杜東儀

(廣東省廣州市從化區(qū)第二中學(xué) 廣東廣州 510900)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》在課程“基本理念”中提出了“高中數(shù)學(xué)課程以學(xué)生發(fā)展為本，落實(shí)立德樹人的根本任務(wù)，培育科學(xué)精神和創(chuàng)新意識(shí)，提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)”的課程理念。同時(shí)指出：“高中階段數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包括：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析?！睌?shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中逐步形成的，通過對(duì)高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)可得到進(jìn)一步提升，從而促進(jìn)學(xué)生綜合能力的提高。

一、在概念教學(xué)中提高學(xué)生的抽象素養(yǎng)

數(shù)學(xué)概念能夠揭示事物的數(shù)量關(guān)系、結(jié)構(gòu)關(guān)系、空間形式等本質(zhì)屬性，有著極度抽象的特點(diǎn)，不利于學(xué)生的理解。因此，在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，我們要通過大量的實(shí)例或圖片展示等方式將概念具體化，然后引導(dǎo)學(xué)生通過事物的表象分析，舍去事物的一切物理屬性，逐步理解數(shù)學(xué)概念。數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)之首，因此，數(shù)學(xué)概念教學(xué)就成為培養(yǎng)和提高學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的重要環(huán)節(jié)。

案例1：函數(shù)的周期性概念教學(xué)。

（一）創(chuàng)設(shè)情境，直觀感知周期現(xiàn)象

1.全班朗誦：“離離原上草，一歲一枯榮。野火燒不盡，春風(fēng)吹又生?！?/p>

2.重復(fù)播放一小段音樂。

3.展示三角函數(shù)的圖象。

4.活動(dòng)設(shè)計(jì)：

（1）師：如果今天是星期二，那么154天以后是星期幾？

（2）學(xué)生：仍然是星期二

設(shè)計(jì)意圖：通過展示現(xiàn)實(shí)生活各方面的周期性現(xiàn)象，讓學(xué)生在直觀感知中，初步形成周期性意識(shí)。

（二）抽象數(shù)學(xué)概念

1.繪制函數(shù)y=sinx的圖象，設(shè)置游標(biāo)a，繪制直線x=a，x=2π+a，繪制直線x=a，x=2π+a分別與y=sinx的兩交點(diǎn)（如圖1）。

圖1

2.觀察兩個(gè)交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，得出：兩交點(diǎn)縱坐標(biāo)相同的結(jié)論。

3.理論抽象

（1）得出結(jié)論：對(duì)于任意的x，都有sinx=sin(2π+x)。（2）初步概括：對(duì)于任意的x，都有f(x)=f(C+x)

（3）抽象出周期的概念：一般地，對(duì)于函數(shù)f(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得定義域內(nèi)每一個(gè)x值，都滿足f(x+T)=f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期。

設(shè)計(jì)意圖：根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，由淺入深，由生活到數(shù)學(xué)，從特殊到一般，從具體到抽象，最后用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)出數(shù)學(xué)概念。

二、在探究教學(xué)中提升學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)

數(shù)學(xué)探究課在傳授基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能的過程中有著非常重要的作用。數(shù)學(xué)探究課中，學(xué)生在教師的輔助下，體驗(yàn)知識(shí)的形成過程，由淺入深逐步推進(jìn)，在知識(shí)體驗(yàn)的過程中，同時(shí)感知思維的形成過程。從直觀感知到理論升華，在圖象等直觀事物的輔助下，使數(shù)學(xué)問題得到解決，從而實(shí)現(xiàn)直觀想象素養(yǎng)的提升。

探究型教學(xué)是培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)的一個(gè)非常好的載體，在計(jì)算機(jī)的輔助下更能使探究教學(xué)的效果達(dá)到最大化。直觀想象是一種存在于人腦中的思維能力，培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)需要大量的圖象和探究過程作為支撐。而TI圖形計(jì)算器能夠演示模擬的實(shí)物圖片、三維立體模型、平面幾何模型和動(dòng)態(tài)變化過程等，實(shí)現(xiàn)思維過程的形象化，為數(shù)學(xué)探究提供良好的物質(zhì)基礎(chǔ)，在發(fā)現(xiàn)、探索、猜測(cè)等過程中，使學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)得到提升。

