江 昊 王伯福 盧志明

(上海大學(xué),力學(xué)與工程科學(xué)學(xué)院,上海市應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)研究所,上海 200072)

引言

非線性動(dòng)力系統(tǒng)廣泛存在于自然界及工業(yè)界中,對(duì)非線性動(dòng)力系統(tǒng)的建模是亟待解決的問題.非線性動(dòng)力系統(tǒng)(如電力網(wǎng)絡(luò)[1]、金融學(xué)[2]、神經(jīng)科學(xué)[3]等)的控制方程大多是非線性偏微分方程,從傳統(tǒng)的守恒定律和物理原理等第一性原理出發(fā)去推導(dǎo)一些復(fù)雜系統(tǒng)的控制方程是困難的.現(xiàn)代流體力學(xué)雖然已經(jīng)具備了較完備的理論方程和模型,但仍然有很多復(fù)雜問題的理論研究尚不完備,如帶化學(xué)反應(yīng)流、多相流、非牛頓流、稀薄流等,這些系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程或模型的理論推導(dǎo)難以實(shí)現(xiàn)[4].近些年來,隨著計(jì)算機(jī)硬件以及計(jì)算科學(xué)的發(fā)展,基于數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)方法對(duì)非線性復(fù)雜系統(tǒng)建模得到了研究者的青睞[5-13].其中稀疏識(shí)別方法[14]可以簡化復(fù)雜的數(shù)學(xué)模型,得到項(xiàng)數(shù)較少的簡單模型來表征系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性,并可以綜合考慮過擬合和模型精確性之間的矛盾.稀疏識(shí)別方法已經(jīng)被廣泛用于復(fù)雜非線性系統(tǒng)控制方程的識(shí)別[14-21].1996 年,Tibshirani[14]首次提出最小絕對(duì)收縮和選擇算子(least absolute shrinkage and selection operator,LASSO)方法,并且把LASSO 方法應(yīng)用在Cox模型的稀疏識(shí)別中[15].2016 年,Brunton 等[18]通過稀疏識(shí)別在含有噪聲的非線性動(dòng)力系統(tǒng)的數(shù)據(jù)中識(shí)別出了常微分方程.2017 年,Rudy 等[19]提出了偏微分方程函數(shù)識(shí)別(partial differential equations functional identification of nonlinear dynamics,PDE-FIND)方法可以通過測量或者數(shù)值模擬的時(shí)空數(shù)據(jù)來稀疏識(shí)別偏微分方程,正確地識(shí)別出了圓柱繞流流場的渦量輸運(yùn)方程.胡軍等[20]將貝葉斯稀疏識(shí)別方法識(shí)別結(jié)果與PDE-FIND 方法識(shí)別結(jié)果相比較,表明了貝葉斯稀疏識(shí)別方法對(duì)偏微分方程具有非常強(qiáng)的稀疏恢復(fù)能力,但相比PDE-FIND 方法對(duì)噪聲更加敏感.

近年來,數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)方法在流場中的應(yīng)用頗受研究者[4,22-27]的重視.2019 年,Chang 和Zhang[23]使用LASSO 方法從數(shù)據(jù)出發(fā),識(shí)別出了單相地下水流動(dòng)方程和污染物輸運(yùn)方程.2020 年,Raissi 等[24]使用深度學(xué)習(xí),對(duì)流場可視化的圖片進(jìn)行學(xué)習(xí),并反演了流場的壓力和速度分布場,可以幫助得到實(shí)驗(yàn)難以測量的數(shù)據(jù).Zhang 和Ma[25]采用PDE-FIND 方法,對(duì)基于直接模擬蒙特卡羅(direct simulation Monte Carlo,DSMC) 方法模擬產(chǎn)生的數(shù)據(jù)進(jìn)行稀疏識(shí)別,反演了流體的對(duì)流、擴(kuò)散以及渦量輸運(yùn)方程,從數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)角度清晰地展示了玻爾茲曼方程和Navier-Stokes 方程之間的相關(guān)性.Schmelzer 等[26]采用SINDy 框架在數(shù)值模擬的數(shù)據(jù)中是識(shí)別出了代數(shù)雷諾應(yīng)力模型.張亦知等[27]構(gòu)建了基于數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的湍流模型修正框架并在槽道流中進(jìn)行了驗(yàn)證.

