陳少林 伍銳 張嬌 谷音

*(南京航空航天大學(xué)土木與機場工程系,南京 210016)

?(福州大學(xué)土木工程學(xué)院,福州 350116)

引言

由于中西部地區(qū)地形復(fù)雜,山谷、大河、深溝眾多,連續(xù)梁、連續(xù)剛構(gòu)是跨越山區(qū)的優(yōu)選橋型.而中國西部地區(qū)又屬于地震頻發(fā)地區(qū),對于山區(qū)地形,地震動的傳播有著顯著的空間效應(yīng).當(dāng)山高、谷深時,連續(xù)剛構(gòu)是優(yōu)選方案.此時,一方面結(jié)構(gòu)跨度大;另一方面,連續(xù)剛構(gòu)框架結(jié)構(gòu),使得結(jié)構(gòu)對地震動傳播空間效應(yīng)敏感.因此,較為準(zhǔn)確地預(yù)測跨峽谷橋梁的地震響應(yīng),應(yīng)考慮地震動的空間效應(yīng).

跨峽谷橋梁的地震響應(yīng)取決于各橋墩底部的有效地震動輸入,而地形和場地效應(yīng)、行波效應(yīng)以及土-結(jié)相互作用效應(yīng)將導(dǎo)致有效地震動輸入的空間差異性:(1) 地形和場地效應(yīng).地形和場地條件會影響地震動場[1-2],進而改變橋梁結(jié)構(gòu)的有效地震動輸入,影響橋梁地震響應(yīng)[3-5].先對地形和場地進行地震反應(yīng)分析,然后將橋墩位置的地震動作為輸入,進行橋梁地震反應(yīng)分析,一般不考慮土-結(jié)相互作用.(2) 行波效應(yīng).由于橋梁跨度較大,非垂直入射的地震波將引起各橋墩底部地震動的相位差,導(dǎo)致橋梁各墩的非一致激勵[6-8],一般假定縱橋向的地震波視速度,根據(jù)橋梁各跨尺寸考慮輸入地震動的相位(到時)差,不考慮地震動的幅值差異和土-結(jié)相互作用.(3) 土-結(jié)構(gòu)相互作用效應(yīng).地基與上部結(jié)構(gòu)之間存在相互作用,當(dāng)?shù)鼗膭偠认鄬τ谏喜拷Y(jié)構(gòu)的剛度越小,土-結(jié)相互作用的影響越明顯.運動相互作用和慣性相互作用會改變結(jié)構(gòu)的有效地震動輸入,影響橋梁結(jié)構(gòu)的地震響應(yīng)[9-16].地形和場地效應(yīng)、行波效應(yīng)也可通過考慮地震動的空間相干性,生成空間地震動場,從而通過非一致激勵分析橋墩地震響應(yīng)[17-24].由于問題的復(fù)雜性,同時考慮地形和場地效應(yīng)、行波效應(yīng)以及土-結(jié)相互作用效應(yīng)較為困難,一些研究考慮其中兩種效應(yīng)[25-27];少數(shù)研究者同時考慮了3 種效應(yīng),但局限于二維情形[28-29],或在自由場輸入時未考慮地形影響[30].本文將跨峽谷橋梁三維地震響應(yīng)分析問題看做波動散射問題,結(jié)合人工邊界條件實現(xiàn)峽谷場地的波動輸入,并基于土-結(jié)相互作用分區(qū)分析方法[31-32],實現(xiàn)了可綜合考慮地形效應(yīng)、行波效應(yīng)及土-結(jié)相互作用效應(yīng)的跨峽谷橋梁三維地震響應(yīng)分析,以馬水河特連續(xù)剛構(gòu)橋為例,分析了地形效應(yīng)和土-結(jié)相互作用效應(yīng)對橋梁地震反應(yīng)的影響.

1 基本理論

考慮平面波入射情形時,跨峽谷橋梁地震反應(yīng)的問題(如圖1 所示),其本質(zhì)為波動散射問題.

圖1 三維峽谷-橋梁分析模型示意圖Fig.1 Schematic diagram of 3D canyon-bridge analysis model

分析模型包含橋梁及其附近的峽谷地形,在邊界處設(shè)置人工邊界模擬遠區(qū)介質(zhì)的影響.假定沿邊界面外法向,介質(zhì)按邊界面形狀向無窮遠均勻延伸,遠區(qū)介質(zhì)的這種假定對本文所關(guān)心的橋梁地震反應(yīng)影響較小.對于該大型復(fù)雜的波動散射問題,其求解的關(guān)鍵在于波動輸入及人工邊界的實施、土-結(jié)相互作用分析的高效計算方法.土-結(jié)相互作用分析可采用高效的分區(qū)方法[31-32],但與平坦場地的情形不同,峽谷場地邊界面不規(guī)則,其輸入較為復(fù)雜.下面就跨峽谷橋梁的地震反應(yīng)分析理論和方法進行介紹,包括土體內(nèi)部區(qū)域和橋梁的計算方法,自由場的計算和人工邊界條件的實施.

