2021年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試(乙卷理)第21題分析

2021年高考數(shù)學全國乙卷理科第21題意境深遠，堅持熟而不俗、俗而不易、穩(wěn)中求變、變中出新的命題初心，科學把握必備知識與關(guān)鍵能力的關(guān)系，全面體現(xiàn)了基礎(chǔ)性、綜合性、應用性和創(chuàng)新性的考查要求.

【例1】(2021·全國乙卷理·21)已知拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點為F，且F與圓M：x2+(y+4)2=1上點的距離的最小值為4．

(1)求p；

(2)若點P在M上，PA，PB是C的兩條切線，A，B是切點，求△PAB面積的最大值．

【亮點】幾何背景下的最值或取值范圍問題，其實就是求函數(shù)的最值或值域問題，所以解題的關(guān)鍵是根據(jù)幾何關(guān)系建立目標函數(shù).怎么建立？特別是問題本身比較復雜抽象時，我們就需要深入分析，剝絲抽繭，厘清變化的脈絡，弄清楚目標函數(shù)、自變量及其依賴關(guān)系，包括自變量的變化范圍，然后建立函數(shù)模型并恰當?shù)慕饽?

【相似性與差異性對比分析】本題以著名的阿基米德三角形為背景考查拋物線的標準方程和直線與拋物線的位置關(guān)系等知識，2008年山東理科第22題也是以阿基米德三角形為背景考查直線與拋物線的位置關(guān)系，兩題背景相同，出發(fā)點相同，也有異曲同工之妙.

相似性與差異性對比分析

【命題角度】本題考查拋物線的標準方程和直線與拋物線的位置關(guān)系等知識，第(1)問根據(jù)圓的幾何性質(zhì)可得出關(guān)于p的等式，即可解出p的值；第(2)問設(shè)點A(x1,y1)，B(x2,y2)，P(x0,y0)，利用導數(shù)求出直線PA，PB的方程，進一步可求得直線AB的方程，將直線AB的方程與拋物線的方程聯(lián)立，求出|AB|以及點P到直線AB的距離，利用三角形的面積公式結(jié)合二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得△PAB面積的最大值.

【映射課程標準】本題創(chuàng)設(shè)了阿基米德三角形情境，通過創(chuàng)設(shè)情境，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，激發(fā)學生學習和探究的興趣，逐步揭示數(shù)學產(chǎn)生和發(fā)展的脈絡，引導學生解決問題，解題的思路是抓住直線與拋物線相切這一核心關(guān)系，通過建模與解模實現(xiàn)解題目標.

【數(shù)學思想方法】解題中應用了數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)化、設(shè)而不求，整體代換、函數(shù)與方程等數(shù)學思想方法，從而突破了運算中的難關(guān).

【考查能力】考查運算求解、抽象概括和推理論證等數(shù)學能力.

【考查素養(yǎng)】考查數(shù)學抽象、數(shù)學建模、邏輯推理和數(shù)學運算等數(shù)學核心素養(yǎng).

設(shè)點A(x1,y1)，B(x2,y2)，P(x0,y0)，

同理可知，直線PB的方程為x2x-2y2-2y=0,

所以A，B兩點的坐標滿足方程x0x-2y-2y0=0，

可得x2-2x0x+4y0=0，

由韋達定理可得x1+x2=2x0，x1x2=4y0，

由已知可得-5≤y0≤-3，

所以當y0=-5時，

【相似題源】(2008·山東卷理·22)如圖，設(shè)拋物線方程為x2=2py(p>0),M為直線y=-2p上任意一點，過M引拋物線的切線，切點分別為A，B.