本文采用基于數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的稀疏識(shí)別方法(PDEFIND 方法和LASSO 方法)對(duì)圓柱繞流、頂蓋驅(qū)動(dòng)方腔流、RB 對(duì)流和三維槽道湍流的控制方程進(jìn)行稀疏識(shí)別,研究了不同流場,不同控制方程以及不同區(qū)域數(shù)據(jù)對(duì)于流場控制方程稀疏識(shí)別的影響.

1 流動(dòng)控制方程的識(shí)別方法

非線性系統(tǒng)的控制方程大多是非線性偏微分方程(組),例如Burgers 方程(1),科爾特弗-德弗里斯(korteweg-de Vries,kdV)方程(2)

這些非線性偏微分方程可以寫成通用形式

其中,u表示時(shí)空變量,ut表示變量u的時(shí)間導(dǎo)數(shù),下標(biāo)x的個(gè)數(shù)表示變量u的空間n階導(dǎo)數(shù),μ 表示系統(tǒng)的參數(shù),N(·)表示時(shí)空變量u(x,t)及其時(shí)空各階導(dǎo)數(shù)的非線性函數(shù).在非線性偏微分方程的稀疏識(shí)別中,將包含變量u及其導(dǎo)數(shù)相關(guān)的項(xiàng)組成矩陣U,將其他可能出現(xiàn)的項(xiàng)組成矩陣Q.將U,Q合并成矩陣Θ

對(duì)于離散的數(shù)據(jù)點(diǎn),U和Q分別為(N×Mu) 和的二維矩陣,其中N=n×m為矩陣中每項(xiàng)對(duì)應(yīng)的時(shí)空點(diǎn)數(shù)(n為空間網(wǎng)格總數(shù),m為時(shí)間步數(shù)),Mu和Mq分別為U和Q的項(xiàng)數(shù).將非線性偏微分方程表示為以下線性方程

其中,Θ是人為給定的一個(gè)過完備的候選項(xiàng)的庫,即Θ庫中包含所有可能屬于該非線性偏微分方程的項(xiàng).ξ是稀疏向量,表示的是非線性偏微分方程系數(shù)矩陣,該稀疏向量ξ的非稀疏項(xiàng)等于該非線性偏微分方程的系數(shù),則偏微分方程可以寫成線性加權(quán)和的形式

流體力學(xué)中非線性偏微分方程的稀疏識(shí)別就是通過流場的部分空間位置的時(shí)間序列數(shù)據(jù),來找到稀疏系數(shù)矩陣ξ使得方程(6)滿足該流場動(dòng)力學(xué)行為.時(shí)間序列數(shù)據(jù)可以通過實(shí)驗(yàn)或者數(shù)值模擬來獲得,變量的時(shí)空導(dǎo)數(shù)通過多項(xiàng)式插值法或有限差分法獲得.對(duì)于不含有噪聲的數(shù)據(jù)通常采用有限差分法計(jì)算獲得,但對(duì)于有噪聲的數(shù)據(jù),多項(xiàng)式插值法計(jì)算的導(dǎo)數(shù)比有限差分法計(jì)算的導(dǎo)數(shù)更精確[19].

如果Θ內(nèi)所有的項(xiàng)都屬于該流場系統(tǒng)的控制方程,此時(shí)可以使用最小二乘法確定系數(shù)矩陣

然而,在過完備的庫Θ中通過最小二乘法求解系數(shù)矩陣ξ,會(huì)引起過擬合問題,解出的系數(shù)矩陣ξ中所有元素都是非零,這樣所識(shí)別出的非線性偏微分方程很復(fù)雜,比流場精確控制方程多出很多項(xiàng),不符合流體動(dòng)力學(xué)規(guī)律.

對(duì)于偏微分方程的稀疏識(shí)別,一種比較直觀的方法就是將所有項(xiàng)可能的組合都進(jìn)行計(jì)算,比較所有項(xiàng)組合的誤差,得到最優(yōu)的項(xiàng)組合,數(shù)學(xué)表示為加入L0正則化最小二乘法

但是求解該問題會(huì)遇到NP-hard 問題,即把所有的組合都進(jìn)行計(jì)算和比較,這對(duì)于計(jì)算資源的消耗是巨大的.Tibshirani[14]提出的LASSO 算法是引入L1正則化的最小二乘法

該方法是對(duì)于L0正則化最小二乘法的一個(gè)凸優(yōu)化問題,避免了L0正則化的NP-hard 問題,圖1 是LASSO方法的流程圖.但LASSO 方法對(duì)列相關(guān)性很高的數(shù)據(jù)矩陣的稀疏識(shí)別比較困難,例如對(duì)于KdV 方程的識(shí)別[19].