1.1 土體內(nèi)部節(jié)點的運動

土體采用集中質(zhì)量顯式有限元法來模擬.經(jīng)有限元離散得到如下運動方程

式中,mi表示集中于節(jié)點i的質(zhì)量,表示節(jié)點i的加速度;假設(shè)包含節(jié)點i的單元共有e個,則和表示含節(jié)點i的單元中節(jié)點i,j間的剛度和阻尼陣;和uj表示單元中節(jié)點j的速度和位移;Pi表示集中在節(jié)點i的外力.

采用中心差分與單邊差分結(jié)合的顯式積分格式

將式(2)代入式(1),可得節(jié)點i在(p+1)時刻的位移

若考慮樁基,則樁和土體采用同樣的方式計算.

1.2 人工邊界條件及自由場計算

在計算跨峽谷大橋的地震響應(yīng)時,只有大橋鄰近的地基介質(zhì)對大橋的影響比較明顯,因此截取一部分有限范圍的土體進行模擬,故而引入了虛擬邊界,即人工邊界.本文采用廖振鵬等[33]提出的透射邊界,(p+1)時刻的位移為

式中,N為透射階數(shù),表示邊界節(jié)點(p+1)時刻散射場的位移,指的是沿過o點的邊界法線向內(nèi)第n個結(jié)點(p+1-n) 時刻散射場的位移.散射場位移可以由總場位移ut減去自由場位移uf求得,即

對于自由場的求解.三維場地地震動的輸入由4個側(cè)面和底面的自由場實現(xiàn).對于規(guī)則場地,自由場分析模型一般為成層半空間,可采用傳遞矩陣的方法[34]或一維化數(shù)值方法[35].對于峽谷這樣地形變化和介質(zhì)不均勻場地,可采用如下方法求解各邊界區(qū)的自由場.

如圖2 所示峽谷地形分析模型,左、右側(cè)面①和④的自由場分析模型為成層半空間,可采用傳遞矩陣或一維有限元方法計算;前、后側(cè)面⑤和②的自由場分析模型為二維不規(guī)則半無限場地,可采用二維有限元結(jié)合人工邊界求解,其邊界1,2 和3 的自由場可采用前述的①和④界面中的自由場;底邊界③的自由場,可采用①或④界面中的自由場.

圖2 峽谷場地輸入場Fig.2 Canyon site input field

1.3 橋梁上部結(jié)構(gòu)的運動

建立橋梁結(jié)構(gòu)的三維有限元模型,其振動方程如下

采用Newmark 時步積分算法,可用如下方程求得橋梁(p+1)時刻的反應(yīng)

1.4 承臺的運動

假設(shè)承臺為剛性,其運動可由6 個分量描述,即3 個平動分量和3 個轉(zhuǎn)動分量.樁基礎(chǔ)和橋梁結(jié)構(gòu)作用在承臺上的合力使承臺產(chǎn)生剛體運動,第j個承臺的運動方程為

式中,Mfj為第j個承臺的集中質(zhì)量陣,對角線元素分別依次為3 個平動自由度的質(zhì)量Mfjx,Mfjy和Mfjz與3 個轉(zhuǎn)動自由度的轉(zhuǎn)動慣量;為第j個承臺的加速度矢量,FSj和FDj分別為土體和橋梁上部結(jié)構(gòu)作用于第j個承臺上的力矢量.運用中心差分方法,承臺(p+1)時刻的位移為

由于承臺為剛性,與第j個承臺相接觸的土節(jié)點或結(jié)構(gòu)節(jié)點的位移矢量utj,可通過基礎(chǔ)位移表示為

式中,A是6N×6 的轉(zhuǎn)換矩陣

其中

式中,xi,yi,zi為橋梁靜止時與承臺接觸的第i個節(jié)點相對于承臺質(zhì)心的直角坐標(biāo).