(1)求證：A，M，B三點的橫坐標成等差數(shù)列；

【作者單位、姓名】陜西省寶雞市麟游縣中學 韓紅軍

2021年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試(新高考Ⅰ卷)第16題分析

【亮點】本題引導學生關(guān)注優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，很好地落實了“立德樹人，服務選才，引導教學”的核心功能，堅持高考的核心價值，突出學科特色，重視數(shù)學本質(zhì)，發(fā)揮了數(shù)學學科高考的選拔功能，對深化中學數(shù)學教學改革發(fā)揮了積極的導向作用.本題以學生在初中接觸過的折紙問題為背景，考查合情推理、利用錯位相減法求數(shù)列的和，實際上類似于初中數(shù)學中的找規(guī)律題，但有所創(chuàng)新，在常規(guī)試題中植入傳統(tǒng)文化，讓學生在讀題中感知數(shù)學應用的廣泛性，在解題中滲透德智體美勞等五育及應用創(chuàng)新意識.

【對比分析與往年試題的相似性及差異性】

1.(2017·全國卷Ⅱ理·3)我國古代數(shù)學名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈

( )

A．1盞 B．3盞 C．5盞 D．9盞

( )

3.(2020·全國卷Ⅱ理·4)北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場所，分上、中、下三層.上層中心有一塊圓形石板(稱為天心石)，環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊.下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊.已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板(不含天心石)

( )

A．3 699塊 B．3 474塊

C．3 402塊 D．3 339塊

4.(2020·全國卷Ⅰ理·17)設(shè){an}是公比不為1的等比數(shù)列，a1為a2，a3的等差中項．

(Ⅰ)求{an}的公比；

(Ⅱ)若a1=1，求數(shù)列{nan}的前n項和．

上面幾道試題與本題有相似性，特別是例1、例2、例3都是以數(shù)學文化為載體，考查數(shù)學建模、等差數(shù)列或等比數(shù)列，例4考查利用錯位相減法求數(shù)列的和.本題與上面四題也有明顯的差異性，本題在知識的交匯點出題，綜合考查學生的“四基”“四能”和數(shù)學核心素養(yǎng).

【命題角度】本題以我國傳統(tǒng)文化剪紙藝術(shù)為背景，考查學生對數(shù)學建模、等差數(shù)列、等比數(shù)列、合情推理和演繹推理等基礎(chǔ)知識的應用，在體現(xiàn)學科間知識滲透和交叉的同時，重在考查應用數(shù)學知識解決實際問題的能力，解題的關(guān)鍵是利用合情推理找規(guī)律、考點定位及模型的建構(gòu)．積極落實中共中央國務院《深化新時代教育評價改革總體方案》提出的：穩(wěn)步推進中高考改革，構(gòu)建引導學生德智體美勞全面發(fā)展的考試內(nèi)容體系，改變相對固化的試題形式，增強試題開放性，減少死記硬背和“機械刷題”的現(xiàn)象.

【映射課程標準】

①引導學生會用數(shù)學眼光觀察世界，會用數(shù)學思維思考世界，會用數(shù)學語言表達世界；

②認識數(shù)學的科學價值、應用價值、文化價值和審美價值；

③數(shù)學建模活動是基于數(shù)學思維運用模型解決實際問題的一類綜合實踐活動，是高中階段數(shù)學課程的重要內(nèi)容.

【考查能力】讓考生體驗從特殊到一般的探索數(shù)學問題的過程，重點考查考生靈活運用數(shù)學知識分析問題的能力，考查閱讀理解能力、空間想象能力、化歸與轉(zhuǎn)化能力、從數(shù)學角度發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力、運算求解能力.

【考查素養(yǎng)】對數(shù)學抽象和邏輯推理素養(yǎng)要求較高，需要通過實際情境構(gòu)建遞推關(guān)系，第一空作為過渡，第二空考查一般的情況，體現(xiàn)了從特殊到一般的數(shù)學思想，同時也考查了數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算、數(shù)據(jù)分析等數(shù)學核心素養(yǎng).

第一步，審題，要抓住關(guān)鍵詞——對稱軸，從而聯(lián)想到要分橫軸、縱軸兩種情形分類考慮；

第二步，從特殊到一般，進行合情推理.通過直觀想象、數(shù)據(jù)分析等，合理利用圖式化，圖式化就是形式內(nèi)容的內(nèi)化過程，其結(jié)果是一種心理意義，即心理結(jié)構(gòu)，如圖：

得出對折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為5.