圖1 LASSO 方法流程圖Fig.1 Flow chart of LASSO scheme

Rudy 等[19]提出了一個(gè)新的稀疏識(shí)別方法:PDEFIND 方法.該算法是在加入L2正則化的最小二乘法(1) 中加入閾值篩選,使用Ridge 算法[28]求解L2正則化的最小二乘法,將小于閾值的系數(shù)所對(duì)應(yīng)的項(xiàng)篩去,對(duì)剩余的項(xiàng)重復(fù)遞歸Ridge 算法求解和閾值篩選,直到所有項(xiàng)的系數(shù)都高于閾值,此時(shí)返回稀疏系數(shù)矩陣ξ,該過程被稱為STRidge 算法

顯然,閾值的選取對(duì)于STRidge 算法很重要,不同的閾值會(huì)導(dǎo)致識(shí)別的偏微分方程的稀疏程度不同,因此為了找到最佳的閾值,Rudy 等[19]提出了一個(gè)訓(xùn)練閾值的算法(TrainSTRidge 算法).TrainSTRidge 算法和STRidge 算法相互耦合一起形成了PDE-FIND方法.圖2 是PDE-FIND 方法的流程圖.

圖2 PDE-FIND 方法流程圖Fig.2 Flow chart of PDE-FIND scheme

2 識(shí)別結(jié)果

2.1 圓柱繞流渦量輸運(yùn)方程的識(shí)別

Rudy 等[19]使用PDE-FIND 方法對(duì)圓柱繞流的渦量輸運(yùn)方程進(jìn)行了稀疏識(shí)別,在未添加噪聲的流場數(shù)據(jù)中識(shí)別出的渦量輸運(yùn)方程的平均系數(shù)誤差為1%±0.2%.本文同樣也對(duì)圓柱繞流問題的渦量輸運(yùn)方程進(jìn)行了識(shí)別.

采用LBM 方法對(duì)雷諾數(shù)為300 的圓柱繞流進(jìn)行了直接數(shù)值模擬,計(jì)算網(wǎng)格為1000×250,圓柱圓心位置為(201,133),半徑為26,來流最大速度為u=0.1.圖3 給出了t=104時(shí)流場的渦量云圖.如圖3 所示將圓柱繞流后面的區(qū)域分為x∈ (250,500),x∈ (500,750),每個(gè)區(qū)域隨機(jī)選擇8000 個(gè)空間點(diǎn)并追蹤記錄60 個(gè)時(shí)間步長的速度數(shù)據(jù)和壓力數(shù)據(jù),這樣每個(gè)區(qū)域就共獲得了48 萬個(gè)數(shù)據(jù)樣本,這對(duì)于稀疏識(shí)別所需的樣本是充足的,且采樣的方法不會(huì)影響識(shí)別的結(jié)果[19].采用5 次切比雪夫多項(xiàng)式插值[29]計(jì)算導(dǎo)數(shù),導(dǎo)數(shù)階數(shù)最高保留到二階,變量次數(shù)最高保留到二階,非線性項(xiàng)最高保留到四階,將這些數(shù)據(jù)用來構(gòu)建稀疏識(shí)別所需Θ庫(4).表1 給出了PDE-FIND 方法和LASSO方法對(duì)于x∈(250,500) 圓柱繞流數(shù)據(jù)的稀疏識(shí)別結(jié)果.