1.5 分析流程

由于橋梁上部結(jié)構(gòu)使用無條件穩(wěn)定的Newmark隱式積分算法,因此時間步距的選取滿足精度要求即可,可比土體分析的時間步距大,即橋梁和土體可以使用不同的時間步距(具體可參考文獻[32]).設(shè)已知p時刻以及p時刻以前各個時刻的土體、承臺和橋梁的響應(yīng),求解(p+1)時刻系統(tǒng)的響應(yīng),其基本流程如下:

(1) 先根據(jù)1.2 節(jié)所述模型,計算邊界區(qū)的自由場時程;

(2) 根據(jù)遞推公式(3) 計算土體(樁) 內(nèi)部節(jié)點p+1 時刻的位移響應(yīng);

(3)根據(jù)式(4)～式(6),得到人工邊界節(jié)點p+1時刻的位移響應(yīng);

(4)根據(jù)式(11),計算各承臺在p+1 時刻的位移,進而由式(12)求得土體、樁和橋梁與承臺相聯(lián)接點p+1 時刻的位移;

(5)以橋墩底部節(jié)點p+1 時刻的位移作為橋梁的約束,由式(8) 可以得到橋梁的位移響應(yīng)(可以使用商業(yè)軟件,本文采用ANSYS 軟件),并得到p+1 時刻橋墩底部對承臺施加的力;

(6)重復(fù)步驟(2)～(5),即可以得到土(樁)-承臺-橋梁體系各個時刻的響應(yīng).

2 算例分析

2.1 波動輸入方法驗證

2.1.1 模型及輸入

選取如圖2 所示的模型對邊界輸入方法進行驗證.該模型沿Y方向不變,考慮SV 垂直入射,因此本質(zhì)上為二維問題.建立三維有限元模型,按前述邊界輸入方法進行分析,將其結(jié)果與二維有限元的結(jié)果進行對比,驗證三維峽谷場地波動輸入和邊界實施的正確性.三維土體模型尺寸為1100 m×80 m×300 m,采用2 m×2 m×2 m 的六面體八節(jié)點實體單元對土體進行離散,其單元總數(shù)為3 300 000,節(jié)點總數(shù)為3 411 241.二維土體模型尺寸為1100 m×300 m,用2 m×2 m 的矩形單元進行離散,單元總數(shù)為82 500,節(jié)點總數(shù)為83 201.二維模型和三維模型采用相同的土體材料,土層材料參數(shù)見表1.

表1 土體和樁的材料參數(shù)Table 1 Soil and pile material parameters

采用脈沖寬度為0.15 s,持續(xù)時間為3.0 s,時間步距Δt=1.0×10-3的SV 波于土體底部垂直入射,其位移時程和頻譜見圖3.

圖3 脈沖波輸入Fig.3 Pulse wave input

2.1.2 結(jié)果分析

三維土體和二維土體分別選取x和z坐標(biāo)相同6 個監(jiān)測點(見圖3).其二維和三維的位移時程對比見圖4 和圖5.

圖4 a 點至f 點x 方向脈沖響應(yīng)Fig.4 X-direction impulse response from point a to point f

圖5 a 點至f 點z 方向脈沖響應(yīng)Fig.5 Z-direction impulse response from point a to point f

從a點至f點的位移時程圖可以看出,三維有限元和二維有限元模型在x方向和z方向的位移完全重合,即在不考慮場地的地形沿y方向變化時,在峽谷模型底部垂直輸入SV 波,二維有限元計算結(jié)果和三維有限元計算結(jié)果相同,驗證了峽谷場地波動散射問題分析的邊界輸入方法和人工邊界實施的正確性.

2.2 跨峽谷橋梁地震反應(yīng)分析

2.2.1 分析工況

為了分析峽谷地形效應(yīng)和土-結(jié)相互作用效應(yīng),考慮如下不同分析模型:

(1)不考慮場地地形效應(yīng)以及場地與橋梁之間的土-結(jié)動力相互作用效應(yīng).直接將地震安全性評價或規(guī)范給定的橋址處的地震動一致輸入到各橋墩底部,在算例中為工況1(case 1).(2)近似考慮地形效應(yīng),但不考慮土-結(jié)相互作用效應(yīng).將各橋墩底部的土層當(dāng)做水平成層場地(圖6(b) 中的各一維土柱模型),分別計算各橋墩底部處場地地表地震動,并將其輸入到各橋墩底部進行橋梁地震反應(yīng)分析,在算例中為工況2 (case 2).(3) 考慮場地的地形效應(yīng),但不考慮土-結(jié)動力相互作用效應(yīng).先計算三維峽谷場地的地震響應(yīng)(圖6(c)中三維峽谷模型),再將各橋墩位置處地震動作為輸入分析橋梁的地震響應(yīng),在算例中為工況3(case 3).(4)同時考慮峽谷地形效應(yīng)和土-結(jié)相互作用效應(yīng),考慮樁基(材料參數(shù)見表1),分析峽谷場地-橋梁體系的地震反應(yīng)(采用本文前述分析理論),在算例中為工況4 (case 4).(5) 不考慮樁基,其余與工況4 相同,在算例中為工況5(case 5).Case 1～case 3 中,在地震動輸入方向,墩底的位移即為輸入的地震動位移,其余自由度約束;case 4 和case 5 中,地震波從底部入射,通過自由場從邊界面輸入(見1.2 節(jié)),墩底、承臺、樁、土體在接觸面上滿足位移和力的連續(xù)條件.Case 1～case 3 之間的比較,可以考察地形效應(yīng)的影響;case 3 和case 4(case 5)之間的比較,可以考察土-結(jié)相互作用的影響.