案例2：變量a,w,t對(duì)函數(shù)y=a sin(wx+t)圖象的影響的探究。

在傳統(tǒng)的課堂教學(xué)中，變量a,w,t對(duì)函數(shù)y=a sin(wx+t)圖象的影響并不直觀，很多時(shí)候依靠的是學(xué)生的憑空想象，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)是一個(gè)非常困難的地方，TI圖形計(jì)算器的游標(biāo)功能恰恰可以幫助我們解決這一問題，我們可以通過移動(dòng)游標(biāo)，實(shí)現(xiàn)實(shí)時(shí)的圖象變化，學(xué)生一邊操作一邊觀察，使問題更加直觀。

（一）學(xué)生操作過程

1.新建文檔并添加函數(shù)圖形：y=a sin(wx+t)；

2.利用“菜單－動(dòng)作－插入游標(biāo)”功能定義3個(gè)游標(biāo)a,w,t；

3.得到初始化的函數(shù)圖象（如圖2）y=sinx；

圖2

4.通過分別拖動(dòng)三個(gè)游標(biāo)，讓學(xué)生直觀感受三個(gè)變量a,w,t對(duì)函數(shù)圖象的影響（如圖3）。

圖3

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生的親身操作，能夠讓學(xué)生充分感受知識(shí)的形成過程，強(qiáng)化學(xué)生借助幾何圖形理解問題的意識(shí)。

（二）教師引導(dǎo)過程

在電腦平臺(tái)上連接一個(gè)繪圖較好的學(xué)生的圖形計(jì)算器，并展示出來(lái)。1.拖動(dòng)游標(biāo)使a=1,w=1,t=0，記錄下函數(shù)y=sinx的痕跡，再拖動(dòng)游標(biāo)繪制出y=sin2x的圖象，引導(dǎo)學(xué)生觀察函數(shù)圖象的變化（橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的）；導(dǎo)學(xué)生觀察函數(shù)圖象的變化（向左平移?）；

設(shè)計(jì)意圖：直觀想象最直接的體現(xiàn)就是數(shù)形結(jié)合的思想。在數(shù)學(xué)探究教學(xué)中，首先要將數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化成圖象的形式表達(dá)出來(lái)，這樣不但可以加深學(xué)生對(duì)問題的理解，還可以增強(qiáng)學(xué)生對(duì)教學(xué)內(nèi)容的興趣。教師通過對(duì)圖象的分析，引導(dǎo)學(xué)生從圖象向問題過渡，充分暴露知識(shí)的形成過程，根據(jù)實(shí)際情況設(shè)置疑問，讓學(xué)生思考并尋求解決方法，實(shí)現(xiàn)直觀想象素養(yǎng)的培養(yǎng)。

（三）教師設(shè)疑過程

2.讓學(xué)生觀察老師所畫出的圖象和自己的圖象的區(qū)別；

3.讓學(xué)生回顧思考老師的作圖步驟與自己的作圖步驟的區(qū)別；

4.得出結(jié)論：“先平移后伸縮”與“先伸縮后平移”會(huì)得出不一樣的函數(shù)圖象。

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考，將難點(diǎn)及易錯(cuò)點(diǎn)充分展示給學(xué)生。

三、在實(shí)驗(yàn)教學(xué)中提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)

當(dāng)實(shí)際問題需要從定量的角度分析和研究時(shí)，這就需要進(jìn)行數(shù)學(xué)建模。首先，要對(duì)問題情境進(jìn)行深入調(diào)查研究、作出簡(jiǎn)化假設(shè)并分析其內(nèi)在規(guī)律。其次，要用數(shù)學(xué)的符號(hào)和語(yǔ)言來(lái)建立數(shù)學(xué)模型，再對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行求解分析。最后，利用得出的結(jié)果解決實(shí)際問題。

利用問題情境作出的簡(jiǎn)化假設(shè)有時(shí)并不直觀，需要我們?cè)诙鄠€(gè)模擬實(shí)驗(yàn)中，通過分析研究才能建立更優(yōu)的數(shù)學(xué)模型。多個(gè)模擬實(shí)驗(yàn)的實(shí)施，需要對(duì)龐大的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)進(jìn)行匯總、計(jì)算、繪圖等，如果不利用現(xiàn)代信息技術(shù)，學(xué)生只會(huì)陷入繁瑣的計(jì)算和數(shù)據(jù)處理中，失去體會(huì)知識(shí)形成過程的樂趣。借助TI圖型計(jì)算器，學(xué)生可以將時(shí)間和精力集中在數(shù)學(xué)建模過程的探索和分析中，不斷優(yōu)化解決方案，使其數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)得以培養(yǎng)。

案例3：函數(shù)模型的擬合實(shí)驗(yàn)（必修一第三章《函數(shù)的應(yīng)用》P105例6）

某地區(qū)不同身高的未成年男性的體重平均值如表3-10.