圖3 t=104 時(shí)圓柱繞流的渦量云圖Fig.3 Vorticity contour of flow past a cylinder at t=104

表1 Re=300,x ∈(250,500)圓柱繞流控制方程的識(shí)別Table 1 Identification of vorticity transport equation for flow past a cylinder with Re=300 in x ∈(250,500)

從表1 可得出,PDE-FIND 方法和LASSO 方法都正確地識(shí)別出了渦量輸運(yùn)方程,并且系數(shù)相同.兩種算法對(duì)于渦量輸運(yùn)方程的稀疏識(shí)別的能力一致,且平均系數(shù)誤差為3.21%.渦量輸運(yùn)方程是一個(gè)線性偏微分方程,PDE-FIND 方法和LASSO 方法對(duì)線性偏微分方程的稀疏識(shí)別能力一致.對(duì)于x∈(500,750) 區(qū)域的數(shù)據(jù),兩種算法也都識(shí)別出了正確的控制方程,但所得平均系數(shù)誤差有所增加,為8.75%.這是因?yàn)樵娇拷鼒A柱區(qū)域的流場信息越豐富,因而識(shí)別出的控制方程系數(shù)越精確.這與文獻(xiàn)[20]的結(jié)論是吻合的,即選取具有豐富動(dòng)力學(xué)行為的時(shí)空演化數(shù)據(jù)可以提高對(duì)動(dòng)力學(xué)控制方程的識(shí)別的準(zhǔn)確性.

2.2 頂蓋驅(qū)動(dòng)方腔流控制方程的識(shí)別

本節(jié)對(duì)二維頂蓋驅(qū)動(dòng)方腔流的NS 方程組進(jìn)行稀疏識(shí)別.相比于上一節(jié)渦量輸運(yùn)方程的識(shí)別,原始變量形式的NS 方程組是一組偏微分方程組

其中,方程(12)是連續(xù)性方程,方程(13)是動(dòng)量方程.二維頂蓋驅(qū)動(dòng)方腔流場數(shù)據(jù)使用基于有限差分的直接數(shù)值模擬得到.方腔寬高比為2,方腔頂部的壁面以大小為1 的速度勻速向左運(yùn)動(dòng),流動(dòng)雷諾數(shù)為100.模擬計(jì)算網(wǎng)格數(shù)為200×100,圖4 給出了t=40 時(shí)流場的壓力云圖和流線圖.

圖4 t=40 時(shí)頂蓋驅(qū)動(dòng)方腔流的壓力云圖和速度矢量圖Fig.4 Pressure contour and velocity vector of lid-driven cavity flow at t=40

注意到連續(xù)性方程(12),不含有時(shí)間偏導(dǎo)項(xiàng),將連續(xù)性方程可改寫為

將x看成時(shí)間t,就可以采用稀疏識(shí)別方法來識(shí)別連續(xù)性方程了.

在整個(gè)方腔區(qū)域選取數(shù)據(jù),采樣方法、導(dǎo)數(shù)計(jì)算方法以及Θ庫的構(gòu)建與2.1 節(jié)相同.表2 給出了PDE-FIND 方法和LASSO 方法對(duì)于Re=100 頂蓋驅(qū)動(dòng)方腔流控制方程的稀疏識(shí)別結(jié)果.從表2 可得出,對(duì)于頂蓋驅(qū)動(dòng)方腔流的數(shù)據(jù),PDE-FIND 方法正確地識(shí)別出了連續(xù)性方程和NS 方程的各項(xiàng),且平均系數(shù)誤差為2.77%,而LASSO 方法只能正確地識(shí)別出連續(xù)性方程,沒有識(shí)別出動(dòng)量方程,例如在u方程中未選擇出uux,可能是因?yàn)長ASSO 算法對(duì)含強(qiáng)非線性項(xiàng)的方程的識(shí)別會(huì)失效,具體的原因?qū)⒃谙乱还?jié)進(jìn)行討論.

表2 Re=100,頂蓋驅(qū)動(dòng)方腔流控制方程的識(shí)別Table 2 Identification of vorticity transport equation for lid-driven cavity flow with Re=100

2.3 Rayleigh-B′enard 對(duì)流控制方程的識(shí)別

下面考慮識(shí)別Rayleigh-B′enard(RB)對(duì)流系統(tǒng)中的控制方程,其物理模型是一個(gè)下底板加熱,上底板冷卻的對(duì)流系統(tǒng),系統(tǒng)中充滿流體介質(zhì),由于上下底板溫度不一樣,導(dǎo)致不同高度位置的流體之間存在密度差,在浮力的驅(qū)動(dòng)下系統(tǒng)中流體產(chǎn)生運(yùn)動(dòng).在OberbeckBoussinesq (OB) 近似下的無量綱控制方程組如下

其中,方程(15)是連續(xù)性方程,方程(16)是含有熱浮力項(xiàng)的NS 方程,方程(17)是熱輸運(yùn)方程,Rayleigh 數(shù)(Ra)和Prandtl 數(shù)(Pr)是RB 系統(tǒng)的重要控制參數(shù).