圖6 各工況分析模型示意圖Fig.6 Schematic diagram of analysis model for each working condition

2.2.2 模型及輸入

對于case 4 和case 5 模型,由于采用土-結(jié)相互作用分區(qū)計算方法,土體和結(jié)構(gòu)可以獨立建模.本文以馬水河大橋為研究對象,根據(jù)實際地質(zhì)資料建立場地模型.建立三維場地模型需要考慮多方面因素,包括場地模型尺寸的取值、材料屬性和單元網(wǎng)格尺寸的確定等.本文根據(jù)大橋模型和實際地質(zhì)來估計場地的尺寸,大橋總跨徑為880 m,承臺最大尺寸為24 m×18 m×4 m,橋墩最高為142 m,圖8 為馬水河大橋縱向的示意圖.由于大橋的峽谷兩岸地形變化不明顯,則距離邊墩承臺一定距離后,土體對大橋的地震響應(yīng)可以忽略不計,則選取土體的尺寸為1100 m×80 m×300 m.根據(jù)表1 中的材料參數(shù)和圖10 中的輸入地震波頻率,土體單元的尺寸取為2 m×2 m×2 m,滿足波動模擬的精度要求,即Δx/λmin≤1/10.

圖7 馬水河大橋有限元模型Fig.7 Finite element model of Mashuihe Bridge

圖8 縱橋向模型Fig.8 Longitudinal bridge model

馬水河大橋采用的是五跨一聯(lián)預(yù)應(yīng)力砼變截面箱形連續(xù)剛構(gòu)方案,跨徑布置為:110 m+3×220 m+110 m=880 m.橋梁的上部采用預(yù)應(yīng)力混凝土剛構(gòu)箱梁,箱梁支點梁高12.00 m,跨中梁高3.50 m,箱梁跨中底板厚58.70 cm,支點底板厚125.00 cm,箱梁頂板厚60.00 cm,腹板厚度按直線變化,其中跨中厚度為50.00 cm,支點厚度為90.00 cm.邊跨橋墩為單薄壁橋墩,墩身采用變截面矩形空心墩,墩高分別為18 m,45 m,112 m,142 m,135 m 和39 m,中跨橋墩為雙薄壁墩.該橋的箱梁和橋墩分別采用C50 和C40 的混凝土.本文采用商業(yè)通用軟件ANSYS 對橋梁建模,選用梁單元BEAM188 對其進行有限元劃分,BEAM188單元適合分析細長和中等細長的橋梁結(jié)構(gòu),該單元總共有兩個節(jié)點,且每個節(jié)點都有6 個自由度.橋梁上部結(jié)構(gòu)模型(含箱梁和橋墩)共劃分862 個節(jié)點,877個單元,如圖7 所示,承臺和樁在土體模型中考慮.

選用 Block Lanczos 法進行大橋的模態(tài)提取,表2 為馬水河大橋的模態(tài)分析結(jié)果.

表2 馬水河大橋動力特性Table 2 Dynamic characteristics of Mashuihe Bridge

圖8 為馬水河大橋的縱橋向模型圖.圖9 為樁的示意圖,其中圖9(a) 為墩2～墩9 樁位置的示意圖,圖9(b) 為墩1 和墩10 樁位置的示意圖,樁長皆為30 m,具體參考圖9(c).

圖9 樁示意圖Fig.9 Pile diagram

采用根據(jù)反應(yīng)譜生成的人工波(見圖10),時長為20.48 s,計算時間步距Δt=5.0×10-3,按SV 波于土體底部垂直入射(質(zhì)點振動方向沿縱橋向)計算.

