為端面壓力角。

根據(jù)文獻[13]經(jīng)驗公式，在x，y，z向上的軸承支撐剛度kix，kiy，kiz(i=p,g)可表示如式(15)：

(15)

式中：軸承選用角接觸球軸承，kix=kiy均為徑向支撐剛度；db為滾子半徑；N為滾子數(shù)目；γ為軸承接觸角；Jai，Jri分別為軸向和徑向載荷積分值；Fai，F(xiàn)ri分別為軸承所受軸向和徑向外力。

由此，可推得系統(tǒng)動力學模型如式(16)：

(16)

1.3 電機-齒輪系統(tǒng)機電耦合模型

電機-齒輪耦合系統(tǒng)示意如圖7。由圖7可知：電磁轉矩Te和轉子轉角θ將電機-齒輪傳動系統(tǒng)中電氣、機械兩部分耦合起來，從而得到機電耦合動力學方程。

圖7 電機-齒輪耦合系統(tǒng)Fig. 7 Schematic diagram of motor-gear coupling system

筆者采用文獻[8]中城軌列車牽引傳動系統(tǒng)的主要機電參數(shù)(表1)，利用MATLAB對以上機電耦合動力學方程進行編程及求解，并對其結果進行分析研究。

表1 牽引傳動系統(tǒng)的主要機電參數(shù)Table 1 Main electromechanical parameters of traction drive system

2 機電耦合系統(tǒng)故障診斷方法

2.1 故障狀態(tài)下機電耦合系統(tǒng)模型

定子匝間繞組短路和轉子導條斷裂是異步電機最常見故障，約占總故障的47%。定子繞組短路是由于異常熱應力、機械應力、電氣應力或環(huán)境應力作用而導致匝間絕緣加速退化所造成的[9]。而轉子導條在電磁力、熱應力、離心力長期作用下產(chǎn)生開焊和斷裂[10]。這些故障會引起齒輪箱和電機的振動，進而會導致整個牽引傳動系統(tǒng)癱瘓，造成巨大損失。城市軌道交通系統(tǒng)運營過程中如發(fā)生列車故障，將會影響正常運營降低服務質量[14-15]。故對故障狀態(tài)下城軌列車機電耦合系統(tǒng)故障診斷研究很有必要[11]。圖8為定子短路示意。機電耦合系統(tǒng)故障模型建立如式(17)、(18)：

圖8 定子匝間繞組短路示意Fig. 8 Stator inter turn winding short circuit diagram

(17)

Rb,j-1Ib,j-1

(18)

式(17)為定子短路方程，假設短路匝數(shù)為nsf，則故障率ksf=nsf/ns(ns為定子每相繞組總匝數(shù))；Rf為匝間繞組短路發(fā)生前部分絕緣失效階段故障電阻；Rs為相電阻；Rst為匝間繞組短路部分電阻；Ia，Ib，Ic分別為每相的相電流；If為短路電流。將式(7)替換為式(17)，即可得到定子短路時的機電耦合模型。

式(18)為轉子斷條方程，假設鼠籠式轉子第j段導條斷裂，Rb, j，Rr, j分別為第j段轉子導條和前后端環(huán)的電阻；Ib, j，Ir, j分別為流經(jīng)第j段轉子導條和前后端環(huán)的電流。將式(8)替換為式(18)，即可得到轉子導條斷裂時機電耦合模型。

2.2 機電耦合系統(tǒng)故障診斷方法對比

圖9為定子匝間繞組短路及轉子導條斷裂1根時機電耦合系統(tǒng)的動態(tài)響應。

圖9(a)為正常狀態(tài)與故障狀態(tài)下鼠籠式異步電機啟動階段定子電流時域圖；由圖9 (a)可知：當發(fā)生故障時，PNM相電流較正常狀態(tài)下增大了30%，而動態(tài)電機模型下相電流較正常狀態(tài)下增大了10%。

圖9 定、轉子故障下機電系統(tǒng)的動態(tài)響應Fig. 9 Dynamic response of electromechanical system under stator and rotor fault

圖9(b)為正常狀態(tài)與故障狀態(tài)下鼠籠式異步電機啟動階段轉子轉速時域圖；由圖9(b)可知：定子短路會引起轉速降低及波動，且故障下的PNM比動態(tài)電機模型降低幅度大。

圖9(c)為正常狀態(tài)與故障狀態(tài)下鼠籠式異步電機啟動階段電磁轉矩時域圖；由圖9(c)可知：當定、轉子故障時，PNM比動態(tài)電機故障模型下電磁轉矩的值波動大。圖9(d)為正常狀態(tài)與故障狀態(tài)下齒輪傳動系統(tǒng)動態(tài)嚙合力時域圖；由圖9(d)可知：當定、轉子故障會引起齒輪附加振動，導致齒輪系統(tǒng)的故障，從而對牽引系統(tǒng)產(chǎn)生嚴重影響。

圖9(e)、(f)分別為PNM和矢量控制動態(tài)電機故障模型下鼠籠式異步電機啟動階段的電磁轉矩頻域圖。

由圖9(e)可知：在故障狀態(tài)下，電磁轉矩頻譜中產(chǎn)生了2fs，2.8fs，4fs，4.8fs，6.8fs，8fs，8.8fs，10fs，10.8fs，12.8fs，14fs，16fs，16.8fs等(6n±2)fs和(n+2s)fs次故障特征頻率成分(fs=50 Hz為電源頻率；s為轉差率，s=1-np/120fs，n為電機額定轉速，p為極對數(shù)，文中s=0.4)。此外，還有齒輪嚙合頻率fm=480 Hz及其諧波(fm=f1×z1，其中f1=n1/60，z1為主動輪齒數(shù)，f1為輸入軸轉頻，n1為輸入軸轉速，取1 800/rpm)，這是由于在電機故障狀態(tài)下，氣隙磁導和磁壓降會具有較大變化，從而導致電磁轉矩發(fā)生波動，對齒輪系統(tǒng)產(chǎn)生非線性作用。

圖9(f)中：只產(chǎn)生了2fs，4.8fs，8fs，10.8fs，16fs，fm等少量故障特征頻率成分。兩種模型下故障頻率如表2，對比可知：PNM比矢量控制動態(tài)單電機模型更加精確，在基于電磁轉矩故障診斷方法中更有優(yōu)勢。

表2 兩種模型下的頻率對比Table 2 Frequency comparison under two models

3 結 語

筆者以城軌列車電機-齒輪耦合牽引系統(tǒng)為研究對象，采用集中參數(shù)法和等效磁路網(wǎng)絡法相結合的方法建立了齒輪系統(tǒng)和鼠籠式異步電機的機電耦合模型。在模型中進一步考慮定子匝間繞組短路故障以及鼠籠轉子導條斷裂故障，基于電磁轉矩對定子匝間繞組短路故障及鼠籠轉子導條斷裂故障進行診斷研究，并與矢量控制單電機模型的診斷結果進行對比分析。

研究結論如下：PNM電磁轉矩頻譜在低頻域中故障頻率幅值比同情況下基于矢量控制動態(tài)單電機模型更大，在高頻處產(chǎn)生了更明顯(6n±2)fs、(n+2s)fs的fs高次諧波分量，易于故障識別，在機電耦合系統(tǒng)故障診斷中更有優(yōu)勢；機電耦合系統(tǒng)故障可通過電磁轉矩來有效檢測，該研究成果為進一步開展無傳感器機電耦合牽引傳動系統(tǒng)故障診斷技術提供理論基礎。