第三步，歸納、猜想，數(shù)學建模.

【備考建議】

(1)注重課標，科學制定復習計劃

教師應淡化自認為的“經(jīng)驗”，不唯經(jīng)驗論，應圍繞唯一的命題依據(jù)——《普通高中數(shù)學課程標準(2017版2020年修訂)》制定復習計劃，明確高考考試范圍、目標、要求，以核心素養(yǎng)為導向，在復習中不留盲點.特別是一些不?？嫉膬?nèi)容和形式，正是學生不重視的薄弱部分，更要加強復習.

(2)注重教材，落實“四基”“四能”

近幾年的全國高考數(shù)學卷中，有很多基本題目是由教材問題稍加改造而成的，還有一些較難的題目是在挖掘教材問題吸收組題思想的基礎(chǔ)上加工、組合而成的.例如，本題就是由人教A版高中數(shù)學必修5(2007年1月第3版)第54頁第4題改編、拓展而成的.具體題目如下：

如果能將一張厚度為0.05 mm的報紙對折，再對折，再對折……對折50次后，報紙的厚度是多少？你相信這時報紙的厚度超過了地球和月球之間的距離了嗎？

此外，在復習教學中重視教材、回歸教材的另一個重要意義是：加強概念、公式、定理等重要知識及重要思想方法的聯(lián)系，以提升理解的深刻性、運用的靈活性.“數(shù)學科學是一個不可分的有機整體，它的生命在于各個部分之間的聯(lián)系.”本題打通了知識間的聯(lián)系，因而顯得“活”，需要“想”.因此2022年的數(shù)學復習不要鉆難題，要注重“四基”(基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗)和“四能”(發(fā)現(xiàn)問題的能力、提出問題的能力、分析問題的能力、解決問題的能力)，立足于教材的基本概念、基本內(nèi)容、重要方法，把通法搞清楚，淡化技巧，注重應用，學習開放，研究創(chuàng)新.要跳出過去那個記題型、記結(jié)論，記套路，反射式的、拼命刷題式的復習方案，因為我們培養(yǎng)的是生動的、有創(chuàng)新的、有能力的年輕人.

(3)注重知識整合和情境設(shè)置，促進深度學習

一輪復習不是對已學知識的簡單重復和強化，而是一個再學習、提高綜合運用能力的過程．我們要從一節(jié)課中跳出來，進行主題式教學(深度學習)設(shè)計和實施，把握數(shù)學本質(zhì)，重視情境創(chuàng)設(shè)和問題提出，注重主題(單元)教學，促進深度學習.深度學習活動設(shè)計的基本特征就是學生的主動學、高階思維的參與、學生創(chuàng)造性思維的發(fā)展.因此，教師在單元整體設(shè)計時要注重知識整合和情境設(shè)置，要多聯(lián)系生活實踐，注重培養(yǎng)學生應用數(shù)學的意識，讓學生了解數(shù)學在當今時代的重要地位，以激發(fā)學生學習的興趣，樹立正確的學習目的；還要加強對數(shù)據(jù)整理、加工分析、解讀能力的考査，充分培養(yǎng)學生數(shù)學建模能力和信息處理能力.教師在活動設(shè)計時可以利用“問題鏈”，采用問題引領(lǐng)，讓學生獨立思考并且將其思維外顯、思維可視，讓學生充分地表達思考過程，教師再在學生思考的基礎(chǔ)上梳理、提煉、形成解決問題的一般方法和思路.

【作者單位、姓名】江蘇省無錫市第六高級中學 王雅

江蘇省錫市青山高級中學 張啟兆

2021年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試(新高考Ⅰ卷)第22題分析

【例2】(2021·新高考Ⅰ卷·22)已知函數(shù)f(x)=x(1-lnx)．

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

【亮點】該試題的亮點主要體現(xiàn)在下列幾個方面：

(1)以基本函數(shù)y=lnx為背景命制導數(shù)及其應用試題，是高考命題的重點和熱點，且?？汲Ｐ?，該題就是以基本函數(shù)y=lnx為載體，第一問考查導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性中的應用；第二問給定條件，考查不等式證明.