身高/cm 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170體重/kg 6.13 7.90 9.99 12.15 15.02 17.50 20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 55.05

1.根據(jù)表3-10提供的數(shù)據(jù)，能否建立恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，使它能比較近似地反映這個(gè)地區(qū)未成年男性體重y kg與身高x cm的函數(shù)關(guān)系？試寫出這個(gè)函數(shù)模型的解析式。

2.若體重超過相同身高男性體重平均值的1.2倍為偏胖，低于0.8倍為偏瘦，那么這個(gè)地區(qū)一名身高為175cm，體重為78kg的在校男生的體重是否正常？

實(shí)施步驟：

（一）運(yùn)用TI圖形計(jì)算器畫出散點(diǎn)圖（如圖4）

圖4

（二）擬合猜想

課本中說(shuō)到，“根據(jù)點(diǎn)的分布特征，可考慮以y=a·bx作為刻畫這個(gè)地區(qū)未成年男性的體重與身高關(guān)系的函數(shù)模型”，但實(shí)際上這個(gè)散點(diǎn)圖并不能很清晰地看出函數(shù)模型，我們要進(jìn)行函數(shù)模型的擬合猜想。

比如：這里我們選擇了三個(gè)函數(shù)模型，進(jìn)行分析研究。

1.二次型函數(shù)模型：y=ax2+bx+c

這樣就得到一個(gè)二次型函數(shù)模型：y=0.003331x2-0.328937x+14.60369

2.指數(shù)型函數(shù)模型：y=a·bx

這樣就得到一個(gè)指數(shù)型函數(shù)模型：y=2×1.02x

3.一次型函數(shù)模型：y=kx+b

這樣就得到一個(gè)一次型函數(shù)模型：y=0.44x-22.71

（三）畫出三個(gè)圖象，觀察擬合情況，確定函數(shù)模型（如圖5、6、7）。

圖5 二次型函數(shù)模型

圖6 指數(shù)型函數(shù)模型

圖7 一次型函數(shù)模型

從上面三個(gè)函數(shù)模型的擬合情況來(lái)看，指數(shù)型函數(shù)模型（y=a·bx）的擬合程度是最好的，因此老師可以更好地向?qū)W生講述什么是“根據(jù)點(diǎn)的分布特征”來(lái)選擇函數(shù)模型。但有時(shí)候單純通過觀察圖像，我們無(wú)法確定哪個(gè)函數(shù)與實(shí)際數(shù)據(jù)的擬合情況更好。如果想要獲得更準(zhǔn)確的擬合曲線，可以通過選修2-3“統(tǒng)計(jì)案例”的學(xué)習(xí)，用“擬合函數(shù)的函數(shù)值與實(shí)際數(shù)據(jù)的誤差平方和”來(lái)衡量函數(shù)的擬合程度。

在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課中引入TI圖形計(jì)算器不僅能夠降低建模的過程中數(shù)據(jù)處理的難度，更重要的是，還可以提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的興趣，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)建模在解決實(shí)際問題中的作用，有效培養(yǎng)他們的實(shí)踐能力和創(chuàng)新意識(shí)。

數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析等組成了高中數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)。在教學(xué)中，教師應(yīng)該根據(jù)不同的教學(xué)內(nèi)容和課型的不同特點(diǎn)有所側(cè)重，另外，數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)的提升并非一朝一夕就能實(shí)現(xiàn)，應(yīng)該在我們平時(shí)的教學(xué)中不斷滲透和加強(qiáng)。最后，信息技術(shù)的使用對(duì)高中數(shù)學(xué)教學(xué)有很大幫助，可幫助學(xué)生加深對(duì)知識(shí)的理解，逐步培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)研究態(tài)度和意識(shí)，它能夠很好地呈現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過程，在培養(yǎng)學(xué)生直觀想象、數(shù)學(xué)建模等方面都有積極的作用。因此，在積極推進(jìn)我國(guó)教育現(xiàn)代化和信息化的背景下，倡導(dǎo)和探索現(xiàn)代信息技術(shù)輔助高中數(shù)學(xué)教學(xué)，將復(fù)雜、抽象的數(shù)學(xué)問題融入到生動(dòng)的圖象中，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)有重大的現(xiàn)實(shí)意義。