RB 對(duì)流流場通過Zhang[30]所發(fā)展的基于有限差分的直接數(shù)值模擬得到.不失一般性,模擬方形區(qū)域的RB 對(duì)流,Pr數(shù)固定為1,計(jì)算了4 個(gè)不同的Ra數(shù)的工況.Ra數(shù)分別取106,107,108,109,對(duì)應(yīng)的計(jì)算網(wǎng)格分別是128×128,512×512,720×720,1024×1024.當(dāng)Ra數(shù)從106增大到109時(shí),RB 對(duì)流系統(tǒng)會(huì)從層流狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)閺?qiáng)非線性的湍流流動(dòng)狀態(tài),整個(gè)系統(tǒng)的速度及溫度脈動(dòng)劇烈,會(huì)出現(xiàn)局部梯度較大的數(shù)據(jù),對(duì)于系統(tǒng)控制方程的識(shí)別可能造成一定的困難.圖5 是t=80 時(shí),不同Ra數(shù)的RB 對(duì)流系統(tǒng)的溫度云圖和速度矢量圖.

圖5 Pr=1,不同Ra 數(shù)的RB 對(duì)流系統(tǒng)的溫度云圖和速度矢量圖Fig.5 Temperature contour and velocity vector of RB convection for different Rayleigh number with Pr=1

在整個(gè)計(jì)算區(qū)域選取數(shù)據(jù),采樣方法、導(dǎo)數(shù)計(jì)算方法以及Θ庫的構(gòu)建與2.1 節(jié)相同.

表3 給出了Ra數(shù)為109的識(shí)別結(jié)果,PDE-FIND方法和LASSO 方法都正確識(shí)別出了Ra=109的RB對(duì)流系統(tǒng)中連續(xù)性方程和熱輸運(yùn)方程,并且系數(shù)一致.而且PDE-FIND 方法仍然正確識(shí)別出了RB 對(duì)流的動(dòng)量方程,對(duì)應(yīng)Ra從106到109,識(shí)別的控制方程組平均系數(shù)誤差分別為0.36%,0.06%,0.40%,0.46%.而LASSO 方法對(duì)NS 方程仍沒有正確識(shí)別,在u方程識(shí)別中未選擇uxx.原因是由變量及變量各階導(dǎo)數(shù)組成的過于完備庫中,回歸系數(shù)趨于相近的項(xiàng)之間會(huì)產(chǎn)生分組效應(yīng)(grouping effect)[31,32].而LASSO 方法對(duì)于具有分組效應(yīng)的候選項(xiàng)的篩選可能會(huì)失敗,表現(xiàn)為在有分組效應(yīng)的候選項(xiàng)中只選擇一項(xiàng),而其他的候選項(xiàng)的系數(shù)會(huì)設(shè)為0.在Ra=106,Ra=107,Ra=108的RB 對(duì)流控制方程稀疏識(shí)別中,也存在同樣的現(xiàn)象.

表3 Ra=109,Pr=1RB 對(duì)流控制方程識(shí)別Table 3 Identification of governing equations for Rayleigh-B′enard convection with Ra=109,Pr=1

2.4 三維槽道湍流控制方程的識(shí)別

最后對(duì)三維槽道湍流進(jìn)行了稀疏識(shí)別,數(shù)據(jù)通過離散統(tǒng)一的氣動(dòng)格式(discrete unified gas-kinetic scheme,DUGKS)[33]模擬得到,計(jì)算域?yàn)?π×2×4π/3,槽道半高為1,計(jì)算網(wǎng)格為128×128×128,垂向采用非均勻網(wǎng)格,流向和展向采用均勻網(wǎng)格,壁面摩擦速度定義的雷諾數(shù)Reτ=180,此時(shí)的槽道流處于充分發(fā)展湍流狀態(tài).圖6 給出了槽道展向中心截面的速度云圖,各種尺度的復(fù)雜結(jié)構(gòu)清晰可見.在整個(gè)槽道中選取數(shù)據(jù),采樣方法、導(dǎo)數(shù)計(jì)算方法以及Θ 庫的構(gòu)建與2.1 節(jié)相同.