(3)高考考查極值點偏移問題由來已久，該試題第二問本質(zhì)上考查的就是極值點偏移問題(隱性).

(4)試題設(shè)置簡潔、精煉，直面重點、熱點，熟背景、入手易、方法多、得高分難，充分反映高考壓軸題把關(guān)、定向的作用.

【相似性與差異性的對比分析】(2020·新高考Ⅰ卷(供山東使用)·21)已知函數(shù)f(x)=aex-1-lnx+lna.

(1)當a=e時，求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積；

(2)若f(x)≥1，求a的取值范圍.

2021年是數(shù)學全國新高考Ⅰ卷啟用的第2年，分析2020年和2021年新高考Ⅰ卷導數(shù)及其應用試題可以發(fā)現(xiàn)，2021年第22題導數(shù)試題在延續(xù)2020年第21題的命題風格的基礎(chǔ)上，又進行了很大程度的創(chuàng)新，對比兩年導數(shù)試題的相似性與差異性，對今后使用數(shù)學新高考Ⅰ卷地區(qū)師生的復習備考具有重要的啟迪意義.

【映射課程標準】《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版2020年修訂)》(以下簡稱《課程標準》)對導數(shù)及其應用的總體要求是：通過豐富的實際背景理解導數(shù)的概念，掌握導數(shù)的基本運算，運用導數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，并解決一些實際問題.具體到單調(diào)性，進一步作了這樣的闡述：了解函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關(guān)系；能利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；體會導數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系.可以說，函數(shù)單調(diào)性是導數(shù)研究函數(shù)最主要的性質(zhì)之一，而2021年新高考Ⅰ卷第22題則將其詮釋得淋漓盡致！第(1)問f(x)的單調(diào)性自不必多說，就第(2)問而言，要證明不等式，需要將已知條件的等式變形轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)，求導，而后利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性證得不等式，無論是從哪個視角切入，也無論運用什么樣的方法技巧，構(gòu)造函數(shù)，求導，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，都是必經(jīng)的過程.因此，2021年新高考Ⅰ卷第22題最大程度映射、吻合了《課程標準》的要求，這也提醒我們，新一屆高三師生在復習備考的過程中，務必認真研讀《課程標準》，弄清楚哪些知識是了解、哪些知識是理解、哪些知識是掌握、哪些知識是應用.唯有吃透《課程標準》要求，教師在指導學生復習中才能避免走彎路，提高復習的針對性.

【考查能力】高考數(shù)學注重對數(shù)學能力的考查，2021年新高考Ⅰ卷第22題充分落實對數(shù)學能力的考查，第(2)問求解中將已知等式變形整理化為同構(gòu)式，然后抽象出方程的根，進而構(gòu)造函數(shù)利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等，考查抽象概括能力；通過不等式的證明考查推理論證能力；第(1)，(2)問導數(shù)的運算考查運算求解能力；第(2)問將已知條件“同構(gòu)化”，將極值點偏移“隱性化”，考查創(chuàng)新意識.總之，本題在突出對能力考查上具有很強的典型性.

【考查素養(yǎng)】2021年新高考Ⅰ卷第22題以素養(yǎng)為立意命題，對數(shù)學核心素養(yǎng)的考查在該題得到切實落實.第(2)問將已知等式“同構(gòu)化”，構(gòu)造函數(shù)求導等，考查數(shù)學抽象及數(shù)學建模素養(yǎng)；不等式轉(zhuǎn)化、推理、證明考查邏輯推理素養(yǎng)；求導、利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，考查數(shù)學運算素養(yǎng).高考強化對數(shù)學核心素養(yǎng)的考查，因此，新一屆高三復習備考中，在對高考命題規(guī)律分析時，不能忽視對核心素養(yǎng)的考查.關(guān)注了核心素養(yǎng)考查的變化趨勢，也就是關(guān)注了高考的命題趨勢.