圖10 輸入地震波Fig.10 Seismic wave input

2.2.3 結(jié)果分析

由于地形模型在橫橋向變化不明顯,且只考慮了質(zhì)點振動方向沿縱橋向的地震波輸入(SV 波),因此橋梁在橫橋向的反應(yīng)很小,主要為縱橋向(x方向)和豎向(z方向)反應(yīng),這里僅給出縱橋向的位移.圖11～圖13 分別跨1 左支點、跨3 和跨4 中點處各工況情形的x方向位移時程.從圖中可以看出,case 1,case 2,case 3 三種工況位移差別不大,case 1 略大于case 2,case 2 略大于case 3,表明該算例中地形效應(yīng)對位移反應(yīng)影響不大,主要因為位移受低頻控制(見圖10),主要周期成分大于2 s,對應(yīng)的最小波長為1800 m (按表1 中土層最小剪切波速900 m/s 計算),超過峽谷地形的尺度(約880 m),因此該峽谷地形對該位移波影響較小.case 1,case 3,case 4 三種工況對比可看出,case 4 的結(jié)果要明顯小于case 1 和case 3 的結(jié)果,土-結(jié)相互作用效應(yīng)明顯.case 4 和case 5 的結(jié)果比較接近,可能是由于樁基和土層材料參數(shù)較為接近.表3 位橋梁部分位置處各工況下的最大位移.

表3 橋梁部分點的x 方向最大位移Table 3 Maximum displacement in x direction of some points of bridge m

圖11 第1 跨左支點x 方向位移Fig.11 Displacement in x direction of the left fulcrum of the first span

圖12 第3 跨中點x 方向位移Fig.12 Displacement in x direction at the midpoint of the third span

圖13 第4 跨中點x 方向位移Fig.13 Displacement in x direction at the midpoint of the fourth span

表4 為5 種工況下各橋墩底部最大剪力,圖14～圖16 為1,4,6 墩底部剪力時程.對比case 1,case 2,case 3 的結(jié)果,地形效應(yīng)對底部剪力有明顯影響,總體而言,地形效應(yīng)減小了墩底剪力.剪力受慣性力影響,與加速度有關(guān),受高頻成分控制,與受低頻控制的位移相比,該算例中峽谷對加速度影響較大,所以地形效應(yīng)對剪力的影響比對位移的影響要大.對比case 1,case 3 和case 4,土-結(jié)相互作用效應(yīng)較大,遠大于地形效應(yīng).

表4 橋墩底部最大剪力Table 4 Maximum shear force at the bottom of the pier MN

圖14 墩1 底部剪力Fig.14 Shear force at the bottom of pier 1

圖15 墩4 底部剪力Fig.15 Shear force at the bottom of pier 4

圖16 墩6 底部剪力Fig.16 Shear force at the bottom of pier 6

表5 為各橋墩的最大軸力,圖17～圖19 為1,4,6 墩的軸力時程.對比case 1,case 2,case 3 結(jié)果,地形效應(yīng)對橋墩軸力有明顯影響,地形效應(yīng)增大了部分橋墩軸力.對比case 1,case 3 和case 4,土-結(jié)相互作用對軸力有較大影響,其效應(yīng)要大于地形效應(yīng).

圖17 墩1 軸力Fig.17 Axial force of pier 1

圖18 墩4 軸力Fig.18 Axial force of pier 4

圖19 墩6 軸力Fig.19 Axial force of pier 6

表5 橋墩的軸力Table 5 Axial force of bridge pier MN

圖20 墩1 底部彎矩Fig.20 Bending moment at the bottom of pier 1

圖21 墩4 底部彎矩Fig.21 Bending moment at the bottom of pier 4

圖22 墩6 底部彎矩Fig.22 Bending moment at the bottom of pier 6

3 結(jié)語

本文提出了一種可綜合考慮行波效應(yīng)、地形效應(yīng)和土-結(jié)相互作用效應(yīng)的跨峽谷橋梁地震反應(yīng)分析方法.以馬水河大橋為對象,設(shè)計了5 種工況,分析了地形效應(yīng)和土-結(jié)相互作用效應(yīng)對橋梁地震反應(yīng)的影響.就本算例結(jié)果而言,主要結(jié)論如下:

(1)地形效應(yīng)對橋墩底部剪力、彎矩和軸力影響較明顯,引起部分墩底剪力、彎矩和軸力的增大;對位移的影響要比剪力、彎矩等的影響要小.

(2)土-結(jié)相互作用對橋梁地震反應(yīng)的影響較大,可較大地減小其反應(yīng).

本文僅考慮了SV 波垂直入射情形,若在自由場計算中考慮非垂直入射,可計入行波效應(yīng),將在后續(xù)工作中進行分析.

表6 橋墩底部彎矩Table 6 Bending moment at the bottom of the pier GN·m