圖6 Reτ=180,三維槽道湍流展向中心截面速度云圖Fig.6 Velocity contour of 3D turbulent channel flow with Reτ=180 at z=0

表4 給出了三維槽道湍流控制方程的識(shí)別結(jié)果,PDE-FIND 方法對(duì)于正確地識(shí)別出了控制方程,并且平均系數(shù)誤差為0.37%,說明PDE-FIND 可以在在湍流狀態(tài)的流場數(shù)據(jù)中識(shí)別控制方程.而LASSO方法只識(shí)別出了連續(xù)性方程,這與前兩節(jié)的結(jié)果一致.說明在過完備候選庫中列相關(guān)性強(qiáng)弱對(duì)于PDEFIND 方法的稀疏識(shí)別沒有影響,PDE-FIND 方法不存在分組效應(yīng).本節(jié)還研究了不同y+的數(shù)據(jù)對(duì)識(shí)別的影響,取y+∈(0.21,19.3),y+∈(19.3,59.7),y+∈(59.7,182.9),都正確識(shí)別出了控制方程,系數(shù)平均誤差分別為0.42%,0.48%,0.39%.說明在三維槽道湍流控制方程的稀疏識(shí)別中,誤差與壁面距離幾乎無關(guān).

表4 Reτ=180 三維槽道湍流控制方程識(shí)別結(jié)果Table 4 Identification of governing equations for 3D turbulent channel flow with Reτ=180

3 結(jié)論

本文采用PDE-FIND 方法及LASSO 方法對(duì)二維圓柱繞流、頂蓋驅(qū)動(dòng)方腔流動(dòng)、RB 對(duì)流和三維槽道湍流控制方程進(jìn)行了稀疏識(shí)別,主要得到以下結(jié)論:

(1)使用PDE-FIND 方法識(shí)別出了流場中的控制方程,得到了正確的方程及精確的系數(shù).

(2) LASSO 方法正確識(shí)別出了其中的線性偏微分控制方程如連續(xù)性方程,渦量輸運(yùn)和溫度輸運(yùn)方程,但對(duì)含非線性的偏微分方程識(shí)別效果差,這是由于LASSO 方法識(shí)別過程中侯選庫存在分組效應(yīng),降低了識(shí)別能力.而在PDE-FIND 方法中是不存在分組效應(yīng)的,所以PDE-FIND 方法對(duì)強(qiáng)非線性方程識(shí)別有一定的優(yōu)勢.

(3)豐富的流動(dòng)結(jié)構(gòu)對(duì)于數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的流場控制方程的稀疏識(shí)別有重要作用,選擇具有豐富流動(dòng)結(jié)構(gòu)的區(qū)域的數(shù)據(jù)可以提升稀疏識(shí)別的有效性和精確性.

從2.3 節(jié)和2.4 節(jié)結(jié)果可知,PDE-FIND 方法對(duì)層流和湍流兩種流動(dòng)狀態(tài)都可以精確的識(shí)別出控制方程.這對(duì)于復(fù)雜流動(dòng)建模提供了一種新的研究方法,例如將PDE-FIND 方法用于湍流脈動(dòng)量控制方程和湍流統(tǒng)計(jì)量的控制方程的系數(shù)識(shí)別.未來考慮將稀疏識(shí)別算法與k-ε 等湍流模式相結(jié)合,提高湍流模式在數(shù)值模擬中的精確性.另外,本文的流場數(shù)據(jù)都是通過精細(xì)的直接數(shù)值模擬得到的,PDE-FIND 都識(shí)別出了正確的方程形式,得到了準(zhǔn)確的方程系數(shù),但從實(shí)驗(yàn)或者實(shí)測數(shù)據(jù)往往具有噪聲,對(duì)于含有噪聲的數(shù)據(jù),PDE-FIND 方法識(shí)別能力往往變?nèi)?如何提高PDE-FIND 方法在含有噪聲數(shù)據(jù)的識(shí)別能力是值得深入研究的課題.可行的方法之一是結(jié)合數(shù)據(jù)去噪技術(shù)和尋找最優(yōu)的插值點(diǎn)數(shù)和多項(xiàng)式插值階數(shù)等,提高高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的計(jì)算精度,從而提高稀疏識(shí)別能力.